3A (2.5 puntos)

En el espacio tridimensional tenemos las rectas siguientes:

\( r_1: \begin{cases} x - 3y + 2z + 2 = 0 \\ 2x + y - 3z = 3 \end{cases} \)

\( r_2: \frac{1 - x}{2} = y = \frac{1 - z}{2} \)

a) Estudiar la posición relativa de las rectas anteriores. 1 pto

b) Hallar la ecuación de la recta \( s \) que tiene dirección perpendicular a ambas rectas y que pasa por \( P(0, \frac{1}{2}, 0) \). Calcular el punto de corte de la recta \( s \) con la recta \( r_1 \). 1.5 ptos

Solución

3B (2.5 puntos)

Responder a las siguientes cuestiones:

a) Justificar si pueden existir vectores \( \vec{u} \) y \( \vec{v} \), que compartan el punto de origen, y cumplen que \( |\vec{u}| = 2 \), \( |\vec{v}| = 3 \), \( \vec{u} \cdot \vec{v} = 8 \)

0.75 ptos

b) En el espacio tridimensional, dados el plano y la recta siguientes:

\( \pi: x + 3y + 2z + 3 = 0 \)

\( r: \begin{cases} 2x - 3y - z = 4 \\ x + y + 2z = -3 \end{cases} \)

Calcular el punto de corte de la recta y el plano, así como el ángulo que forman. 1.75 ptos

Solución

3A (2.5 puntos)

En el espacio tridimensional tenemos el punto, la recta y el plano siguientes:

Punto \( P(-7, 3, 4) \)

Recta \( r: \begin{cases} x + y - 1 = 0 \\ x + z - 1 = 0 \end{cases} \)

Plano \( \pi: x + 2y - 5z + 5 = 0 \)

a) Encontrar el punto \( A \) intersección del plano \( \pi \) con una recta \( s \). Esta recta \( s \) es una recta paralela a la recta \( r \) y que pasa por el punto \( P \). 1.5 ptos

b) Hallar el ángulo que forma la recta \( r \) y el plano \( \pi \). 1 pto

3B (2.5 puntos)

En el espacio tridimensional se conocen las ecuaciones de las rectas siguientes:

Recta \( r: \begin{cases} 3x + 2y - z = 1 \\ 2x - y + z + 4 = 0 \end{cases} \)

Recta \( s: \begin{cases} x = 3 + \lambda \\ y = \lambda \\ z = 1 + \lambda \end{cases} \)

a) Estudiar la posición relativa de las rectas \( r \) y \( s \). 1.5 ptos

b) Encontrar el plano \( \pi \), paralelo a la recta \( r \) y que contiene a la recta \( s \). 1 pto

3A (2.5 puntos)

En el espacio tridimensional tenemos un punto y la recta siguientes:

Punto \( P(1, -2, 0) \)

Recta \( r: \begin{cases} x - 2y + z = 0 \\ x - z = 0 \end{cases} \)

a) Hallar la ecuación del plano tal que la recta perpendicular al mismo y que pasa por el origen de coordenadas corta al plano buscado en el punto \( P \). Averiguar el ángulo que forma el plano encontrado con la recta \( r \). 1.75 ptos

b) Hallar el punto de intersección de la recta \( r \) y \( s: x - 5 = \frac{y + 1}{-2} = \frac{z - 9}{3} \). 0.75 ptos

3B (2.5 puntos)

En el espacio tridimensional tenemos las ecuaciones de las rectas siguientes:

Recta \( r: \begin{cases} 8x + 2y - 3z + 12 = 0 \\ -7x - y + 3z - 9 = 0 \end{cases} \)

Recta \( s: x = y + 1 = \frac{z - 2}{2} \)

a) Comprobar que \( r \) y \( s \) están contenidas en un mismo plano \( \pi \) y hallar la ecuación de dicho plano. 1.25 ptos

b) Averiguar la ecuación de la recta que pasa por el punto \( P(0, -1, 2) \) y corta perpendicularmente a la recta \( r \). 1.25 ptos

3A (2.5 puntos)

En el espacio tridimensional consideremos el plano y las rectas siguientes:

\( \pi: 2x + 3y - z = 4 \); \( r: \begin{cases} x + y - z = 0 \\ 2x + 5y + z = 0 \end{cases} \); \( s: \frac{x - 1}{1} = \frac{y - 2}{0} = \frac{z - 3}{1} \)

a) Calcular el punto simétrico de \( P(-2, 1, 2) \) respecto de \( \pi \). 1.25 ptos

b) Calcular el ángulo que forman \( r \) y \( s \). 1.25 ptos

3B (2.5 puntos)

