ECUACIONES MATRICIALES
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¿Qué es una ecuación matricial?
¿Cómo resuelvo una ecuación matricial?
¿Qué es una ecuación matricial?
- Una ecuación donde al menos una variable es una matriz.
- A menudo, la tarea es resolver para una matriz desconocida, digamos 'X' una ecuación del tipo 2AX + B = C (Donde A, B y C son matrices conocidas)
¿Cómo resuelvo una ecuación matricial?
Para resolver ecuaciones matriciales se usan operaciones elementales del tipo:
- Manipulación básica: Se usan operaciones como la suma, la resta y la multiplicación por escalar (multiplicar una matriz por un número). Por ejemplo: AX = (C-B)/2
- Multiplicar por la matriz inversa: Siguiendo el ejemplo anterior, si existe, la inversa de la matriz 'A' (se escribe A⁻¹): X = A⁻¹(C-B)/2.
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Exámenes de pau de Matemáticas Aplicadas a las CC. SS. II
- Andalucía Junio 2024 Examen Oficial (Convocatoria Ordinaria) Ejercicio 1 Apartado b: Enlace al vídeo
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- Andalucía Junio 2024 Examen Suplente (Convocatoria Ordinaria) Ejercicio 1 Apartado a: Enlace al vídeo
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- Andalucía Junio 2024 Examen Suplente (Convocatoria Ordinaria) Ejercicio 1 Apartado b: Enlace al vídeo
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exámenes de pau de matemáticas ii
- Andalucía Junio 2024 (Convocatoria Ordinaria) Ejercicio 5 Apartado b: Enlace al vídeo
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PAU Madrid Convocatoria Ordinaria 2024
Ejercicio B1.
Consideremos las matrices reales \[ A=\begin{pmatrix} 3 & -1 & 1 \\ 1 & 1 & 1 \\ 1 & -1 & 3 \end{pmatrix},\quad B=\begin{pmatrix} b & 2b & b \\ 2b & 3b & b \\ b & b & b \end{pmatrix},\quad C=\begin{pmatrix} 2 & 0 & 0 \\ 0 & 2 & 0 \\ 0 & 0 & 3 \end{pmatrix}, \] con \(b\neq 0\).
Se pide:
- (a) Encontrar todos los valores de \(b\) para los que se verifica \[ B\,C\,B^{-1}=A. \]
- (b) Calcular el determinante de la matriz \(AA^t\).
- (c) Resolver el sistema \[ B\begin{pmatrix} x\\y\\z \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} 3\\-1\\1 \end{pmatrix} \] para \(b=1\).
Solución
B1 (a):
La ecuación a verificar es \[ B\,C\,B^{-1}=A. \] Multiplicando por la derecha por \(B\) (recordando que \(B\) es invertible para \(b\neq0\)), obtenemos: \[ B\,C = A\,B. \]
Observamos que la matriz \(B\) está dada por \[ B=\begin{pmatrix} b & 2b & b \\ 2b & 3b & b \\ b & b & b \end{pmatrix}. \] Al calcular \(B\,C\), aprovechamos que \(C\) es diagonal; cada columna de \(B\) se multiplica por el elemento correspondiente de \(C\): \[ B\,C=\begin{pmatrix} b\cdot2 & 2b\cdot2 & b\cdot3 \\ 2b\cdot2 & 3b\cdot2 & b\cdot3 \\ b\cdot2 & b\cdot2 & b\cdot3 \end{pmatrix} =\begin{pmatrix} 2b & 4b & 3b \\ 4b & 6b & 3b \\ 2b & 2b & 3b \end{pmatrix}. \]
Ahora, calculamos \(A\,B\). Dado \[ A=\begin{pmatrix} 3 & -1 & 1 \\ 1 & 1 & 1 \\ 1 & -1 & 3 \end{pmatrix} \quad \text{y} \quad B=\begin{pmatrix} b & 2b & b \\ 2b & 3b & b \\ b & b & b \end{pmatrix}, \] obtenemos:
Primera fila de \(A\,B\):
\(\begin{aligned}
(1,1):\; & 3\cdot b + (-1)\cdot2b + 1\cdot b = 3b-2b+b=2b,\\[1mm]
(1,2):\; & 3\cdot2b+(-1)\cdot3b+1\cdot b=6b-3b+b=4b,\\[1mm]
(1,3):\; & 3\cdot b+(-1)\cdot b+1\cdot b=3b-b+b=3b.
