EBAU Canarias Junio 2023
3A (2.5 puntos)
En el espacio tridimensional consideremos el plano y las rectas siguientes:
\( \pi: 2x + 3y - z = 4 \);
\( r: \begin{cases} x + y - z = 0 \\ 2x + 5y + z = 0 \end{cases} \);
\( s: \frac{x - 1}{1} = \frac{y - 2}{0} = \frac{z - 3}{1} \)
a) Calcular el punto simétrico de \( P(-2, 1, 2) \) respecto de \( \pi \). (1.25 ptos)
b) Calcular el ángulo que forman \( r \) y \( s \). (1.25 ptos)
Solución
Parte (a): Punto simétrico de \( P(-2, 1, 2) \) respecto a \( \pi \).
Pasos:
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Recordemos la relación entre un punto y su simétrico:
El punto simétrico \( Q \) cumple que \( P' \) (proyección de \( P \) sobre \( \pi \)) es el punto medio entre \( P \) y \( Q \). Así pues:
\[ P' = \frac{P + Q}{2} \quad \Rightarrow \quad Q = 2P' - P \] -
Hallar la proyección \( P' \) de \( P \) sobre \( \pi \):
La recta perpendicular a \( \pi \) que pasa por \( P \) tiene como vector director \( \mathbf{n} = (2, 3, -1) \) (vector normal del plano), por tanto, sus ecuaciones paramétricas serán :
\[ \begin{cases} x = -2 + 2t \\ y = 1 + 3t \\ z = 2 - t \end{cases} \] -
Intersección de la recta con \( \pi \):
Para hallar P' sustituimos \( x, y, z \) de la recta en la ecuación del plano: \( 2x + 3y - z = 4 \), obteniendo:
\[ 2(-2 + 2t) + 3(1 + 3t) - (2 - t) = 4 \\ -4 + 4t + 3 + 9t - 2 + t = 4 \\ 14t - 3 = 4 \quad \Rightarrow \quad t = \frac{1}{2} \]Ahora, para hallar las coordenadas de \( P' \), sustituimos el valor hallado para t en las ecuaciones paramétricas de la recta:
\[ x = -2 + 2 \cdot \frac{1}{2} = -1, \quad y = 1 + 3 \cdot \frac{1}{2} = \frac{5}{2}, \quad z = 2 - \frac{1}{2} = \frac{3}{2} \] -
Calcular \( Q \) usando \( Q = 2P' - P \):
\[ Q_x = 2(-1) - (-2) = 0, \quad Q_y = 2 \cdot \frac{5}{2} - 1 = 4, \quad Q_z = 2 \cdot \frac{3}{2} - 2 = 1 \]Resultado final:
\[ \boxed{Q(0,\ 4,\ 1)} \]
Parte (b): Ángulo entre \( r \) y \( s \).
El ángulo entre dos rectas es el mismo que forman sus vectores directores, así pues, vamos a hallar los vectores directores de las rectas y usando la fórmula del coseno del ángulo entre dos vectores obtendremos el ángulo con el que se cortan las dos rectas.
Pasos:
-
Vector director de \( r \):
Calculamos el producto vectorial de los vectores normales de los planos que definen \( r \):
\[ \mathbf{n}_1 = (1, 1, -1), \quad \mathbf{n}_2 = (2, 5, 1) \] \[ \mathbf{v}_r = \mathbf{n}_1 \times \mathbf{n}_2 = \begin{vmatrix} \mathbf{i} & \mathbf{j} & \mathbf{k} \\ 1 & 1 & -1 \\ 2 & 5 & 1 \end{vmatrix} = (6, -3, 3) \equiv (2, -1, 1) \] -
Vector director de \( s \):
De la ecuación \( \frac{x-1}{1} = \frac{y-2}{0} = \frac{z-3}{1} \), el vector es \( \mathbf{v}_s = (1, 0, 1) \).
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Hallamos el ángulo \( \theta \):
Usamos la fórmula del ángulo entre dos vectores:
\[ \cos\theta = \frac{|\mathbf{v}_r \cdot \mathbf{v}_s|}{||\mathbf{v}_r|| \cdot ||\mathbf{v}_s||} \]Cálculos:
\[ \mathbf{v}_r \cdot \mathbf{v}_s = 2 \cdot 1 + (-1) \cdot 0 + 1 \cdot 1 = 3 \] \[ ||\mathbf{v}_r|| = \sqrt{2^2 + (-1)^2 + 1^2} = \sqrt{6}, \quad ||\mathbf{v}_s|| = \sqrt{1^2 + 0^2 + 1^2} = \sqrt{2} \] \[ \cos\theta = \frac{3}{\sqrt{6} \cdot \sqrt{2}} = \frac{3}{\sqrt{12}} = \frac{\sqrt{3}}{2} \quad \Rightarrow \quad \theta = 30^\circ \]Resultado final:
\[ \boxed{\theta = 30^\circ} \]