EBAU Canarias Junio 2024
3A (2.5 puntos)
En el espacio tridimensional tenemos el punto, la recta y el plano siguientes:
Punto \( P(-7, 3, 4) \)
Recta \( r: \begin{cases} x + y - 1 = 0 \\ x + z - 1 = 0 \end{cases} \)
Plano \( \pi: x + 2y - 5z + 5 = 0 \)
a) Encontrar el punto \( A \) intersección del plano \( \pi \) con una recta \( s \). Esta recta \( s \) es una recta paralela a la recta \( r \) y que pasa por el punto \( P \). (1.5 ptos)
b) Hallar el ángulo que forma la recta \( r \) y el plano \( \pi \). (1 pto)
Solución
Parte (a): Punto \( A \) intersección de \( s \) con \( \pi \).
Pasos:
-
Calcularemos el vector director de la recta \( r \). Los planos que la definen tienen vectores normales:
\[ \mathbf{n}_1 = (1, 1, 0), \quad \mathbf{n}_2 = (1, 0, 1) \]Hacemos el producto vectorial:
\[ \mathbf{v}_r = \mathbf{n}_1 \times \mathbf{n}_2 = \begin{vmatrix} \mathbf{i} & \mathbf{j} & \mathbf{k} \\ 1 & 1 & 0 \\ 1 & 0 & 1 \end{vmatrix} = (1, -1, -1) \] -
La recta \( s \) es paralela a \( r \), por lo que tiene el mismo vector director \( \mathbf{v}_s = (1, -1, -1) \), y pasa por \( P(-7, 3, 4) \). Su ecuación paramétrica es:
\[ \begin{cases} x = -7 + t \\ y = 3 - t \\ z = 4 - t \end{cases} \] -
Para hallar el punto \( A \), sustituimos \( s \) en la ecuación del plano \( \pi \):
\[ (-7 + t) + 2(3 - t) - 5(4 - t) + 5 = 0 \]Simplificamos:
\[ -7 + t + 6 - 2t - 20 + 5t + 5 = 0 \implies 4t - 16 = 0 \implies t = 4 \] -
Sustituimos \( t = 4 \) en las ecuaciones de \( s \):
\[ x = -7 + 4 = -3, \quad y = 3 - 4 = -1, \quad z = 4 - 4 = 0 \]El punto \( A \) es:
\[ \boxed{A = (-3, -1, 0)} \]
Parte (b): Ángulo entre la recta \( r \) y el plano \( \pi \).
Pasos:
-
El vector director de \( r \) ya lo tenemos: \( \mathbf{v}_r = (1, -1, -1) \).
-
El vector normal del plano \( \pi \) es \( \mathbf{n}_\pi = (1, 2, -5) \).
-
El ángulo \( \theta \) entre \( r \) y \( \pi \) es el complementario del ángulo \( \phi \) entre \( \mathbf{v}_r \) y \( \mathbf{n}_\pi \). Calculamos \( \cos\phi \):
\[ \cos\phi = \frac{|\mathbf{v}_r \cdot \mathbf{n}_\pi|}{|\mathbf{v}_r| |\mathbf{n}_\pi|} = \frac{|1 \cdot 1 + (-1) \cdot 2 + (-1) \cdot (-5)|}{\sqrt{1^2 + (-1)^2 + (-1)^2} \cdot \sqrt{1^2 + 2^2 + (-5)^2}} \] \[ \cos\phi = \frac{|1 - 2 + 5|}{\sqrt{3} \cdot \sqrt{30}} = \frac{4}{\sqrt{90}} = \frac{4}{3\sqrt{10}} \] -
El ángulo \( \theta \) es:
\[ \sin\theta = \cos\phi = \frac{4}{3\sqrt{10}}, \quad \theta = \arcsin\left(\frac{4}{3\sqrt{10}}\right) \approx 24.94^\circ \] \[ \boxed{\theta = 24.94^\circ} \]