5.

De una matriz B sabemos que cumple

\[B=\left(\begin{array}{ccc}1 & 2 & 3 \\ 4 & 5 & 6 \\ -7 & -8 & -9\end{array}\right), B \cdot I_3 = \left(\begin{array}{ccc}10 & 11 & 12 \\ 7 & 0 & 0 \\ -4 & -5 & -7\end{array}\right) \cdot B,\]

donde \(I_3\) es la matriz identidad de orden 3. Estudia si la matriz B tiene inversa. En caso afirmativo, calcula la inversa de B.

6.

Dadas las siguientes matrices

\[A=\left(\begin{array}{ccc}1 & 1 & 1 \\ 1 & m & m \\ 4 & 4 & 2m\end{array}\right), B=\left(\begin{array}{c}3 \\ 5 \\ 12\end{array}\right), m \in \mathbb{R}.\]

(a) (1,2 puntos) Analiza el rango de la matriz A según los valores de \(m \in \mathbb{R}\).

(b) (0,8 puntos) Resuelve el sistema \(A \cdot X = B\) para el valor \(m = 2\).

7.

En un laboratorio de una empresa farmacéutica se fabrican tres tipos de medicamentos, M₁, M₂ y M₃, a partir de tres principios activos, A₁, A₂ y A₃, distintos. En la siguiente tabla se reflejan los miligramos de principio activo necesarios para fabricar un gramo de cada medicamento:

En dicho laboratorio se dispone actualmente de 70 gramos del activo A₁, 90 gramos del activo A₂ y 160 gramos del activo A₃. Se va a cerrar por vacaciones y la empresa quiere no dejar principios activos en el laboratorio. ¿Es posible utilizar la cantidad total exacta disponible de principios activos del laboratorio para fabricar los medicamentos M₁, M₂ y M₃? En caso afirmativo, ¿cuántos gramos de cada medicamento podría fabricar el laboratorio con dichos principios activos?

5.

Dadas las siguientes matrices:

\[A=\left(\begin{array}{ccc}-2 & 1 \\ -2 & 0 \\ 0 & -1\end{array}\right), B=\left(\begin{array}{cc}1 & 0 \\ 0 & 1 \\ -1 & 0\end{array}\right), C = A^t \cdot B + I_2,\]

donde \(A^t\) es la matriz traspuesta de \(A\) e \(I_2\) es la matriz identidad de orden 2.

(a) (0,8 puntos) Calcula \(C^n\), con \(n \in \mathbb{N}\).

(b) (1,2 puntos) Resuelve la ecuación \(C \cdot X = 5(A^t \cdot B)\).

6.

Dada la matriz \(A=\left(\begin{array}{ccc}2 & -3 & 4 \\ -4 & 6 & m-6 \\ 2 & -3 & m+6\end{array}\right)\) con \(m \in \mathbb{R}\) un parámetro.

(a) (1,2 puntos) Estudia el rango de la matriz A en función del parámetro \(m \in \mathbb{R}\).

(b) (0,8 puntos) Resuelve, si es posible, el sistema homogéneo \(A^t \cdot X = 0\) cuando \(m = 6\).

7.

Analizamos en un comercio los precios de tres artículos A, B y C. El producto A, es de primera necesidad y tiene un tipo superreducido de IVA del 4 %; el producto B es de alimentación y tiene un tipo reducido de IVA del 10% y el artículo C es un pequeño electrodoméstico cuyo tipo de IVA es del 21 %. El precio total sin IVA de la compra de 1 artículo A de primera necesidad, 2 productos B de alimentación y 3 pequeños electrodomésticos C es de 48 €. Mientras que el total de IVA correspondiente a la compra de 100 artículos de primera necesidad A, 10 productos de alimentación B y 100 pequeños electrodomésticos C, es de 1.654 €. Además, se sabe que el precio sin IVA del pequeño electrodoméstico es igual al precio sin IVA de cinco artículos de primera necesidad más ocho artículos de alimentación. Calcula los precios a la venta de los tres artículos, teniendo en cuenta que el precio a la venta es el precio sin IVA incluido.

5.

Dada la siguiente matriz:

\[A=\left(\begin{array}{ccc}1 & -1 & m \\ 2 & m & m+2 \\ m-1 & 2 & 1\end{array}\right)\]

a) (1 punto) Discute el rango de la matriz \(A\) según los valores de \(m \in \mathbb{R}\).

b) (1 punto) Calcula la inversa de la matriz \(A\) para el valor \(m = 1\).

6.

