SISTEMAS DE ECUACIONES MATRICIALES
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¿qué es un sistema de ecuaciones matriciales? ¿Cómo lo resuelvo?
Un sistema de ecuaciones matriciales es un conjunto de ecuaciones interrelacionadas donde al menos una incógnita es una matriz.
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ABAU Galicia Convocatoria Ordinaria 2024 - Matemáticas II
Pregunta 1. Números y Álgebra. (2 puntos)
Sean \(A\) y \(B\) dos matrices tales que \[ A + 2B = \begin{pmatrix} 6 & -3 \\[4mm] 0 & 3 \end{pmatrix} \quad \text{y} \quad A + B = \begin{pmatrix} 4 & -1 \\[4mm] 0 & 2 \end{pmatrix}. \]
(a) Calcule \(A^2\).
(b) Calcule la matriz \(X\) que satisface la igualdad \[ A^2X - (A+B)^T = 3I - 2X, \] siendo \(I\) la matriz identidad de orden 2 y \((A+B)^T\) la traspuesta de \((A+B)\).
Solución
Solución apartado a: Determinación de \(A^2\)
Paso 1: Obtención de las matrices \(A\) y \(B\)
Tenemos las siguientes ecuaciones matriciales:
Ec1: \(A + 2B = \begin{pmatrix} 6 & -3 \\[4mm] 0 & 3 \end{pmatrix}\)
Ec2: \(A + B = \begin{pmatrix} 4 & -1 \\[4mm] 0 & 2 \end{pmatrix}\)
Restamos Ec2 de Ec1:
\[ (A+2B) - (A+B)=B=\begin{pmatrix} 6-4 & -3-(-1) \\[4mm] 0-0 & 3-2 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 2 & -2 \\[4mm] 0 & 1 \end{pmatrix}. \]
Sustituyendo \(B\) en Ec2:
\[ A = \begin{pmatrix} 4 & -1 \\[4mm] 0 & 2 \end{pmatrix} - B = \begin{pmatrix} 4-2 & -1-(-2) \\[4mm] 0-0 & 2-1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 2 & 1 \\[4mm] 0 & 1 \end{pmatrix}. \]
Paso 2: Obtención de \(A^2\)
\[ A^2 = \begin{pmatrix} 2 & 1 \\ 0 & 1 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 2 & 1 \\ 0 & 1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 2\cdot2+1\cdot0 & 2\cdot1+1\cdot1 \\[4mm] 0\cdot2+1\cdot0 & 0\cdot1+1\cdot1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 4 & 3 \\ 0 & 1 \end{pmatrix}. \]