ASÍNTOTAS VERTICALES

Conocimientos previos

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¿Qué es una asíntota vertical? ¿Cómo hallo una asíntota vertical?

Una asíntota vertical de una función es una línea recta a la que la gráfica de la función se acerca cada vez más sin nunca tocarla, a medida que la variable independiente se acerca a un valor específico. Las asíntotas verticales se producen cuando la función crece o decrece sin límite a medida que la variable independiente se acerca a un valor específico.

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Problema 3 - PEBAU Asturias Convocatoria extraordinaria 2024

PEBAU Asturias Convocatoria extraordinaria 2024

Pregunta 3.

Se considera la función $f (x) = \frac{x^{2} - 4}{1 - x} .$

(a) [1 punto] Calcula el dominio de la función $f$ y sus asíntotas.

(b) [1 punto] Halla, en caso de que existan, los máximos y mínimos y los puntos de inflexión. Calcula los intervalos de crecimiento y decrecimiento.

(c) [0,5 puntos] Utilizando los apartados anteriores, realiza un esbozo de la gráfica de $f$ .

Solución

Apartado a: Cálculo del dominio y las asíntotas verticales

La función dada es:

$f (x) = \frac{x^{2} - 4}{1 - x} .$

Para calcular el dominio, debemos determinar para qué valores de $x$ la función está definida, es decir, cuándo el denominador no es cero. El denominador es $1 - x$ , por lo que igualamos a cero:

$1 - x = 0 \Rightarrow x = 1.$

Por tanto, la función no está definida en $x = 1$ . El dominio es:

$D (f) = R - {1} .$

Asíntota vertical: Se da en los puntos donde el denominador es cero y la función no está definida, es decir, en $x = 1$ . Calculamos el límite cuando $x$ tiende a 1 por la derecha e izquierda: $lim_{x \to 1^{-}} f (x) = lim_{x \to 1^{-}} \frac{x^{2} - 4}{1 - x} = - \infty, lim_{x \to 1^{+}} f (x) = \infty .$ Por tanto, en $x = 1$ hay una asíntota vertical.