Sabiendo que \[\left|\begin{array}{ccc}1 & 2 & 3 \\ 4 & 0 & 5 \\ a & b & c\end{array}\right|=\frac{1}{2}\], calcula razonadamente el determinante de la matriz

\[A=\left(\begin{array}{ccc}4a+2 & 4b+4 & 4c+6 \\ 3a & 3b & 3c \\ a+4 & b & c+5\end{array}\right)\]

7.

Una ONG aragonesa de reciente creación tiene tres sedes, una en Huesca, otra en Zaragoza y otra en Teruel. El número total de voluntarios es de 31. Para que Huesca y Zaragoza tuvieran el mismo número de voluntarios tendría que trasladarse 3 de Huesca a Zaragoza. Además, el número de los voluntarios de la sede de Huesca excede en 1 a la suma de los voluntarios de las otras dos sedes. ¿Cuántos voluntarios hay en cada una de las sedes?

5.

Sean las siguientes matrices:

\[A=\left(\begin{array}{cc}-2 & 1 \\ 2 & 0 \\ 1 & -1\end{array}\right), B=\left(\begin{array}{cc}1 & 0 \\ 1 & 1 \\ -2 & 0\end{array}\right), C=\left(\begin{array}{cc}2 & 3 \\ 1 & 0\end{array}\right), D=A \cdot B^T-2I\]

donde \(B^T\) es la matriz traspuesta de \(B\) e \(I\) es la matriz identidad de orden 3.

a) (1 punto) Estudia si la matriz \(D\) tiene inversa y, en caso afirmativo, calcúlala.

b) (1 punto) Resuelve la ecuación matricial \(CX=A^T \cdot B\), donde \(A^T\) es la matriz traspuesta de \(A\).

6.

Dado el siguiente sistema:

\[\begin{cases} -x & & +mz & = & 0 \\ my & +2z & & = & 2+m^2 \\ x & +y & & = & 2m \end{cases}\]

a) (1,2 puntos) Discute según los valores de \(m \in \mathbb{R}\), qué tipo de sistema es atendiendo a sus posibles soluciones (compatible determinado o indeterminado, incompatible).

b) (0,8 puntos) Resuelve el sistema para el valor \(m = 2\).

7.

Sean las matrices

\[A=\left(\begin{array}{cc}\frac{1}{2} & 1 \\ -1 & -2\end{array}\right), B=\left(\begin{array}{cc}-3 & 5 \\ 2 & 1\end{array}\right)\]

a) (1 punto) Calcula la matriz \(A^n\) para \(n \in \mathbb{N}\).

b) (1 punto) Resuelve la ecuación \((A+2I)X=B\), donde \(I\) es la matriz identidad de orden 2.

5.

Dada la siguiente matriz:

\[A=\left(\begin{array}{cc}1 & k \\ -1 & k+1\end{array}\right)\]

a) (1 punto) Determina el valor de \(k \in \mathbb{R}\) para que se verifique \(A^2 = 3I\), donde \(I\) es la matriz identidad de orden 2.

b) (1 punto) Calcula, para \(k = 0\), la matriz \(B^n\) con \(B = 2A-I\), siendo \(I\) la matriz identidad de orden 2, y \(n \in \mathbb{N}\).

6.

Dadas las siguientes matrices:

\[A=\left(\begin{array}{ccc}1-m & -1 \\ 2 & 2m \\ m-1 & 1\end{array}\right), \quad B=\left(\begin{array}{cc}1 & 0 \\ 0 & 1 \\ 1 & 0\end{array}\right), \quad C=\left(\begin{array}{cc}1 & 1 \\ 0 & 1 \\ 0 & 0\end{array}\right)\]

a) (1 punto) Estudia, según los valores de \(m \in \mathbb{R}\), el rango de la matriz \(P = AB^T + C\), donde \(B^T\) es la matriz traspuesta de \(B\).

b) (1 punto) Para el valor \(m = 1\), calcula la inversa de la matriz \(P\) del apartado anterior.

7.

Dado el siguiente sistema:

\[\begin{cases} x+ay+z & = & 0 \\ x+y+a^2z & = & 0 \\ x+y+2az & = & 0 \end{cases}\]

a) (1 punto) Discute según los valores de \(a \in \mathbb{R}\) qué tipo de sistema es atendiendo a sus posibles soluciones (compatible determinado o indeterminado, incompatible).

b) (1 punto) Resuelve el sistema para \(a = 0\).

5.

