EBAU Canarias Junio 2017

Parte (a): Hallar \( \alpha \) para que la recta \(r\) sea paralela al plano \(\pi\).

Pasos:

1. La recta \(r\) tiene como vector director \(\mathbf{v} = (2, 6, -4)\), obtenido de los denominadores de su ecuación continua.

2. El plano \(\pi\) tiene vector normal \(\mathbf{n} = (5, \alpha, 4)\).

3. Para que \(r\) sea paralela a \(\pi\), \(\mathbf{v}\) y \(\mathbf{n}\) deben ser perpendiculares. Por tanto, su producto escalar debe ser cero:

   \[ \mathbf{v} \cdot \mathbf{n} = 5(2) + \alpha (6) + 4(-4) = 0 \]

4. Resolviendo la ecuación:

   \[ 10 + 6a - 16 = 0 \quad \Longrightarrow \quad 6 \alpha - 6 = 0 \quad \Longrightarrow \quad \alpha = 1 \]

Parte (b): Calcular el ángulo entre \(\pi\) (con \(a = 0\)) y \(r\).

Pasos:

1. Con \(a = 0\), el plano \(\pi\) tiene vector normal \(\mathbf{n} = (5, 0, 4)\).

2. La recta \(r\) mantiene su vector director \(\mathbf{v} = (2, 6, -4)\).

3. El ángulo \(\theta\) entre \(r\) y \(\pi\) es el complementario del ángulo \(\phi\) entre \(\mathbf{v}\) y \(\mathbf{n}\):

   \[ \theta = 90^\circ - \phi \]

4. Calculamos \(\cos\phi\) usando el producto escalar:

   \[ \cos\phi = \frac{|\mathbf{v} \cdot \mathbf{n}|}{|\mathbf{v}| |\mathbf{n}|} = \frac{|5(2) + 0(6) + 4(-4)|}{\sqrt{2^2 + 6^2 + (-4)^2} \cdot \sqrt{5^2 + 0^2 + 4^2}} \] \[ \cos\phi = \frac{|10 - 16|}{\sqrt{56} \cdot \sqrt{41}} = \frac{6}{\sqrt{56} \cdot \sqrt{41}} \]

5. Simplificamos:

   \[ \cos\phi = \frac{6}{\sqrt{2296}} = \frac{3}{\sqrt{574}} \]

6. Finalmente, el ángulo \(\theta\) es:

   \[ \theta = \arcsin\left(\frac{3}{\sqrt{574}}\right) \approx 7.2^\circ \]