1A. Considera el siguiente sistema de ecuaciones, donde m ∈ R:

mx + 2y + z = 1
2x + my + z = m
5x + 2y + z = 1

a) Discute el sistema de ecuaciones según los valores del parámetro m. de soluciones en cada caso.

b) Resuelve, razonadamente, el sistema de ecuaciones para m = 3

1B. Consideramos las matrices

A = [0 1 1]
[0 2 0]
[-2 1 2]

y B = [-3 -8 8]
[3 7 -6]
[2 4 -3]

Halla matriz X que verifica: AX+Bt = 2A+X

Ejercicio 1 (2 puntos)

Se consideran las matrices \( A = \left( \begin{array}{ccc} 1 & -1 & 0 \\ 0 & 1 & 2 \\ -1 & -1 & 0 \end{array} \right) \) y \( C = \left( \begin{array}{ccc} 0 & 1 & -1 \\ 3 & 0 & -1 \end{array} \right) \).
a) [1 punto] Calcular la inversa de la matriz \( A + A^t \) donde \( A^t \) es la traspuesta de \( A \).
b) [1 punto] Encontrar la matriz \( X \) que verifica \( X A + X A^t = C \).

Ejercicio 2 (2 puntos)

Estudia el rango de la matriz \( A = \left( \begin{array}{ccc} 2m & 1 & 1 \\ 2 & m & 1 \\ 2 & 1 & m \end{array} \right) \) según sea el valor de \( m \).

Ejercicio 1 (2 puntos)

Sea \( b \in \mathbb{R} \) y la matriz \( A = \left( \begin{array}{ccc} 2 & 2 & b + 1 \\ b + 2 & 1 & 1 \\ 1 & 1 & b \end{array} \right) \)
a) [1 punto] Calcular los valores de \( b \) para los que \( A \) tiene inversa.
b) [1 punto] Hallar \( A^{-1} \) para el caso \( b = 0 \) (debe justificarse adecuadamente la respuesta).

Ejercicio 2 (2 puntos)

Dadas las matrices \( A = \left( \begin{array}{ccc} 1 & 0 & 1 \\ -1 & 1 & 0 \end{array} \right) \), \( M = \left( \begin{array}{cc} a & 0 \\ b & 1 \\ a - b & 1 \end{array} \right) \) y \( N = \left( \begin{array}{cc} 1 & -1 \\ -1 & 2 \end{array} \right) \), hallar los valores de \( a \) y \( b \) para que el producto \( A \cdot M \) sea igual a la inversa de la matriz \( N \).

1. Se consideran las matrices A = (1 2 m)
(1 -1 -1) y B = (1 2)
(m 0)
(0 2) , donde m es un número real. Encuentra los valores de m para los que A · B tiene inversa.

2. Determina para qué valores del parámetro m el sistema es compatible determinado y resuélvelo para esos valores.

x + 2y - z = 0
mx + y + z = 1
x + y + mz = 1

Ejercicio 1 (2 puntos)

Estudiar el rango de la matriz \( A - \lambda \cdot I \) según los valores de \( \lambda \in \mathbb{R} \), donde \( A = \left( \begin{array}{ccc} 0 & 0 & 2 \\ 1 & 0 & 1 \\ -1 & 0 & 3 \end{array} \right) \) e \( I \) es la matriz identidad de orden 3.

Ejercicio 2 (2 puntos)

Discutir el sistema para los distintos valores del parámetro \( a \in \mathbb{R} \)
\( \left\{ \begin{array}{c} x + y + z = 2a - 1 \\ 2x + y + az = a \\ x + ay + z = 1 \end{array} \right\} \)
Resolver el sistema en el caso \( a = 1 \). (0.5 puntos)

Ejercicio 1 (2 puntos)

Encontrar la matriz \( X \) que verifica \( (A - 3I) \cdot X = 2I \), donde
\( A = \left( \begin{array}{ccc} 3 & 0 & 1 \\ 0 & 0 & 0 \\ 1 & 0 & 3 \end{array} \right) \)
e \( I \) es la matriz identidad de orden 3.

Ejercicio 2 (2 puntos)

Determinar todos los números \( x \in \mathbb{R} \) para los que el determinante
\( \left| \begin{array}{ccc} 1 & 0 & -1 \\ 0 & x & 3 \\ 4 & 1 & -x \end{array} \right| \)
es mayor o igual que cero.