Dada la siguiente matriz:

\[A = \begin{pmatrix} 1 & -1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \\ 1 & 0 & 1 \end{pmatrix}\]

a) (1 punto) Resuelve la ecuación matricial \(A X - 2 I = A^2\), donde \(I\) es la matriz identidad de orden 3.

b) (1 punto) Analiza el rango de la matriz \(A - m B\), según los valores de \(m \in \mathbb{R}\), siendo \(A\) la matriz del apartado anterior y \(B = \begin{pmatrix} 0 & -1 & 0 \\ 1 & 0 & 1 \\ 0 & -1 & 0 \end{pmatrix}\)

6.

a) (1 punto) Sabiendo que \(\begin{vmatrix} 1 & 1 & 1 \\ x & y & z \\ a & b & c \end{vmatrix} = -2\), calcula justificadamente \(\begin{vmatrix} -a+2 & -c+2 & -b+2 \\ x/2 & z/2 & y/2 \\ 3 & 3 & 3 \end{vmatrix}\)

b) (1 punto) Comprueba que la matriz B es invertible y calcula su inversa, siendo \(B = \begin{pmatrix} 3 & 2 & 0 \\ 0 & 1 & -1 \\ 5 & 3 & -1 \end{pmatrix}\)

7.

Dado el siguiente sistema:

\[\begin{cases} -x+3y+z & = & 5 \\ 2x & +az & = & -4 \\ 4x & -3z & = & a+1 \end{cases}\]

a) (1 punto) Discute según los valores de \(a \in \mathbb{R}\) qué tipo de sistema es atendiendo a sus posibles soluciones (compatible determinado, compatible indeterminado o incompatible).

b) (1 punto) Resuelve el sistema para \(a = 1\).

5.

Dada la siguiente matriz:

\[P = \begin{pmatrix} 0 & 1 & 1 \\ 1 & -k & -2k \\ 1 & -k & 0 \end{pmatrix}\]

a) (1 punto) Estudie el rango de la matriz \(A = I + P\), donde \(I\) es la matriz identidad de orden 3, según los valores de \(k \in \mathbb{R}\).

b) (1 punto) Para \(k = 1\), calcule la inversa de la matriz A del apartado anterior.

6.

Dadas las siguientes matrices:

\[B = \begin{pmatrix} 3 & -1 & 1 \\ 1 & 1 & 1 \\ -1 & 1 & -1 \end{pmatrix}, \quad C_1 = \begin{pmatrix} 1 & 1 \\ 3 & -1 \\ 1 & 0 \end{pmatrix}, \quad C_2 = \begin{pmatrix} -1 & 2 & 0 \\ 3 & 2 & 1 \end{pmatrix}\]

a) (1 punto) Compruebe que la matriz \(B\) tiene inversa y calcúlela.

b) (1 punto) Calcule la matriz \(X\) que verifica la siguiente ecuación matricial: \(I + B X = C_1 C_2\), donde \(I\) es la matriz identidad de orden 3.

7.

Dado el siguiente sistema:

\[\begin{cases} 3x-y+2z & = & 1 \\ x+4y+z & = & 3 \\ 2x-5y+az & = & -2 \end{cases}\]

a) (1 punto) Discuta según los valores de \(a \in \mathbb{R}\) qué tipo de sistema es atendiendo a sus posibles soluciones.

b) (1 punto) Resuelva el sistema para \(a = 0\).

5.

Dada la siguiente matriz:

\[A=\left(\begin{array}{ccc}0 & 0 & -2 \\ 1 & 2 & 1 \\ 1 & 0 & 3\end{array}\right)\]

a) (1,25 puntos) Estudie el rango de la matriz \(A-k I\) según los valores de \(k \in \mathbb{R}\), donde \(I\) es la matriz identidad de orden 3.

b) (0,75 puntos) Calcule la inversa de \(A-k I\) para \(k=0\).

6.

a) (1 punto) Sabiendo que \(\left|\begin{array}{lll}a & b & c \\ d & e & f \\ g & h & i\end{array}\right|=5\) calcule justificadamente \(\left|\begin{array}{ccc}2 d & 2 e+2 f & 2 f \\ -g & -h-i & -i \\ a & b+c & c\end{array}\right|\)

b) (1 punto) Dada la matriz \(A=\left(\begin{array}{lll}2 & 0 & 0 \\ 2 & 2 & 2 \\ 2 & 0 & 0\end{array}\right)\), resuelva el sistema \(\left(A-\frac{1}{2} A^{T}\right) \cdot X=\left(\begin{array}{l}0 \\ 9 \\ 5\end{array}\right)\) donde \(A^{T}\) es la matriz traspuesta de \(A\).

