EBAU Canarias Julio 2023

Parte (a): Comprobar que $r$ y $s$ están en el mismo plano $\pi$ y hallar su ecuación.

Pasos:

1. Calcularemos el vector director de $r$. Los planos que la definen tienen vectores normales:

   $${\mathbf{n}}_1=(8,2,-3),{\mathbf{n}}_2=(-7,-1,3)$$

   Hacemos el producto vectorial:

   $${\mathbf{v}}_r={\mathbf{n}}_1\times {\mathbf{n}}_2=\left|\begin{array}{ccc}\mathbf{i}& \mathbf{j}& \mathbf{k}\\ 8& 2& -3\\ -7& -1& 3\end{array}\right|=(3,-3,6)$$

   Simplificamos dividiendo entre 3: ${\mathbf{v}}_r=(1,-1,2)$.

2. El vector director de $s$ se obtiene de su ecuación continua $x=y+1=\frac{z-2}{2}$:

   $$\frac{x}{1}=\frac{y+1}{1}=\frac{z-2}{2}⟹{\mathbf{v}}_s=(1,1,2)$$

3. Hallaremos un punto de $r$. Sustituimos $z=0$ en las ecuaciones de $r$:

   $$\{\begin{array}{l}8x+2y+12=0\\ -7x-y-9=0\end{array}$$

   De la primera: $4x+y=-6$. De la segunda: $-7x-y=9$. Sumamos:

   $$4x+y-7x-y=-6+9⟹-3x=3⟹x=-1$$

   Sustituimos en $4x+y=-6$: $4(-1)+y=-6⟹y=-2$. Punto: $(-1,-2,0)$.

4. Tomamos un punto de $s$, por ejemplo, para $x=0$:

   $$0=y+1⟹y=-1,0=\frac{z-2}{2}⟹z=2$$

   Punto: $(0,-1,2)$.

5. Calcularemos el vector $\mathbf{u}$ que une los puntos $(-1,-2,0)$ de $r$ y $(0,-1,2)$ de $s$:

   $$\mathbf{u}=(0-(-1),-1-(-2),2-0)=(1,1,2)$$

6. Para comprobar que $r$ y $s$ son coplanarias, calculamos el producto mixto como el determinante de la matriz con ${\mathbf{v}}_r$, ${\mathbf{v}}_s$ y $\mathbf{u}$ como filas:

   $$[{\mathbf{v}}_r,{\mathbf{v}}_s,\mathbf{u}]=\left|\begin{array}{ccc}1& -1& 2\\ 1& 1& 2\\ 1& 1& 2\end{array}\right|$$

   Como la fila 2 es igual a la fila 3 concluimos que el producto mixto es vale cero: [${\mathbf{v}}_r,{\mathbf{v}}_s,\mathbf{u}]=0$

   Como el producto mixto es cero, concluimos que ${\mathbf{v}}_r$, ${\mathbf{v}}_s$ y $\mathbf{u}$ son coplanarios, por lo que $r$ y $s$ están en el mismo plano.

7. Hallaremos la ecuación del plano $\pi$ con ${\mathbf{v}}_r$ y ${\mathbf{v}}_s$. Su normal es:

   $${\mathbf{n}}_{\pi }={\mathbf{v}}_r\times {\mathbf{v}}_s=\left|\begin{array}{ccc}\mathbf{i}& \mathbf{j}& \mathbf{k}\\ 1& -1& 2\\ 1& 1& 2\end{array}\right|=(-4,0,2)\equiv (-2,0,1)$$

   Usamos el punto $(-1,-2,0)$:

   $$-2(x+1)+0(y+2)+1(z-0)=0⟹-2x-2+z=0⟹-2x+z-2=0$$

   Verificamos con $(0,-1,2)$: $-2\cdot 0+2-2=0\text{(se cumple)}$.

   $$\boxed{{\displaystyle -2x+z-2=0}}$$

Parte (b): Recta que pasa por $P(0,-1,2)$ y corta perpendicularmente a $r$.

Pasos:

1. Hallaremos un plano que pase por $P(0,-1,2)$ y sea perpendicular a $r$. El vector director de $r$ es ${\mathbf{v}}_r=(1,-1,2)$, que será el normal del plano. Usamos $P$:

   $$1(x-0)-1(y-(-1))+2(z-2)=0$$

   Simplificamos:

   $$x-(y+1)+2z-4=0⟹x-y+2z-5=0$$

2. Hallaremos el punto de corte del plano $x-y+2z-5=0$ con la recta $r$. Parametrizamos $r$ con ${\mathbf{v}}_r=(1,-1,2)$ y el punto $(-1,-2,0)$:

   $$\{\begin{array}{l}x=-1+t\\ y=-2-t\\ z=2t\end{array}$$

   Sustituimos en el plano:

   $$(-1+t)-(-2-t)+2(2t)-5=0$$ $$-1+t+2+t+4t-5=0⟹6t-4=0⟹6t=4⟹t=\frac{2}{3}$$

   Para $t=\frac{2}{3}$:

   $$x=-1+\frac{2}{3}=-\frac{1}{3},y=-2-\frac{2}{3}=-\frac{8}{3},z=2\cdot \frac{2}{3}=\frac{4}{3}$$

   Punto de corte: $(-\frac{1}{3},-\frac{8}{3},\frac{4}{3})$.

3. Usaremos $P(0,-1,2)$ y el punto de corte $(-\frac{1}{3},-\frac{8}{3},\frac{4}{3})$ para hallar la ecuación de la recta. El vector director es:

   $$\mathbf{v}=(-\frac{1}{3}-0,-\frac{8}{3}-(-1),\frac{4}{3}-2)=(-\frac{1}{3},-\frac{8}{3}+\frac{3}{3},\frac{4}{3}-\frac{6}{3})=(-\frac{1}{3},-\frac{5}{3},-\frac{2}{3})$$

   Simplificamos: $\mathbf{v}=(1,5,2)$. Ecuación paramétrica desde $P$:

   $$\{\begin{array}{l}x=t\\ y=-1+5t\\ z=2+2t\end{array}$$

   En forma continua:

   $$\frac{x}{1}=\frac{y+1}{5}=\frac{z-2}{2}$$

   Verificamos perpendicularidad: ${\mathbf{v}}_r\cdot \mathbf{v}=1\cdot (1)+(-1)\cdot (5)+2\cdot (2)=1-5+4=0\text{(correcto)}$.

   $$\boxed{{\displaystyle \frac{x}{1}=\frac{y+1}{5}=\frac{z-2}{2}}}$$