Ejercicio 1 (2 puntos)

Sea la matriz \( A = \left( \begin{array}{cc} 0 & 2 \\ 1 & 1 \end{array} \right) \).
a) [1.5 puntos] Estudiar el rango de la matriz \( A - \lambda I \) según los valores de \( \lambda \in \mathbb{R} \), donde \( I \) es la matriz identidad de orden \( 2 \times 2 \).
b) [0.5 puntos] Para \( \lambda = 2 \) solucionar el sistema \( A X = \lambda X \), donde \( X = \left( \begin{array}{c} x \\ y \end{array} \right) \).

Ejercicio 2 (2 puntos)

Discutir en función del parámetro \( a \in \mathbb{R} \), el sistema lineal de ecuaciones:
\( \left\{ \begin{array}{rl} 4x + y - 2az & = a \\ ax - y + z & = 0 \\ y - az & = -1 \end{array} \right\} \)

Ejercicio 1 (2 puntos)

Sean las matrices \( A = \left( \begin{array}{c} 2 \\ 1 \\ a \end{array} \right) \), \( B = \left( \begin{array}{c} 3 \\ -1 \\ -4 \end{array} \right) \), y \( C = \left( \begin{array}{c} 1 \\ 2 \\ 1 \end{array} \right) \).
a) [0.5 puntos] Calcular, cuando sea posible, las matrices \( C \cdot B^t \), \( B^t \cdot C \), \( B \cdot C \), donde \( B^t \) es la matriz traspuesta de \( B \).
b) [1.5 puntos] Hallar \( a \in \mathbb{R} \) para que el sistema \( x \cdot A + y \cdot B = C \) de tres ecuaciones y dos incógnitas \( x \) e \( y \), sea compatible determinado y resolverlo para ese valor de \( a \).

Ejercicio 2 (2 puntos)

Dadas las matrices
\( M = \left( \begin{array}{ccc} 3 & 0 & 0 \\ 2 & 3 & 0 \\ 1 & 2 & 3 \end{array} \right) \) y \( N = \left( \begin{array}{ccc} 0 & 1 & 0 \\ 2 & 0 & -2 \\ 0 & -1 & 3 \end{array} \right) \)
Calcular la matriz \( X \) cuadrada de orden 3 que cumple \( M \cdot X - N = 2X \).

1. Calcule A²⁰²¹ − A²⁰²², siendo A la matriz A = (1 0)
(2 1) .

2. Añadir una ecuación al sistema

2x − y + 2z = 1
x + y − z = 3

de modo que sea:

a) Un sistema incompatible.

b) Un sistema compatible determinado.

Ejercicio 1 (2 puntos)

Sea la igualdad matricial \( M \cdot X = N \), donde \( M = \left( \begin{array}{ccc} k & 2k & 2 \\ -1 & k & 1 \\ -1 & 1 & 1 \end{array} \right) \) y \( N = \left( \begin{array}{cc} 1 & 1 \\ 0 & 1 \\ 1 & 1 \end{array} \right) \)
a) [0.5 puntos] ¿Cuántas filas y columnas debe tener la matriz \( X \)? (Justificar la respuesta).
b) [1 punto] ¿Para qué valores de \( k \in \mathbb{R} \) es la matriz \( M \) invertible?
c) [0.5 puntos] ¿Puede ser \( M \cdot N \) invertible para algún valor de \( k \in \mathbb{R} \)?

Ejercicio 2 (2 puntos)

Discutir y resolver (en los casos que sea posible) el siguiente sistema de ecuaciones lineales en función del parámetro \( a \in \mathbb{R} \):
\( \left\{ \begin{array}{rl} ax + y & = 1 \\ x + ay & = a \\ ax + 2y & = 1 \end{array} \right\} \).

Ejercicio 1 (2 puntos)

Demostrar que la matriz \( M = \left( \begin{array}{cc} 2 & 1 \\ 1 & 2 \end{array} \right) \) verifica la ecuación \( M^2 + \lambda_1 M + \lambda_2 I = 0 \) y determinar los escalares \( \lambda_1 \) y \( \lambda_2 \) de \( \mathbb{R} \) (donde \( I \) y \( 0 \) son las matrices \( 2 \times 2 \) identidad y cero).