7.

a) (1 punto) Resuelva el siguiente sistema matricial

\[\left\{\begin{array}{l}2 X+3 Y=\left(\begin{array}{cc}-1 & 2 \\ 3 & 7\end{array}\right) \\ 3 X-2 Y=\left(\begin{array}{cc}5 & 3 \\ -2 & 4\end{array}\right)\end{array}\right.\]

b) (1 punto) Calcule \(\left(\begin{array}{cc}2 & 0 \\ -1 & 1\end{array}\right)^{n}, n \in \mathbb{N}\)

1.

Dadas las matrices \(A = \begin{pmatrix} a-3 & 0 & 4 \\ 1 & 0 & -2 \\ -1 & a & 2 \end{pmatrix}\) y \(b = \begin{pmatrix} 2 \\ -1 \\ a \end{pmatrix}\), siendo a un número real cualquiera.

a) (1,25 puntos) Discuta el sistema \(A\vec{x} = \vec{b}\) según los valores del parámetro \(a\).

b) (0,75 puntos) Resuelva el sistema cuando \(a = 1\).

2.

Una farmacia vende 3 tipos de mascarillas: quirúrgicas desechables, higiénicas y quirúrgicas reutilizables. El precio medio de las 3 mascarillas es de 0,90€. Un cliente compra 30 unidades de mascarillas quirúrgicas desechables, 20 mascarillas higiénicas y 10 quirúrgicas reutilizables, debiendo abonar por todas ellas 56€. Otro cliente compra 20 unidades de mascarillas quirúrgicas desechables y 25 unidades de mascarillas reutilizables y paga 31€. Calcule el precio de cada tipo de mascarilla.

3.

Resuelva la ecuación matricial \(X A+X A^{t}=B\), siendo \(A=\left(\begin{array}{ccc}1 & -1 & 0 \\ 0 & 1 & 2 \\ -1 & -1 & 0\end{array}\right)\) y \(B=\left(\begin{array}{ccc}0 & 1 & -1 \\ 3 & 0 & -1\end{array}\right)\)

1.

Dado el siguiente sistema de ecuaciones:

\[\begin{cases} x+y+(m+1)z & = & 2 \\ x+(m-1)y+2z & = & 1 \\ 2x+my+z & = & -1 \end{cases}\]

Discuta el sistema según los valores de \(m \in \mathbb{R}\).

2.

Dadas las matrices \(A=\left(\begin{array}{ccc}1 & 0 & 3 \\ -1 & 0 & 1\end{array}\right), \quad B=\left(\begin{array}{lll}0 & 2 & 1 \\ 1 & 0 & 1\end{array}\right) \quad y \quad C=\left(\begin{array}{ll}-1 & 1 \\ -1 & 0\end{array}\right)\)

a) (1 punto) Calcule, si es posible, \(\left(A \cdot B^{t}\right)^{-1}\).

b) (1 punto) Compruebe que, \(C^{3}=I\), donde es la matriz identidad, y calcule \(C^{16}\).

1A.

a) (1,5 punto) Considere el siguiente sistema de ecuaciones, donde \(k\) es un parámetro real:

\[\begin{cases} 2x-y-kz & = & 1 \\ -x+y-kz & = & 0 \\ 2x-ky+2kz & = & -k \end{cases}\]

Determine los valores del parámetro real \(k\), para los que este sistema es compatible determinado, compatible indeterminado o incompatible.

b) (1,5 punto) Resuelva el sistema cuando \(k=1\).

1B.

a) (1,5 puntos) Estudie el rango de la matriz que aparece a continuación según los diferentes valores del parámetro real \(m\).

\[A=\left(\begin{array}{ccc}1 & 1 & 0 \\ 3 & m & 1 \\ 0 & -2 & m\end{array}\right)\]

b) (1,5 puntos) Determine la inversa de la matriz \(A\) anterior cuando \(m=-1\).

1A.

a) Determine el rango de la matriz \(A\) siguiente, según los diferentes valores del parámetro \(k\). (2 puntos)

\[A=\left(\begin{array}{ccc}k & 0 & k \\ 0 & k+2 & 0 \\ 1 & 1 & k+2\end{array}\right)\]

b) (1 punto) Determine la inversa de la matriz \(A\) anterior cuando \(k=1\).