En el espacio tridimensional conocemos las siguientes ecuaciones de rectas:

\( r: \begin{cases} x + 2y - 7z = 0 \\ 2x + 3y - 12z + 1 = 0 \end{cases} \); \( s: \begin{cases} 2x - 7y - 3z = 22 \\ x - y + z = 1 \end{cases} \)

a) Estudiar la posición relativa de \( r \) y \( s \). 1.25 ptos

b) Hallar la ecuación del plano que contenga a \( r \) y es paralelo a \( s \). 1.25 ptos

3A (2.5 puntos)

Resuelve los siguientes problemas del espacio tridimensional:

a) Dadas las rectas \( r: \begin{cases} x + y + z + 1 = 0 \\ 2x - y + 3z - 2 = 0 \end{cases} \) y \( s: \begin{cases} x = -1 + 2\lambda \\ y = 1 + \lambda \\ z = -1 - 3\lambda \end{cases} \), estudia la posición relativa entre \( r \) y \( s \) 1.5 ptos

b) Halla la ecuación del plano que contiene a la recta \( r \) y es perpendicular al plano \( \pi: 2x - y + z - 5 = 0 \) 1 pto

3B (2.5 puntos)

En el espacio tridimensional se conocen las ecuaciones de la recta y el plano siguientes:

\( r: \begin{cases} -3x + 2y = 5 \\ -4y + 3z + 7 = 0 \end{cases} \) y \( \pi = 5x - 6y + 7z + 58 = 0 \)

a) Sabiendo que la recta \( r \) y el plano \( \pi \) se cortan en un punto \( A \), dar la ecuación de la recta \( s \), perpendicular al plano \( \pi \) que pasa por dicho punto \( A \) 1.5 ptos

b) Calcula el ángulo que forman la recta \( r \) y el plano \( \pi \) 1 pto

3A (2.5 puntos)

En el espacio tridimensional conocemos las ecuaciones de las rectas siguientes:

\( r: \begin{cases} 3x - 2y = -1 \\ 4y - 3z = -1 \end{cases} \)

\( s: \begin{cases} x + 4y + 12 = 0 \\ 6y + z + 13 = 0 \end{cases} \)

a) Estudia la posición relativa de las rectas \( r \) y \( s \) 1.25 ptos

b) Calcula la ecuación del plano \( \pi \) paralelo a la recta \( s \) que contenga a la recta \( r \). Halla el punto de corte de dicho plano \( \pi \) con la recta: \( t = \frac{x + 4}{-1} = \frac{y - 8}{3} = z - 2 \) 1.25 ptos

3B (2.5 puntos)

En el espacio tridimensional conocemos las ecuaciones siguientes:

\( \pi: \begin{cases} x = 1 + t + 4s \\ y = 1 + s \\ z = 3 - 2t - 5s \end{cases} \); \( r_1: \frac{x + 4}{5} = \frac{y + 5}{6} = \frac{z - 1}{0} \); \( r_2: \begin{cases} 4x + 3y = 7 \\ y + 4z = 5 \end{cases} \)

a) Calcula la ecuación de la recta \( s \), perpendicular al plano \( \pi \) y que contenga el punto de intersección de las rectas \( r_1 \) y \( r_2 \) 1.25 ptos

b) ¿Es cierto que el ángulo entre las rectas \( r_1 \) y \( r_2 \) es menor de 45º? Justificalo 1.25 ptos

3A (2.5 puntos)

Dadas las siguientes ecuaciones en el espacio tridimensional:

\( r: 5 - x = y - 3 = 5 - z \)

\( \pi: 3x - 4y - 8z + 35 = 0 \)

a) Comprobar que la recta \( r \) y el plano \( \pi \) se cortan en un punto. Averiguar dicho punto. 1.5 ptos

b) Calcular la ecuación del plano que pasa por el punto \( A (2, 2, 2) \), paralelo a la recta \( r \), y perpendicular al plano \( \pi \) 1 pto

3B (2.5 puntos)

Dado el plano \( \pi: -x + 3y + 2z + 5 = 0 \)

Y las rectas secantes \( r: \frac{x - 5}{2} = y + 2 = 1 - z \); \( s: \frac{x + 1}{6} = \frac{y}{-2} = z \)

a) Sea \( A \) el punto de intersección de las rectas \( r \) y \( s \). Hallar la ecuación de la recta que es perpendicular al plano \( \pi \) y que pasa por \( A \). 1.5 ptos

b) Calcular el ángulo que forman las rectas \( r \) y \( s \). 1 pto

3A (2.5 puntos)

Dados los siguientes puntos en el espacio tridimensional:

