Se consideran las matrices $A=\left(\begin{array}{ccc}1& 2& m\\ 1& -1& -1\end{array}\right)$ y $B=\left(\begin{array}{cc}1& 2\\ m& 0\\ 0& 2\end{array}\right)$, donde $m$ es un número real. Encuentra los valores de $m$ para los que $A\cdot B$ tiene inversa.

Determina para qué valores del parámetro $m$ el sistema es compatible determinado y resuélvelo para esos valores.

$$\{\begin{array}{l}x+2y-z=0\\ mx+y+z=1\\ x+y+mz=1\end{array}$$

Se consideran los puntos $A(0,5,3)$, $B(0,6,4)$, $C(2,4,2)$ y $D(2,3,1)$, y se pide:

a) [1 punto] Comprobar que los cuatro puntos son coplanarios.

b) [1 punto] Demostrar que es un paralelogramo y calcular su área.

Considere el plano $\pi :2x+y-z=1$ y el punto $A(1,0,-1)$, se pide:

a) [1 punto] Calcule la recta perpendicular a $\pi$ que pasa por el punto $A$.

b) [1 punto] Calcule el punto del plano $\pi$ que está más cerca de $A$.

Sea la función $f(x)=\frac{x^2}{1-x}$, se pide:

a) [1,5 puntos] Estudiar las asíntotas, monotonía y puntos extremos de $f(x)$.

b) [0,5 puntos] Con los datos obtenidos, representar de forma aproximada la gráfica de $f(x)$.

Considere la función:

$$f(x)=\{\begin{array}{ll}\frac{e^x+e^{-x}-2}{x\cdot \cos x}& \text{si }x<0\\ b(x+1)& \text{si }x\ge 0\end{array}$$

Calcule el valor de $b$ para que $f(x)$ sea continua en $x=0$.

Calcula la siguiente integral:

$$\int \frac{x-4}{x^2+2x}dx$$

Calcule el área del recinto plano limitado por $h(x)=x^3-x$ y el eje OX.

Los operarios $A$, $B$ y $C$ producen, respectivamente, el $50\mathrm{\%}$, el $30\mathrm{\%}$ y el $20\mathrm{\%}$ de las resistencias que se utilizan en un laboratorio de electrónica. Resultan defectuosas el $6\mathrm{\%}$ de las resistencias producidas por $A$, el $5\mathrm{\%}$ de las producidas por $B$ y el $3\mathrm{\%}$ de las producidas por $C$. Si se selecciona al azar una resistencia, se pide:

a) [1 punto] Calcular la probabilidad de que sea defectuosa.

b) [1 punto] Si es defectuosa, calcular la probabilidad de que proceda del operario $A$.

Un equipo de cirujanos infantiles ha comprobado que en cierta intervención quirúrgica hay un $15\mathrm{\%}$ de posibilidades de que se produzcan complicaciones si el niño tiene menos de 2 años. Un total de 10 niños menores de dos años fueron sometidos a dicha intervención quirúrgica. Determinar justificando las respuestas:

a) [0,75 puntos] La probabilidad de que se produzca alguna complicación en tres niños.

b) [0,75 puntos] La probabilidad de que se produzca alguna complicación en algún niño.

c) [0,5 puntos] El número medio de complicaciones en los 10 niños y la desviación típica.

Sea $b\in \mathbb{R}$ y la matriz $A=\left(\begin{array}{ccc}2& 2& b+1\\ b+2& 1& 1\\ 1& 1& b\end{array}\right)$, se pide:

a) [1 punto] Calcular los valores de $b$ para los que $A$ tiene inversa.

b) [1 punto] Hallar $A^{-1}$ para el caso $b=0$ (debe justificarse adecuadamente la respuesta).

Dadas las matrices $A=\left(\begin{array}{ccc}1& 0& 1\\ -1& 1& 0\end{array}\right)$, $M=\left(\begin{array}{cc}a& 0\\ b& 1\\ a-b& 1\end{array}\right)$ y $N=\left(\begin{array}{cc}1& -1\\ -1& 2\end{array}\right)$, hallar los valores de $a$ y $b$ para que el producto $A\cdot M$ sea igual a la inversa de la matriz $N$.

Hallar la ecuación del plano que contiene a la recta $r\equiv \{\begin{array}{l}x-y-4z+1=0\\ x-2z+1=0\end{array}$ y es paralelo a la recta de ecuación $s\equiv \frac{x-1}{2}=\frac{y-3}{-1}=\frac{z}{3}$.

Dados los puntos $A(1,2,1)$, $B(0,3,1)$ y $C(1,0,-1)$, determinar:

a) [1 punto] Un vector unitario y ortogonal a los vectores $\overrightarrow{AB}$ y $\overrightarrow{AC}$.

b) [0,5 puntos] El ángulo determinado por dichos vectores.

c) [0,5 puntos] El área del triángulo que forman $A$, $B$ y $C$.

Hallar los intervalos de crecimiento y los puntos extremos de la función $f(x)=x^2\cdot e^{-x}$.

Calcular el valor de $a$ para que la función:

$$f(x)=\{\begin{array}{ll}\frac{\sin (x)-x\cdot e^x}{x^2-2\cos (x)+2}& \text{si }x\ne 0\\ a& \text{si }x=0\end{array}$$

sea continua en $x=0$.

Hallar una primitiva $F(x)$ de la función $f(x)=(2x+5)\cdot e^{-2x}$ que cumpla $F(0)=0$.

Calcular el área encerrada entre las gráficas de las funciones $f(x)=x^3-5x$ y $g(x)=-x$.

En una residencia de ancianos el $80\mathrm{\%}$ de los residentes tiene cuenta de correo electrónico, el $60\mathrm{\%}$ tiene redes sociales, y el $10\mathrm{\%}$ no tiene ni correo electrónico ni redes sociales. Se pide calcular la probabilidad:

a) [0,5 puntos] De que un residente use correo electrónico y redes sociales.

b) [0,75 puntos] De que un residente use solo una de las dos cosas.

c) [0,75 puntos] De que un residente use correo electrónico, dado que no usa redes sociales.

Luis es un estudiante bastante despistado y su tutora está harta de que llegue tarde a clase. Ella le propone el siguiente trato: si en los próximos 10 días Luis llega tarde como mucho 3 días, le subirá 1 punto en la nota final de la evaluación. Sabiendo que la probabilidad de que Luis llegue tarde a clase cada día es 0.5, determinar:

a) [0,5 puntos] El tipo de distribución que sigue la variable aleatoria que cuenta el número de días que Luis llega tarde a clase en los próximos 10 días. ¿Cuáles son sus parámetros?

b) [0,75 puntos] ¿Cuál es la media y la desviación típica de esta distribución?

c) [0,75 puntos] ¿Cuál es la probabilidad de que Luis consiga esa subida de 1 punto en la nota final?