1B.

a) (1,5 puntos) El club deportivo Collarada está formado por 60 deportistas de las siguientes disciplinas: esquí alpino, esquí nórdico y escalada. Se sabe que hay 16 deportistas menos de esquí alpino que la suma de los de esquí nórdico y escalada. Además, el número de deportistas de esquí alpino más los de escalada es tres veces el número de deportistas de esquí nórdico. Calcula el número de deportistas de cada disciplina.

b) (1,5 puntos) Sabiendo que \(a=-2\), calcule el valor del siguiente determinante.

\(\left|\begin{array}{ccc}a & a+b & a-c \\ 2 a & 3 a+2 b & 4 a-2 c \\ 3 a & 6 a+3 b & 10 a-3 c\end{array}\right|\)

1A.

Considere el siguiente sistema de ecuaciones

\[\begin{cases} x+y+mz & = & m \\ mx+(m-1)y+z & = & 2 \\ x+y+z & = & 1 \end{cases}\]

a) Determine los valores del parámetro \(m\) para los que ese sistema de ecuaciones es compatible determinado, compatible indeterminado o incompatible.

b) Encuentre las soluciones de ese sistema cuando \(m=1\).

c) Considere las matrices:

\[C=\begin{pmatrix} 1 \\ -1 \\ 0 \end{pmatrix}, \quad D=(1 \quad 2 \quad -1)\]

Determine el rango de la matriz producto CD.

1B.

Considere la matriz:

\[A=\begin{pmatrix} 3 & 0 & 1 \\ 0 & 0 & 0 \\ 1 & 0 & 3 \end{pmatrix}\]

a) Determine los valores del parámetro K para los que la matriz A-kI tenga inversa, siendo I la matriz identidad de orden 3.

b) Encuentre la matriz X que verifica que: \((A-3 I) X=2 I\)

1A.

Sea "m" una constante real. Determine para qué valores de "m" el sistema es compatible determinado, compatible indeterminado o incompatible:

\[\begin{cases} 5x+4y+z & = & 0 \\ 2x+3y+z & = & 0 \\ 4x-y+m^2z & = & m-1 \end{cases}\]

1B.

Sea k una constante real y considere la matriz:

\[A=\begin{pmatrix} 1 & 0 & 4 \\ 0 & k & 3k+2 \\ 1 & 0 & -k \end{pmatrix}\]

a) Estudie la existencia de inversa de la matriz A según los diferentes valores de k.

b) Si k=2, calcule la inversa de A, si existe.

c) Determine el rango de la matriz A según los diferentes valores de k.

1A.

a) (2 puntos) Clasifique el siguiente sistema de ecuaciones, según los diferentes valores de la constante real \(\lambda\) :

\[\begin{cases} x +y & = & 1 \\ 2x+ & z & = & 0 \\ x+(1+\lambda)y+\lambda z & = & \lambda+1 \end{cases}\]

b) (1 punto) Halle la solución, si existe, cuando \(\lambda=1\).

1B.

a) (2 puntos) Sea A una matriz de dimensión 3 x 3 y denotamos por \(|A|\) el determinante de la matriz.

a.1) (1 punto) Considere la matriz \(B=\left(\frac{1}{2}\right) A\). Si \(|B|=1\), calcule el determinante de \(A\), es decir: |A|.

a.2) (1 punto) Si

\[A=\begin{pmatrix} x & 1 & 1 \\ x-1 & 2 & 0 \\ 2 & x-1 & 2 \end{pmatrix}\]

Determine los valores de \(x\) para los que se cumple que \(|B|=1\), siendo \(B=\left(\frac{1}{2}\right) A\).

b) (1 punto) Determine las matrices cuadradas de dimensión \(2 \times 2\) de la forma

\[M=\begin{pmatrix} 1 & x \\ 0 & y \end{pmatrix}\]

que verifiquen que

\[M M^{\prime}=\begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 4 \end{pmatrix}\]

donde M' representa la matriz traspuesta de M.

1A.

a) Determine para qué valores de k el sistema \(\left\{\begin{array}{l}x+y+kz=6 \\ x+ky+z=0 \\ kx-y+z=-6\end{array}\right.\) es compatible determinado, compatible indeterminado o incompatible.

b) Resuélvalo, si es posible para \(k=-1\).

1B.

a) Determine, si existe, la matriz inversa de \(M=\left(\begin{array}{ccc}2 & 2 & -1 \\ -1 & 0 & 2 \\ 2 & -2 & 1\end{array}\right)\). En caso de que exista, compruebe que la matriz encontrada es efectivamente la inversa de la matriz M.

b) Determine la matriz \(A^2+B^2\) siendo A y B las matrices solución del siguiente sistema: \(\left\{\begin{array}{l}2A+B=\left(\begin{array}{ccc}1 & 4 & 2 \\ 0 & 0 & 0\end{array}\right) \\ A-B=\left(\begin{array}{ccc}1 & -1 & 1 \\ 0 & 0 & 0\end{array}\right)\end{array}\right.\).

