EBAU Canarias Junio 2024

Parte (a): Posición relativa de las rectas \( r \) y \( s \).

Pasos:

1. Calcularemos el vector director de \( r \). Los planos que la definen tienen vectores normales:

   \[ \mathbf{n}_1 = (3, 2, -1), \quad \mathbf{n}_2 = (2, -1, 1) \]

   Hacemos el producto vectorial:

   \[ \mathbf{v}_r = \mathbf{n}_1 \times \mathbf{n}_2 = \begin{vmatrix} \mathbf{i} & \mathbf{j} & \mathbf{k} \\ 3 & 2 & -1 \\ 2 & -1 & 1 \end{vmatrix} = (1, -5, -7) \]

2. El vector director de \( s \) lo obtenemos de su forma paramétrica:

   \[ \mathbf{v}_s = (1, 1, 1) \]

3. Comprobaremos si son paralelas. Para ello, verificamos si \( \mathbf{v}_r \) y \( \mathbf{v}_s \) son proporcionales:

   \[ \frac{1}{1} = 1, \quad \frac{-5}{1} = -5, \quad \frac{-7}{1} = -7 \]

   Los cocientes no son iguales, por lo que las rectas no son paralelas ni coincidentes.

4. Hallaremos un punto de \( r \). Sustituimos \( x = 0 \) en las ecuaciones de \( r \):

   \[ \begin{cases} 2y - z = 1 \\ -y + z + 4 = 0 \end{cases} \]

   De la segunda: \( z = y - 4 \). Sustituimos en la primera:

   \[ 2y - (y - 4) = 1 \implies y + 4 = 1 \implies y = -3, \quad z = -3 - 4 = -7 \]

   Un punto de \( r \) es \( (0, -3, -7) \).

5. Escribimos las ecuaciones paramétricas de \( r \) con el punto \( (0, -3, -7) \) y \( \mathbf{v}_r = (1, -5, -7) \):

   \[ \begin{cases} x = t \\ y = -3 - 5t \\ z = -7 - 7t \end{cases} \]

   Comparamos con \( s \):

   \[ \begin{cases} x = 3 + \lambda \\ y = \lambda \\ z = 1 + \lambda \end{cases} \]

6. Para determinar si se cruzan, igualamos las ecuaciones:

   \[ \begin{cases} t = 3 + \lambda \\ -3 - 5t = \lambda \\ -7 - 7t = 1 + \lambda \end{cases} \]

   De la primera: \( t = 3 + \lambda \). Sustituimos en la segunda:

   \[ -3 - 5(3 + \lambda) = \lambda \implies -3 - 15 - 5\lambda = \lambda \implies -18 = 6\lambda \implies \lambda = -3 \]

   Entonces \( t = 3 - 3 = 0 \). Comprobamos en la tercera:

   \[ -7 - 7 \cdot 0 = -7, \quad 1 + (-3) = -2 \quad \text{(no coinciden)} \]

   Como no la tercera igualdad no se cumple para los valores de t y de \( \lambda \) hallados con las dos primeras ecuaciones concluimos que las rectas tampoco se cortan. Por tanto las rectas se cruzan.

Parte (b): Plano \( \pi \) paralelo a \( r \) y que contiene a \( s \).

Pasos:

1. Un plano paralelo a \( r \) debe tener un vector normal perpendicular a \( \mathbf{v}_r = (1, -5, -7) \). Además, debe contener a \( s \), cuyo vector director es \( \mathbf{v}_s = (1, 1, 1) \), por lo que el normal también debe ser perpendicular a \( \mathbf{v}_s \).

2. Calculamos el producto vectorial de \( \mathbf{v}_r \) y \( \mathbf{v}_s \) para obtener el vector normal del plano:

   \[ \mathbf{n}_\pi = \mathbf{v}_r \times \mathbf{v}_s = \begin{vmatrix} \mathbf{i} & \mathbf{j} & \mathbf{k} \\ 1 & -5 & -7 \\ 1 & 1 & 1 \end{vmatrix} = (2, -8, 6) \]

3. Tomamos un punto de \( s \), por ejemplo, para \( \lambda = 0 \): \( (3, 0, 1) \). La ecuación del plano es:

   \[ 2(x - 3) - 8(y - 0) + 6(z - 1) = 0 \]

   Simplificamos:

   \[ 2x - 6 - 8y + 6z - 6 = 0 \implies 2x - 8y + 6z - 12 = 0 \]

   Dividimos entre 2 para simplificar:

   \[ \boxed{ \pi : x - 4y + 3z - 6 = 0} \]