\end{aligned}\)
Segunda fila de \(A\,B\):
\(\begin{aligned}
(2,1):\; & 1\cdot b+1\cdot2b+1\cdot b=4b,\\[1mm]
(2,2):\; & 1\cdot2b+1\cdot3b+1\cdot b=6b,\\[1mm]
(2,3):\; & 1\cdot b+1\cdot b+1\cdot b=3b.
\end{aligned}\)
Tercera fila de \(A\,B\):
\(\begin{aligned}
(3,1):\; & 1\cdot b+(-1)\cdot2b+3\cdot b= b-2b+3b=2b,\\[1mm]
(3,2):\; & 1\cdot2b+(-1)\cdot3b+3\cdot b=2b-3b+3b=2b,\\[1mm]
(3,3):\; & 1\cdot b+(-1)\cdot b+3\cdot b= b-b+3b=3b.
\end{aligned}\)
Así, se tiene: \[ A\,B=\begin{pmatrix} 2b & 4b & 3b \\ 4b & 6b & 3b \\ 2b & 2b & 3b \end{pmatrix}. \]
Al comparar \(B\,C\) y \(A\,B\), vemos que son idénticas. Por lo tanto, la igualdad \[ B\,C\,B^{-1}=A \] se verifica para todo valor de \(b\) distinto de 0.
Conclusión (a): Los valores de \(b\) que satisfacen la ecuación son todos los reales distintos de cero, es decir, \(b\in\mathbb{R}\setminus\{0\}\), ya que si \(b=0\) la matriz B no tendría inversa.
ABAU Galicia Convocatoria Ordinaria 2024 - Matemáticas II
Pregunta 1. Números y Álgebra. (2 puntos)
Sean \(A\) y \(B\) dos matrices tales que \[ A + 2B = \begin{pmatrix} 6 & -3 \\[4mm] 0 & 3 \end{pmatrix} \quad \text{y} \quad A + B = \begin{pmatrix} 4 & -1 \\[4mm] 0 & 2 \end{pmatrix}. \]
(a) Calcule \(A^2\).
(b) Calcule la matriz \(X\) que satisface la igualdad \[ A^2X - (A+B)^T = 3I - 2X, \] siendo \(I\) la matriz identidad de orden 2 y \((A+B)^T\) la traspuesta de \((A+B)\).
Solución del apartado b:
Paso 1: Resolución de las matrices \(A\) y \(B\)
Tenemos las siguientes ecuaciones matriciales:
Ec1: \(A + 2B = \begin{pmatrix} 6 & -3 \\[4mm] 0 & 3 \end{pmatrix}\)
Ec2: \(A + B = \begin{pmatrix} 4 & -1 \\[4mm] 0 & 2 \end{pmatrix}\)
Restamos Ec2 de Ec1:
\[ (A+2B) - (A+B)=B=\begin{pmatrix} 6-4 & -3-(-1) \\[4mm] 0-0 & 3-2 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 2 & -2 \\[4mm] 0 & 1 \end{pmatrix}. \]
Sustituyendo \(B\) en Ec2:
\[ A = \begin{pmatrix} 4 & -1 \\[4mm] 0 & 2 \end{pmatrix} - B = \begin{pmatrix} 4-2 & -1-(-2) \\[4mm] 0-0 & 2-1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 2 & 1 \\[4mm] 0 & 1 \end{pmatrix}. \]
Paso 2: Despeje de \(X\)
Se nos da la ecuación:
\[ A^2X - (A+B)^T = 3I - 2X. \]
Sumamos \(2X\) a ambos lados:
\[ A^2X + 2X = 3I + (A+B)^T. \]
Factorizamos \(X\):
\[ (A^2+2I)X = 3I + (A+B)^T. \]
Despejamos \(X\):
\[ X = (A^2+2I)^{-1}\Bigl[3I + (A+B)^T\Bigr]. \]
Paso 3: Cálculo de \(A^2+2I\) y \(3I+(A+B)^T\)