Ejercicio 2 (2 puntos)

Discutir y resolver (en los casos que sea posible) el siguiente sistema de ecuaciones lineales en función del parámetro \( \lambda \in \mathbb{R} \):
\( \left\{ \begin{array}{l} x - y = \lambda \\ x - \lambda y = \lambda \\ \lambda x - y = \lambda \end{array} \right\} \).

1. Dada la matriz A = (5 -4 2)
(2 -1 1)
(-4 4 -1) y la matriz identidad I = (1 0 0)
(0 1 0)
(0 0 1) .

Comprobar la identidad A² = 2A - I. Utilizando la fórmula anterior, calcular A⁴.

2. Discutir el siguiente sistema de ecuaciones en función del parámetro α ∈ R:

αx + y = 1 + α
-3x - 2y + αz = -3 - α
(1 + α)x + y - z = 2.

Resolver el sistema para α = 1.

Ejercicio 1 (2 puntos)

Sean las matrices \( A = \begin{pmatrix} 1 & -1 \\ 2 & 1 \end{pmatrix} \) y \( B = \begin{pmatrix} 1 & 1 \\ 4 & -1 \end{pmatrix} \).
a) [1 punto] Calcule \( A \cdot B \) y \( B \cdot A \). ¿Se cumple \( A \cdot B = B \cdot A \)?
b) [1 punto] Compruebe si \( (A + B)^2 = A^2 + B^2 \).

Ejercicio 2 (2 puntos)

Estudie en función del parámetro \( \lambda \in \mathbb{R} \) el sistema de ecuaciones:
\[ \begin{cases} x + \lambda z = 1 \\ x + y + \lambda z = 1 \\ \lambda x - y + z = 1 \end{cases} \]
a) [1.25 puntos] Discuta el sistema según los valores de \( \lambda \).
b) [0.75 puntos] Resuélvalo para \( \lambda = 1 \).

Ejercicio 1 (2 puntos)

Dada la matriz:
\[ \begin{pmatrix} 1 & -1 & k \\ 2 & -k & 1 \\ 1 & -1 & -1 \end{pmatrix} \]
a) [1 punto] Estudie los valores de \( k \in \mathbb{R} \) para los que la matriz tiene inversa.
b) [1 punto] Calcule la inversa para \( k = 1 \).

Ejercicio 2 (2 puntos)

Discuta en función de \( \lambda \in \mathbb{R} \) el aiguiente sistema de ecuaciones:
\[ \begin{cases} x + \lambda y - z = 1 \\ - \lambda x + y = \lambda \\ ( \lambda + 3) y - 2z = 4 \end{cases} \]

1. a) Estudie el siguiente sistema en función del parámetro a ∈ ℝ:

x + y - z = 4
x + a²y - z = 3-a
x - y + az = 1

b) Resuelva el sistema, si es posible, para el valor a = 2.

2. Resuelva la ecuación matricial AX - A = I - AX siendo I la matriz identidad de orden 3 y la matriz A = (1 1 0)
(0 1 2)
(1 0 1) .

Ejercicio 1 (2 puntos)

Dadas las siguientes matrices \( A \) e \( I \), pruebe que la inversa de \( A \) es \( A^{-1} = A^2 - 3A + 3I \):
\[ A = \begin{pmatrix} 1 & 1 & -1 \\ 0 & 1 & 1 \\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}, \quad I = \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix} \]

Ejercicio 1 (2 puntos)

Discuta en función del parámetro \( a \in \mathbb{R} \) el siguiente sistema de ecuaciones:
\[ \begin{cases} 2x + y - a z = 2 \\ x + y = a + 1 \\ (a + 1)x + y - z = 2 \end{cases} \]

Ejercicio 1 (2 puntos)

Discuta en función del parámetro \( a \in \mathbb{R} \) el siguiente sistema de ecuaciones:
\[ \begin{cases} 3x + 2y + a z = 1 \\ a x + y - z = 2 \\ 5x + 3y + z = 2a \end{cases} \]

1 (2 puntos)