1A.

a) Sea \(\lambda\) un parámetro real cualquiera, determine para qué valores de \(\lambda\) el sistema \(\left\{\begin{array}{l}-x+\lambda y+\lambda z=4 \\ \lambda x+\lambda y+z=6 \\ -\lambda x+\lambda y+\lambda z=3+\lambda\end{array}\right.\) es compatible determinado, compatible indeterminado o incompatible.

b) Resuélvalo, si es posible para \(\lambda=2\).

1B.

a) Sea "a" un parámetro real. Determine el rango de \(A=\left(\begin{array}{ccc}a+1 & a+1 & 0 \\ -1 & 0 & 1 \\ -1 & 0 & 1 \\ a & -2 & a\end{array}\right)\), según los valores del parámetro "a".

b) Se considera una matriz de orden 3 × 3 cuyas columnas son \(C_1\), \(C_2\) y \(C_3\) y cuyo determinante es 2. Se define ahora la matriz B cuyas columnas son \(-C_1\), \(C_3+C_2\) y \(3C_1\). Determine el determinante de la inversa de B, si existe.

1A.

a) Sea \(\lambda\) un parámetro real cualquiera. Determine para qué valores de \(\lambda\) el sistema de ecuaciones \(\left\{\begin{array}{l}2x-2y-\lambda z=2 \\ \lambda x-y+z=5 \\ 3x+4y+(\lambda-1) z=\lambda-5\end{array}\right.\) es compatible determinado, compatible indeterminado o incompatible.

b) Determine la inversa de la matriz \(A=\left(\begin{array}{ccc}1 & 2 & 3 \\ 1 & 1 & 0 \\ 1 & 2 & 0\end{array}\right)\).

1B. Sea \(\lambda\) un parámetro real cualquiera y considere la matriz \(A=\left(\begin{array}{ccc}3 & \lambda & -5 \\ -5 & -\lambda & -5 \\ \lambda & 0 & 3\end{array}\right)\) y el vector \(\vec{b}=\left(\begin{array}{c}\lambda \\ \lambda \\ \lambda\end{array}\right)\).

a) ¿Para qué valores de \(\lambda\) existe la matriz \(M=(A-2I)^{-1}\), siendo I la matriz identidad de orden 3?

b) Si \(\lambda=0\), encuentre los valores de x, y, z que satisfacen la ecuación \(A\vec{b}=2\vec{b}+\vec{c}\), donde \(\vec{c}=\left(\begin{array}{c}1 \\ y \\ 1\end{array}\right)\).

c) Sean \(F_1\), \(F_2\) y \(F_3\) la primera, segunda y tercera filas, respectivamente, de una matriz M de orden 3 x 3 cuyo determinante es -2. Calcule el determinante de una matriz cuyas filas primera, segunda y tercera son, respectivamente, \(5F_1 - F_3\), \(3F_3\) y \(F_2\).

1A. Sea \(\lambda\) un parámetro real. Considere la matriz \(A=\left(\begin{array}{ccc}\lambda+1 & \lambda+1 & 0 \\ -1 & 0 & 1 \\ \lambda & -2 & \lambda\end{array}\right)\).

a) Determine el rango de A según los valores de \(\lambda\).

b) Determine para qué valores de \(\lambda\) existe la inversa de A y determine su inversa, si existe, cuando \(\lambda = -2\).

1B.

a) Considere la matriz \(S=\left(\begin{array}{ccc}\frac{a}{3} & \frac{b}{3} & \frac{c}{3} \\ \frac{a}{3} & \frac{b}{3} & \frac{c}{3} \\ \frac{a}{3} & \frac{b}{3} & \frac{c}{3}\end{array}\right)\) y los vectores \(\vec{u}=\left(\begin{array}{c}a \\ b \\ c\end{array}\right)\), \(\vec{v}=\left(\begin{array}{c}1 \\ 0 \\ 1\end{array}\right)\) y \(\vec{w}=\left(\begin{array}{c}1 \\ 2 \\ 3\end{array}\right)\), donde x, y, z son números reales. Determine x, y, z para que el vector \(\vec{t}=\left(\begin{array}{c}1 \\ 2 \\ 3\end{array}\right)\) sea solución del sistema \(S \cdot \vec{X}=\vec{v}\).

b) Sea ahora la matriz y vectores siguientes: \(T=\left(\begin{array}{ccc}a & b & c \\ b & c & a \\ c & a & b\end{array}\right)\), \(\vec{X}=\left(\begin{array}{c}x \\ y \\ z\end{array}\right)\), \(\vec{v}=\left(\begin{array}{c}1 \\ 0 \\ 1\end{array}\right)\), donde a, b y c son números reales que verifican que \(a \neq 0\), \(a+b=0\), \(c=a\). Determine si el sistema \(T \cdot \vec{X}=\vec{v}\) es compatible determinado.