Con \(A=\begin{pmatrix} 2 & 1 \\[4mm] 0 & 1 \end{pmatrix}\), calculamos:
\[ A^2 = \begin{pmatrix} 2 & 1 \\[4mm] 0 & 1 \end{pmatrix}\begin{pmatrix} 2 & 1 \\[4mm] 0 & 1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 4 & 3 \\[4mm] 0 & 1 \end{pmatrix}. \]
La matriz identidad de orden 2 es \(I=\begin{pmatrix} 1 & 0 \\[4mm] 0 & 1 \end{pmatrix}\) y, por lo tanto, \[ 2I=\begin{pmatrix} 2 & 0 \\[4mm] 0 & 2 \end{pmatrix}. \]
Así:
\[ A^2+2I=\begin{pmatrix} 4+2 & 3+0 \\[4mm] 0+0 & 1+2 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 6 & 3 \\[4mm] 0 & 3 \end{pmatrix}. \]
De la Ec2, tenemos:
\[ A+B = \begin{pmatrix} 4 & -1 \\[4mm] 0 & 2 \end{pmatrix} \quad \Rightarrow \quad (A+B)^T = \begin{pmatrix} 4 & 0 \\[4mm] -1 & 2 \end{pmatrix}. \]
Y
\[ 3I = \begin{pmatrix} 3 & 0 \\[4mm] 0 & 3 \end{pmatrix}. \]
Sumando:
\[ 3I+(A+B)^T = \begin{pmatrix} 3+4 & 0+0 \\[4mm] 0-1 & 3+2 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 7 & 0 \\[4mm] -1 & 5 \end{pmatrix}. \]
Paso 4: Resolución final para \(X\) por reducción
La ecuación matricial es:
\[ (A^2+2I)X = \begin{pmatrix} 7 & 0 \\[4mm] -1 & 5 \end{pmatrix}, \] es decir,
\[ \begin{pmatrix} 6 & 3 \\[4mm] 0 & 3 \end{pmatrix} X = \begin{pmatrix} 7 & 0 \\[4mm] -1 & 5 \end{pmatrix}. \]
Para despejar \(X\), multiplicamos por la inversa de \((A^2+2I)\). Calculamos la inversa de \[ M = A^2+2I = \begin{pmatrix} 6 & 3 \\[4mm] 0 & 3 \end{pmatrix}. \]
El determinante de \(M\) es:
\[ \det(M)=6\cdot3-3\cdot0=18. \]
Por lo tanto, la inversa es:
\[ M^{-1}=\frac{1}{18}\begin{pmatrix} 3 & -3 \\[4mm] 0 & 6 \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} \frac{1}{6} & -\frac{1}{6} \\[4mm] 0 & \frac{1}{3} \end{pmatrix}. \]
Así, se tiene:
\[ X = M^{-1}\Bigl[3I+(A+B)^T\Bigr] = \begin{pmatrix} \frac{1}{6} & -\frac{1}{6} \\[4mm] 0 & \frac{1}{3} \end{pmatrix}\begin{pmatrix} 7 & 0 \\[4mm] -1 & 5 \end{pmatrix}. \]
Multiplicamos mediante reducción:
- Elemento (1,1): \( \frac{1}{6}\cdot7 + \left(-\frac{1}{6}\right)\cdot(-1)= \frac{7}{6}+\frac{1}{6}=\frac{8}{6}=\frac{4}{3}\).
- Elemento (1,2): \( \frac{1}{6}\cdot0 + \left(-\frac{1}{6}\right)\cdot5=0 - \frac{5}{6}=-\frac{5}{6}\).
- Elemento (2,1): \( 0\cdot7+\frac{1}{3}\cdot(-1)=-\frac{1}{3}\).
- Elemento (2,2): \( 0\cdot0+\frac{1}{3}\cdot5=\frac{5}{3}\).
Así, se obtiene:
\[ \boxed{X=\begin{pmatrix} \frac{4}{3} & -\frac{5}{6} \\[4mm] -\frac{1}{3} & \frac{5}{3} \end{pmatrix}}. \]