\( A(0, -2, 3), B(1, -1, 4), C(2, 3, 3) \) y \( D(4, 5, 5) \)

a) Comprobar que los cuatro puntos son coplanarios. 1.5 ptos

A continuación, calcular la ecuación del plano que los contiene. 1.5 ptos

b) Calcular la ecuación de la recta \( r \), perpendicular al plano \( \pi: \begin{cases} x = 1 + 2\lambda + 3\mu \\ y = -2 + \lambda \\ z = 1 - 3\lambda - 3\mu \end{cases} \) que pasa por el punto \( A \). 1 pto

3B (2.5 puntos)

Dadas las ecuaciones de los planos

\( \pi_1: 2x + 3y - z = 9 \) y \( \pi_2: \begin{cases} x = 1 + \lambda + \mu \\ y = -2 - \lambda + 2\mu \\ z =3 + 3\lambda - \mu \end{cases} \)

a) Hallar la ecuación de la recta paralela a los planos \( \pi_1 \) y \( \pi_2 \), que pasa por el punto medio del segmento de extremos \( A(1, -1, 0) \) y \( B(-1, -3, 2) \) 1.25 ptos

b) Calcular el ángulo formado por los planos \( \pi_1 \) y \( \pi_2 \) 1.25 ptos

3 OPCIÓN A (2.5 puntos)

Dada la recta \( r: \begin{cases} x = -2\lambda \\ y = 2 + \lambda \\ z = 2 + \lambda \end{cases} \), y dado el plano \( \pi = x - 3y + 5z = 2 \)

a) ¿Cuál es la posición relativa de la recta \( r \) y el plano \( \pi \)? 1.25 ptos

b) Calcular el plano \( \pi' \) que contiene a la recta \( r \) y es perpendicular al plano \( \pi \). 1.25 ptos

3 OPCIÓN B (2.5 puntos)

Consideremos el punto \( A(1, 2, 1) \), y la recta \( r: \begin{cases} x + y = 5 \\ 3y + z = 14 \end{cases} \)

a) Encuentre la ecuación del plano \( \pi \) que contiene al punto \( A \) y es perpendicular a la recta \( r \). 1.5 ptos

b) Consideremos \( P(1, 4, 2) \), un punto de la recta \( r \). Y sea \( s \) la recta determinada por los puntos \( A \) y \( P \). Calcule el ángulo que forman las rectas \( r \) y \( s \). 1 pto

3 OPCIÓN A (2.5 puntos)

Dadas las rectas siguientes \( r: \begin{cases} x + y - z = 4 \\ x + 2y = 7 \end{cases} \); \( s: \begin{cases} x = 2 \\ y + 5 = 0 \end{cases} \)

a. Estudie la posición relativa de \( r \) y \( s \). 1.5 ptos

b. Halle la ecuación del plano perpendicular a la recta \( r \), y que contiene el punto \( A(11, -2, 5) \) 1 pto

3 OPCIÓN B (2.5 puntos)

Consideremos la recta \( r: \begin{cases} 2x - y = 5 \\ 3x - 4z = -1 \end{cases} \), y el plano \( \pi_1 = x - y + 3z = 12 \)

a. Calcule la ecuación del plano \( \pi_2 \), que contene a la recta \( r \) y es perpendicular al plano \( \pi_1 \). 1.25 ptos

b. Sabiendo que la recta \( r \) corta el plano \( \pi_1 \), averigüe el punto de intersección. 1.25 ptos

3 OPCIÓN A (2.5 puntos)

Hallar la ecuación de la recta que verifica simultáneamente las siguientes condiciones:

- es paralela a los planos de ecuaciones: \( \pi_1 = x - 3y + z = 0 \) y \( \pi_2 = 2x - y + 3z = 5 \)

- pasa por el punto \( (2, -1, 5) \)

2.5 ptos

3 OPCIÓN B (2.5 puntos)

Hallar el ángulo que forman el plano \( \pi = 2x - y + z = 0 \) y el plano que contiene a las rectas

\( r: \begin{cases} x = 1 - t \\ y = t \\ z = t \end{cases} \); \( s = \frac{x + 1}{-2} = \frac{y}{0} = z - 1 \)