1A.

a) Sean A y B matrices 2 x 2. Determine dichas matrices sabiendo que se verifican las siguientes ecuaciones: \(\left\{\begin{array}{l}A+B=\left(\begin{array}{cc}2 & 4 \\ -3 & -4\end{array}\right) \\ A-B=\left(\begin{array}{cc}2 & -1 \\ -3 & -1\end{array}\right)\end{array}\right.\)

b) Sean las matrices \(C=\left(\begin{array}{cc}1 & 1 \\ 0 & 1\end{array}\right)\) y \(D=\left(\begin{array}{cc}2 & 2 \\ 0 & 1\end{array}\right)\). Determine el determinante \((C \cdot D)^{-1}\), donde \((C \cdot D)^{-1}\) es la matriz inversa de \((C \cdot D)\).

1B. Determine para qué valores de \(\alpha\) el sistema \(\left\{\begin{array}{l}a x-y+3 z=6 \\ x+a y+3 z=6 \\ x-y+a z=3\end{array}\right.\) es compatible determinado, compatible indeterminado o incompatible.

1A. Sea m un número real y considere la matriz \(A=\left(\begin{array}{ccc}m & -1 & 0 \\ 2 & 1 & 0 \\ m & -1 & 1\end{array}\right)\)

a) Determine todos los valores de m para los que la matriz A tiene inversa.

b) Determine, si existe, la inversa de A cuando m = 0.

c) Determine, si existe, la inversa de \(A^2\) cuando m = 0.

1B. Considere las matrices de orden 2 x 2: \(A=\left(\begin{array}{cc}-1 & -4 \\ 2 & -1\end{array}\right)\), \(B=\left(\begin{array}{cc}1 & 2 \\ 1 & 0\end{array}\right)\) y \(D=\left(\begin{array}{cc}-4 & 2 \\ -2 & -3\end{array}\right)\).

a) Determine dos matrices M y N de orden 2 x 2 tales que: \(\left\{\begin{array}{l}A M+B N=D \\ A M=N\end{array}\right.\)

b) Se considera una matriz G de orden 3 x 3, cuyas columnas se representan por \(C_1\), \(C_2\) y \(C_3\) y cuyo determinante vale 2. Considere ahora la matriz H cuyas columnas son las siguientes: \(C_3\), \(C_3 + C_2\), \(3C_1\), ¿cuál es el determinante de esta nueva matriz H?

1A. Considere el siguiente sistema de ecuaciones:

\(\left\{\begin{array}{c}x+y+z=0 \\ x+2 y+4 z=6 \\ \lambda x+\lambda y+\lambda z=0\end{array}\right.\)

a) Determine los valores de λ para los que el sistema de ecuaciones tiene solución única.

b) Resuelva el sistema, si es posible, cuando λ = 4 y cuando λ = 0.

1. Sean las matrices siguientes: \(A=\left(\begin{array}{ccc}0 & 1 & a \\ 0 & 0 & 1\end{array}\right)\) y \(B=\left(\begin{array}{ccc}2 & -1 & 0 \\ 1 & 0 & -1\end{array}\right)\).

a) ¿Para qué valores de α existe la inversa de A · B? ¿Y la de B · A?

b) Encuentre la inversa de la matriz \(C=\left(\begin{array}{ccc}4 & 3 & 2 \\ 3 & 4 & 3 \\ 2 & 3 & 4\end{array}\right)\). Compruebe que cuando la matriz encontrada se multiplica por la izquierda por C, se obtiene la matriz identidad.

1A. Sea la matriz \(A=\left(\begin{array}{ccc}5 & 3 & -1 \\ 0 & 1 & 1 \\ 0 & m & 1\end{array}\right)\)

a) Discuta el sistema \(A \cdot X=\left(\begin{array}{c}0 \\ 0 \\ 0\end{array}\right)\), donde \(X=\left(\begin{array}{c}x \\ y \\ z\end{array}\right)\), para cada uno de los valores de m y resuélvalo para los valores de m siguientes: m = -1 y m = 2.

b) Determine la inversa de la matriz A cuando m = 0.

