EBAU Canarias Julio 2024

Parte (a): Posición relativa de \( r_1 \) y \( r_2 \).

Pasos:

1. Vector director de \( r_1 \):

   Calculamos el producto vectorial de los vectores normales de los planos que definen \( r_1 \):

   \[ \mathbf{n}_1 = (1, -3, 2), \quad \mathbf{n}_2 = (2, 1, -3) \] \[ \mathbf{v}_1 = \mathbf{n}_1 \times \mathbf{n}_2 = \begin{vmatrix} \mathbf{i} & \mathbf{j} & \mathbf{k} \\ 1 & -3 & 2 \\ 2 & 1 & -3 \end{vmatrix} = (7, 7, 7) \equiv (1, 1, 1) \]

2. Vector director de \( r_2 \):

   Directamente de la ecuación continua de \( r_2 \):

   \[ \frac{1 - x}{2} = y = \frac{1 - z}{2} \implies \frac{x - 1}{-2} = \frac{y}{1} = \frac{z-1}{-2} \implies \mathbf{v}_2 = (-2, 1, -2) \]

3. Comprobamos si son paralelas:

   Comprobamos si \( \mathbf{v}_1 \) y \( \mathbf{v}_2 \) son proporcionales:

   \[ \frac{1}{-2} \neq \frac{1}{1} \neq \frac{1}{-2} \quad \text{→ No son proporcionales → No son paralelas ni coincidentes.} \]

4. Hallamos un punto de \( r_1 \):

   Haciendo \( x = 0 \) y resolviendo el sistema de ecuaciones resultante:

   \[ \begin{cases} -3y + 2z = -2 \\ y - 3z = 3 \end{cases} \]

   De la segunda ecuación: \( y = 3 + 3z \). Sustituyendo en la primera:

   \[ -3(3 + 3z) + 2z = -2 \implies -9 -9z + 2z = -2 \implies z = -1, \quad y = 0 \]

   Punto de \( r_1 \): \( (0, 0, -1) \).

5. Ecuaciones paramétricas de \( r_1 \):

   \[ \begin{cases} x = 0 + t \\ y = 0 + t \\ z = -1 + t \end{cases} \]

   Ecuaciones paramétricas de \( r_2 \):

   De la ecuación continua de \( r_2 \) tenemos que:

   \[ \begin{cases} x = 1 - 2s \\ y = 0 + s \\ z = 1 - 2s \end{cases} \]

6. Intersección entre \( r_1 \) y \( r_2 \):

   Igualamos las parametrizaciones de las dos rectas:

   \[ \begin{cases} t = 1 - 2s \\ t = s \\ -1 + t = 1 - 2s \end{cases} \]

   De \( t = s \) y \( t = 1 - 2s \):

   \[ s = 1 - 2s \implies 3s = 1 \implies s = \frac{1}{3}, \quad t = \frac{1}{3} \]

   Comprobamos si se cumple para \( z \):

   \[ -1 + \frac{1}{3} = -\frac{2}{3} \quad \text{vs} \quad 1 - 2 \cdot \frac{1}{3} = \frac{1}{3} \quad \text{→ No coinciden.} \]

   Conclusión: Las rectas se cruzan.

Parte (b): Recta \( s \) perpendicular y punto de corte con \( r_1 \).

Pasos:

1. Para hallar un vector director de \( s \) hacemos el producto vectorial de \( \mathbf{v}_1 \) y \( \mathbf{v}_2 \):

   \[ \mathbf{v}_s = \mathbf{v}_1 \times \mathbf{v}_2 = \begin{vmatrix} \mathbf{i} & \mathbf{j} & \mathbf{k} \\ 1 & 1 & 1 \\ -2 & 1 & -2 \end{vmatrix} = (-3, 0, 3) \equiv (-1, 0, 1) \]

2. Ecuaciones paramétricas de \( s \):

   Con el punto que nos da el enunciado y el vector director que acabamos de hallar:

   \[ \begin{cases} x = 0 - t \\ y = \frac{1}{2} \\ z = 0 + t \end{cases} \]

3. Punto de corte con \( r_1 \):

   Sustituimos \( s \) en los planos de \( r_1 \):

   Primer plano:

   \[ (-t) - 3\left(\frac{1}{2}\right) + 2t + 2 = 0 \implies t = -\frac{1}{2} \]

   Segundo plano:

   \[ 2(-t) + \frac{1}{2} - 3t = 3 \implies t = -\frac{1}{2} \]

   Punto de corte:

   \[ x = \frac{1}{2}, \quad y = \frac{1}{2}, \quad z = -\frac{1}{2} \]

   Nota: Tiene que dar lo mismo al sustituir en los dos planos que definen a \( r_1 \), de lo contrario las rectas no se cortarían.

   \[ \boxed{\left( \frac{1}{2}, \frac{1}{2}, -\frac{1}{2} \right)} \]