EBAU Canarias Julio 2024
3B (2.5 puntos)
Responder a las siguientes cuestiones:
a) Justificar si pueden existir vectores \( \vec{u} \) y \( \vec{v} \), que compartan el punto de origen, y cumplen que \( |\vec{u}| = 2 \), \( |\vec{v}| = 3 \), \( \vec{u} \cdot \vec{v} = 8 \) (0.75 ptos)
b) En el espacio tridimensional, dados el plano y la recta siguientes:
\( \pi: x + 3y + 2z + 3 = 0 \)
\( r: \begin{cases} 2x - 3y - z = 4 \\ x + y + 2z = -3 \end{cases} \)
Calcular el punto de corte de la recta y el plano, así como el ángulo que forman. (1.75 ptos)
Solución
Parte (a): ¿Existen los vectores \( \vec{u} \) y \( \vec{v} \)?
Pasos:
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Recordemos la fórmula del producto escalar:
\[ \vec{u} \cdot \vec{v} = |\vec{u}| |\vec{v}| \cos\theta \]donde \( \theta \) es el ángulo entre los vectores.
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Sustituimos los valores dados:
\[ 8 = 2 \cdot 3 \cdot \cos\theta \quad \Rightarrow \quad \cos\theta = \frac{8}{6} = \frac{4}{3} \]¡Pero \( \cos\theta \) siempre está contenido entre \( -1 \) y \( 1 \)! por tanto, la conclusión es que no existen tales vectores.
Parte (b): Punto de corte y ángulo entre \( \pi \) y \( r \).
Pasos:
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Resolvemos el sistema de ecuaciones de la recta y el plano:
\[ \begin{cases} 2x - 3y - z = 4 \quad (r_1) \\ x + y + 2z = -3 \quad (r_2) \\ x + 3y + 2z = -3 \quad (\pi) \end{cases} \]Matriz ampliada:
\[ \begin{pmatrix} 2 & -3 & -1 & | & 4 \\ 1 & 1 & 2 & | & -3 \\ 1 & 3 & 2 & | & -3 \end{pmatrix} \] -
Usando Gauss:
Intercambiamos \( F_1 \leftrightarrow F_2 \) para simplificar:
\[ \begin{pmatrix} 1 & 1 & 2 & | & -3 \\ 2 & -3 & -1 & | & 4 \\ 1 & 3 & 2 & | & -3 \end{pmatrix} \]Hacemos \( F_2 \leftarrow F_2 - 2F_1 \) y \( F_3 \leftarrow F_3 - F_1 \):
\[ \begin{pmatrix} 1 & 1 & 2 & | & -3 \\ 0 & -5 & -5 & | & 10 \\ 0 & 2 & 0 & | & 0 \end{pmatrix} \]De \( F_3 \): \( 2y = 0 \implies y = 0 \).
De \( F_2 \): \( -5y -5z = 10 \implies z = -2 \).
De \( F_1 \): \( x + y + 2z = -3 \implies x = 1 \).
El punto de corte es: \( \boxed{(1, 0, -2)} \).
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Vector director de \( r \):
Calculamos el producto vectorial de los vectores normales de los planos que definen \( r \):
\[ \mathbf{n}_1 = (2, -3, -1), \quad \mathbf{n}_2 = (1, 1, 2) \] \[ \mathbf{v} = \mathbf{n}_1 \times \mathbf{n}_2 = \begin{vmatrix} \mathbf{i} & \mathbf{j} & \mathbf{k} \\ 2 & -3 & -1 \\ 1 & 1 & 2 \end{vmatrix} = (-5, -5, 5) \]Podemos simplificar el vector director que hemos obtenido dividiendo entre -5: \( \mathbf{v} \equiv (1, 1, -1) \).
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De la ecuación del plano obtenemos directamente que el vector normal al plano \( \pi \) es:
\[ \mathbf{n} = (1, 3, 2) \] -
Ángulo entre \( r \) y \( \pi \):
Calculamos el ángulo \( \phi \) entre \( \mathbf{v} \) y \( \mathbf{n} \):
\[ \cos\phi = \frac{|\mathbf{v} \cdot \mathbf{n}|}{|\mathbf{v}| |\mathbf{n}|} = \frac{|1 \cdot 1 + 1 \cdot 3 + (-1) \cdot 2|}{\sqrt{1^2 + 1^2 + (-1)^2} \cdot \sqrt{1^2 + 3^2 + 2^2}} = \frac{2}{\sqrt{3} \cdot \sqrt{14}} = \frac{2}{\sqrt{42}} \]El ángulo \( \theta \) entre \( r \) y \( \pi \) es el complementario:
\[ \theta = 90^\circ - \arccos\left(\frac{2}{\sqrt{42}}\right) \approx 90^\circ - 72.02^\circ = \boxed{17.98^\circ} \]