Problema 3A - Plano y Rectas

EBAU Canarias Julio 2023

3A (2.5 puntos)

En el espacio tridimensional tenemos un punto y la recta siguientes:

Punto \( P(1, -2, 0) \)

Recta \( r: \begin{cases} x - 2y + z = 0 \\ x - z = 0 \end{cases} \)

a) Hallar la ecuación del plano tal que la recta perpendicular al mismo y que pasa por el origen de coordenadas corta al plano buscado en el punto \( P \). Averiguar el ángulo que forma el plano encontrado con la recta \( r \). (1.75 ptos)

b) Hallar el punto de intersección de la recta \( r \) y \( s: x - 5 = \frac{y + 1}{-2} = \frac{z - 9}{3} \). (0.75 ptos)

Solución

Parte (a): Plano perpendicular a recta por el origen y ángulo con \( r \).

Pasos:

  1. Determinaremos el vector director de la recta que pasa por el origen \( O(0, 0, 0) \) y \( P(1, -2, 0) \):

    \[ \mathbf{v} = (1 - 0, -2 - 0, 0 - 0) = (1, -2, 0) \]

  2. El plano buscado es perpendicular a esta recta, por lo que su vector normal es \( \mathbf{n} = (1, -2, 0) \). Usamos el punto \( P(1, -2, 0) \) para hallar la ecuación:

    \[ 1(x - 1) - 2(y + 2) + 0(z - 0) = 0 \]

    Simplificamos:

    \[ x - 1 - 2y - 4 = 0 \implies x - 2y - 5 = 0 \]

  3. Calcularemos el vector director de \( r \). Los planos que la definen tienen vectores normales:

    \[ \mathbf{n}_1 = (1, -2, 1), \quad \mathbf{n}_2 = (1, 0, -1) \]

    Hacemos el producto vectorial:

    \[ \mathbf{v}_r = \mathbf{n}_1 \times \mathbf{n}_2 = \begin{vmatrix} \mathbf{i} & \mathbf{j} & \mathbf{k} \\ 1 & -2 & 1 \\ 1 & 0 & -1 \end{vmatrix} = (2, 2, 2) \equiv (1, 1, 1) \]

  4. Determinaremos el ángulo entre el plano \( x - 2y - 5 = 0 \) (normal \( \mathbf{n} = (1, -2, 0) \)) y la recta \( r \) (director \( \mathbf{v}_r = (1, 1, 1) \)):

    \[ \cos\phi = \frac{|\mathbf{n} \cdot \mathbf{v}_r|}{|\mathbf{n}| |\mathbf{v}_r|} = \frac{|1 \cdot 1 + (-2) \cdot 1 + 0 \cdot 1|}{\sqrt{1^2 + (-2)^2 + 0^2} \cdot \sqrt{1^2 + 1^2 + 1^2}} = \frac{|1 - 2|}{\sqrt{5} \cdot \sqrt{3}} = \frac{1}{\sqrt{15}} \]

    El ángulo \( \theta \) entre el plano y la recta es el complementario:

    \[ \theta = 90^\circ - \arccos\left(\frac{1}{\sqrt{15}}\right) \approx 90^\circ - 75^\circ = 15^\circ \]

    Resultado:

    \[ \boxed{\theta = 15^\circ} \]

Parte (b): Punto de intersección de \( r \) y \( s \).

Pasos:

  1. Hallamos las ecuaciones paramétricas de \( s \) a partir de sus ecuación continua: \( x - 5 = \frac{y + 1}{-2} = \frac{z - 9}{3} = t \):

    \[ \begin{cases} x = 5 + t \\ y = -1 - 2t \\ z = 9 + 3t \end{cases} \]

  2. Sustituimos en las ecuaciones de \( r \):

    De \( x - z = 0 \):

    \[ 5 + t - (9 + 3t) = 0 \implies 5 + t - 9 - 3t = 0 \implies -4 - 2t = 0 \implies t = -2 \]

    Calculamos las coordenadas:

    \[ x = 5 + (-2) = 3, \quad y = -1 - 2(-2) = -1 + 4 = 3, \quad z = 9 + 3(-2) = 9 - 6 = 3 \]

  3. Verificamos en la otra ecuación de \( r \): \( x - 2y + z = 0 \):

    \[ 3 - 2 \cdot 3 + 3 = 3 - 6 + 3 = 0 \quad \text{(se cumple)} \]

    El punto de intersección es:

    \[ \boxed{(3, 3, 3)} \]