Dada la matriz \( A = \begin{pmatrix} 3 & -1 & 1 \\ \lambda & 1 & \lambda \\ 0 & -\lambda & -1 \end{pmatrix} \)
a) Halle los valores de \( \lambda \in \mathbb{R} \) para que la matriz \( A \) tenga inversa. (1 punto)
b) Halle, si existe, la inversa de la matriz para \( \lambda = 1 \). (1 punto)

1 (2.5 puntos)

Sea la matriz \( A \) que depende del parámetro \( a \in \mathbb{R} \)
\( A = \begin{pmatrix} 0 & 1 & 1 \\ a & 0 & a \\ -2 & a & 0 \end{pmatrix} \)
(a) Determine el rango de la matriz \( A \) según los valores del parámetro \( a \). (1.5 puntos)
(b) Para \( a = 1 \) resuelva, si existe solución, la ecuación matricial \( A \begin{pmatrix} x \\ y \\ z \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 \\ 1 \\ 1 \end{pmatrix} \). (1 punto)

1 (2.5 puntos)

Considere las matrices \( A = \begin{pmatrix} 1 & 0 & 1 \\ 2 & 2 & 2 \\ 0 & -1 & 1 \end{pmatrix} \) y \( B = \begin{pmatrix} 1 & 0 & 1 \\ 1 & 1 & 1 \\ 0 & 1 & 1 \end{pmatrix} \)
(a) Calcule la matriz \( X \) tal que \( X = A^2 + B^2 - 2 A B \). (1 punto)
(b) Halle la inversa de la matriz \( A \). (1.5 puntos)

1 (2 puntos)

(a) Discuta, en función del parámetro \( \lambda \), el sistema lineal de ecuaciones
\( \left\{ \begin{array}{l} x + 2 y - z = 0 \\ \lambda x + y + z = 1 \\ x + y + \lambda z = 1 \end{array} \right. \) (1 punto)
(b) Resuelva el sistema para \( \lambda = 1 \). (1 punto)

1 (2.5 puntos)

Considere las matrices \( A = \begin{pmatrix} -2 & -2 & 0 \\ 2 & 1 & 2 \\ 0 & -2 & 2 \end{pmatrix} \), \( B = \begin{pmatrix} 1 & 0 & 1 \\ 0 & 1 & 0 \\ -1 & 0 & 1 \end{pmatrix} \)
(a) Calcule la matriz \( C = -3 A + B^2 \). (1 punto)
(b) Halle la inversa \( A^{-1} \) de la matriz \( A \). (1.5 puntos)

1 (2.5 puntos)

(a) Calcule el determinante de la matriz
\( A = \begin{pmatrix} 1 & 0 & 1 \\ 0 & -1 & 0 \\ 2 & 0 & -1 \end{pmatrix} \) (0.5 puntos)
(b) Obtenga el determinante de la matriz \( B = \frac{1}{3} A^4 \) sin calcular previamente \( B \). (0.5 puntos)
(c) Calcule la matriz inversa de \( A \). (1.5 puntos)

1 (2.5 puntos)

Considere el sistema de ecuaciones
\( \left\{ \begin{array}{rl} x + y & = 0 \\ x - z = 1 \\ a x + b y + c z & = 1 \end{array} \right. \)
Obtenga valores de los parámetros \( a \), \( b \) y \( c \) en los siguientes casos:
(a) Para que el sistema sea compatible determinado. (0.75 puntos)
(b) Para que el sistema sea compatible indeterminado. (1 punto)
(c) Para que el sistema sea incompatible. (0.75 puntos)

1 (2 puntos)

(a) Estudie cómo es el sistema de ecuaciones:
\( \begin{array}{l} 3 x - 5 z = 3 \\ 3 x - 3 y + 2 z = 0 \\ 2 x - y - z = 1 \end{array} \) (1 punto)
(b) Resuelva el anterior sistema de ecuaciones. (1 punto)

1 (2.5 puntos)

Considere las matrices
\( A = \begin{pmatrix} 1 \\ -1 \end{pmatrix} \), \( B = \begin{pmatrix} 1 & -2 \end{pmatrix} \), \( X = \begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix} \), \( O = \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \end{pmatrix} \)
(a) Obtenga la matriz \( A \cdot B \) y calcule su rango. (1.25 puntos)
(b) Clasifique y resuelva el sistema de ecuaciones \( A \cdot B \cdot X = O \). (1.25 puntos)