2.5 ptos

3 OPCIÓN A (2.5 puntos)

Dados los planos \( \pi_1 = x - y + 3 = 0 \) y \( \pi_2 = 2x + y - z = 0 \), calcular:

a) La ecuación de la recta \( s \) paralela a los planos \( \pi_1 \) y \( \pi_2 \), que pasa por el punto \( B(2, 2, 3) \) 1.5 ptos

b) El ángulo que forman los planos \( \pi_1 \) y \( \pi_2 \) 1 pto

3 OPCIÓN B (2.5 puntos)

Se consideran los puntos \( A(2, -1, 1) \) y \( B(-2, 3, 1) \) que determinan la recta \( r \)

a) Calcular la recta perpendicular a \( r \) que pasa por el punto \( P(-4, 17, 0) \) 1.25 ptos

b) Calcular la ecuación del plano respecto de cual los puntos \( A \) y \( B \) son simétricos. 1.25 ptos

3 OPCIÓN A (2.5 puntos)

Estudiar la posición relativa de los planos

\( \alpha: 2x + 3y - 5z + 7 = 0 \)

\( \beta: 3x + 2y + 3z - 1 = 0 \)

\( \gamma: 7x + 8y - 7z + 13 = 0 \)

2.5 puntos

3 OPCIÓN B (2.5 puntos)

Dadas las rectas \( r_1 = x - 1 = \frac{y - 1}{-1} = \frac{z + 2}{2} \), \( r_2 = \frac{x + 5}{4} = \frac{y - 3}{-2} = \frac{z + 4}{3} \), se pide

a) Demostrar que las rectas \( r_1 \) y \( r_2 \) son coplanarias. 1.25 puntos

b) Hallar la ecuación del plano que determinan. 1.25 puntos

3 OPCIÓN A (1.5 puntos)

a) Halle la ecuación del plano \( \pi \) que pasa por los puntos \( A(-1.5, 0) \) y \( B(0, 1, 1) \) y es paralelo a la recta \( r = \begin{cases} 3x + 2y - 3 = 0 \\ 2y - 3z - 1 = 0 \end{cases} \) 1.5 ptos

b) Escribir la ecuación de una recta paralela a la recta \( r \) que pasa por el punto medio del segmento \( \overline{AB} \) 1 pto

3 OPCIÓN B (2.5 puntos)

Dados los planos: \( \pi_1: x + y + z - 5 = 0 \) y \( \pi_2: \begin{cases} x = 3 + \lambda + 2\mu \\ y = 1 - \lambda - \mu \\ z = 1 + \mu \end{cases} \)

a) Comprobar que los planos \( \pi_1 \) y \( \pi_2 \) se cortan en una recta. Hallar la ecuación de dicha recta en forma paramétrica. 1.75 ptos

b) Hallar la ecuación del plano \( \pi_3 \) que pasa por el origen y es perpendicular a los planos \( \pi_1 \) y \( \pi_2 \) 0.75 ptos

4 OPCIÓN A (2.5 puntos)

Dado el plano \( \pi: 2x + y - z = 0 \) y la recta \( r: \begin{cases} x - y + z = 3 \\ 2x + y = 1 \end{cases} \), se pide

a) Escribir la ecuación de la recta \( r \) en forma continua 1.25 puntos

b) Hallar la ecuación del plano que pasa por el punto \( P(1, 2, 1) \), es paralelo a la recta \( r \) y perpendicular al plano \( \pi \). 1.25 puntos

4 OPCIÓN B (2.5 puntos)

Dados la recta \( r: x = y + 1 = \frac{z - \frac{11}{m}}{\frac{-3}{m}} \) y el plano \( \pi: 2x + y + z = 9 \), se pide

a) Calcular el valor del parámetro \( m \) para que la recta \( r \) sea paralela al plano \( \pi \) 1.25 puntos

b) Para \( m = 2 \), determinar el punto de intersección de la recta \( r \) y el plano \( \pi \) 1.25 puntos

4 OPCIÓN A (2.5 puntos)

Dado el plano \( \pi: 5x + \alpha y + 4z - 5 = 0 \) y la recta \( r: \frac{x}{2} = \frac{y - 2}{6} = \frac{z - 2}{-4} \), se pide

a) Calcular el valor del parámetro \( \alpha \) para que la recta \( r \) sea paralela al plano \( \pi \) 1.25 puntos

b) Para \( \alpha = 0 \), calcular el ángulo que forman el plano \( \pi \) y la recta \( r \) 1.25 puntos

Solución

4 OPCIÓN B (2.5 puntos)

Dados los planos: \( \pi_1: x - y + 3 = 0 \); \( \pi_2: 2x + y - z = 0 \), determinar

a) La ecuación de la recta perpendicular a \( \pi_1 \), que pasa por el punto \( P(2, 2, 1) \). 1 punto

b) La ecuación del plano perpendicular a la recta que determinan \( \pi_1 \) y \( \pi_2 \), que contenga al punto \( A(1, 1, -1) \) 1.5 puntos

Solución