recta que pasa por un punto y es perpendicular a un plano
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¿Cómo hallo una recta que pasa por un punto y es perpendicular a una recta?
Para hallar una recta que pasa por un punto y es paralela a otra recta necesitamos conocer las coordenadas del punto y el vector vector director de la otra recta, que será el vector director de la recta que buscamos. Con esos datos ya podremos escribir todas las ecuaciones de la recta.
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exámenes de pau de matemáticas ii
EBAU La Rioja Convocatoria Ordinaria 2024
Problema 5
Considere los planos \(x - y + z = 0\) y \(x + y - z = 2\) y los puntos \(P(1,2,3)\) y \(Q(1,1,3)\).
(a) (0,75 p.) Compruebe que ambos planos se cortan en una recta \(r\) y calcule la ecuación continua de dicha recta.
(b) (1 p.) Compruebe que el punto \(P\) no está en ninguno de los dos planos y calcule la ecuación de la recta que pasa por \(P\) y no corta a ninguno de los dos planos.
(c) (0,75 p.) Determine el punto de la recta \(r\) que equidista de \(P\) y de \(Q\).
Solución
Parte (b): Verificamos que el punto \(P(1,2,3)\) no pertenece a ninguno de los planos:
Para el plano \(x - y + z = 0\):
\[ 1 - 2 + 3 = 2 \neq 0. \]Para el plano \(x + y - z = 2\):
\[ 1 + 2 - 3 = 0 \neq 2. \]Por lo tanto, \(P\) no pertenece a ninguno de los dos planos.
Los vectores normales a los planos son:
\[ \mathbf{n}_1 = (1, -1, 1), \quad \mathbf{n}_2 = (1, 1, -1). \]Como los vectores normales no son proporcionales, los planos no son paralelos ni coincidentes, por lo que se cortan en una recta.
Para hallar la intersección de los planos, resolvemos el sistema:
\[ \begin{aligned} x - y + z &= 0, \\ x + y - z &= 2. \end{aligned} \]Sumando las dos ecuaciones obtenemos:
\[ 2x = 2 \quad \Longrightarrow \quad x = 1. \]Sustituyendo \(x = 1\) en cualquiera de las ecuaciones originales:
\[ 1 - y + z = 0 \quad \Longrightarrow \quad z = y - 1. \]Por lo tanto, la solución es una recta con ecuación paramétrica:
\[ \begin{aligned} x &= 1, \\ y &= \lambda, \\ z &= \lambda - 1. \end{aligned} \] \[ \begin{aligned} x &= 1, \\ y &= 2 + \lambda, \\ z &= 3 + \lambda. \end{aligned} \]La recta que buscamos tiene el mismo vector director que la rcta intersección de los dos planos, por tanto su ecuación continua es:
\[ \frac{x - 1}{0} = \frac{y - 2}{1} = \frac{z - 3}{1}. \]