EBAU Canarias Junio 2017

Parte (a): Recta perpendicular a \( \pi_1 \) que pasa por \( P(2, 2, 1) \).

Pasos:

1. El plano \( \pi_1 \) tiene vector normal \( \mathbf{n} = (1, -1, 0) \).

2. La recta perpendicular a \( \pi_1 \) tendrá como vector director \( \mathbf{v} = \mathbf{n} = (1, -1, 0) \).

3. Usando el punto \( P(2, 2, 1) \), la ecuación paramétrica de la recta es: \[ \begin{cases} x = 2 + t \\ y = 2 - t \\ z = 1 \end{cases} \quad (t \in \mathbb{R}) \]

4. En forma continua: \[ \frac{x - 2}{1} = \frac{y - 2}{-1} = \frac{z-1}{0} \]

Parte (b): Plano perpendicular a la recta intersección de \( \pi_1 \) y \( \pi_2 \), conteniendo a \( A(1, 1, -1) \).

Pasos:

1. El vector director de la recta intersección de \( \pi_1 \) y \( \pi_2 \) será, \( \mathbf{v} \), igual al producto vectorial de los vectores normales de \( \pi_1 \) y \( \pi_2 \): \[ \mathbf{v} = \mathbf{n}_1 \times \mathbf{n}_2 = \begin{vmatrix} \mathbf{i} & \mathbf{j} & \mathbf{k} \\ 1 & -1 & 0 \\ 2 & 1 & -1 \end{vmatrix} = (1, 1, 3) \]

2. El plano buscado es perpendicular a \( \mathbf{v} = (1, 1, 3) \), por lo que su vector normal es \( \mathbf{n} = (1, 1, 3) \).

3. Usando el punto \( A(1, 1, -1) \), la ecuación del plano es: \[ 1(x - 1) + 1(y - 1) + 3(z + 1) = 0 \]

4. Simplificando: \[ x + y + 3z + 1 = 0 \]