1B. a) Determine el rango de la matriz \(A=\left(\begin{array}{ccc}a+2 & -a & 4 \\ 2 & 2 & 6 \\ -a & a & -10\end{array}\right)\), según los diferentes valores de α.

b) Determine, si existe, una matriz A, 2 x 2, que verifique la siguiente ecuación matricial: \(A \cdot \left(\begin{array}{cc}2 & 1 \\ 1 & 1\end{array}\right) - \left(\begin{array}{cc}1 & 1 \\ 0 & 1\end{array}\right) \cdot A = \left(\begin{array}{cc}3 & 3 \\ -3 & -3\end{array}\right)\). ¿Cuál es el rango de A?

1A. a) El determinante de la matriz \(A=\left(\begin{array}{ccc}1 & 0 & 1 \\ 1 & 2 & -1 \\ 0 & 1 & 1\end{array}\right)\) es dos. Sin utilizar la regla de Sarrus, determine cuanto vale el determinante de la matriz \(B=\left(\begin{array}{ccc}1 & 0 & 2 \\ 1 & 2 & 4 \\ 0 & 1 & 0\end{array}\right)\). Enuncie las propiedades que utilice.

b) Sea la matriz \(C=\left(\begin{array}{ccc}\cos x & 0 & \sin x \\ \sin x & 1 & -\cos x \\ 0 & 0 & 1\end{array}\right)\). Determine los valores de x para los cuales la matriz C tiene inversa y calcularla cuando sea posible.

1. a) Determine para que valores de m el sistema

\(\left\{\begin{array}{l}m x+y+2 z=0 \\ x+m y+2 z=6 \\ 2 x+y+m z=-4\end{array}\right.\)

es compatible determinado, compatible indeterminado o incompatible.

b) Se sabe que una matriz simétrica B de dimensión 3x3 tiene como determinante -3. Determine el determinante de la matriz \(B + B^t\) donde \(B^t\) denota la traspuesta de B.

1A. Sean α un número real y el sistema lineal

\(\left\{\begin{array}{l}a x+y+z=1 \\ x+a y+z=1 \\ x+y+a z=2\end{array}\right.\)

a) Calcule el determinante de la matriz de los coeficientes y determine para qué valores de α el sistema anterior es incompatible, compatible determinado y compatible indeterminado.

b) Resuelva el sistema anterior en el caso de α = 0.

1B. a) Compruebe que la matriz \(M=\left(\begin{array}{ccc}1 & 0 & 1 \\ 2 & 1 & 2 \\ 1 & -1 & 2\end{array}\right)\) es inversible y calcule su inversa.

b) Encuentre las matrices A y B que cumplen las ecuaciones

\(\left\{\begin{array}{l}A-B=\left(\begin{array}{ccc}2 & 0 & 3 \\ 5 & 3 & -1 \\ 8 & 0 & 3\end{array}\right) \\ A-2B=\left(\begin{array}{ccc}1 & 0 & 4 \\ 2 & -3 & -1 \\ 1 & 0 & -1\end{array}\right)\end{array}\right.\)

1A. Sea la matriz \(A=\left(\begin{array}{cc}a & 0 \\ 1 & -a\end{array}\right)\).

a) Calcular el determinante de la matriz \((A \cdot A^t)\) con \(A^t\) la traspuesta de A.

b) Estudiar para qué valores del parámetro α se satisface la ecuación: \(A \cdot A^t + 2 \cdot A^2 = 0\), con \(\det(A) \neq 0\).

c) Obtener la inversa de A cuando sea posible.

1B. Utilizar las propiedades de los determinantes para obtener los valores de α y b que satisfacen simultáneamente las ecuaciones

\(\left|\begin{array}{ccc}a+1 & 0 & 2 \\ a+1 & b & -a \\ 0 & a+2 & b\end{array}\right|=0\)

y

\(\left|\begin{array}{ccc}a & a & a \\ a & 2 & a \\ a & a & 2\end{array}\right|=0\)

1A. a) Discutir y resolver cuando sea posible el sistema de ecuaciones:

\(\left\{\begin{array}{l}a x+y=0 \\ -2 x+y+a z=1 \\ y+a z=1\end{array}\right.\)

b) ¿Existe algún valor del parámetro a para el cual el vector \(\left(\begin{array}{l}1 \\ 2 \\ 0\end{array}\right)\) sea solución del sistema anterior?

1B. a) Sean las matrices \(A=\left(\begin{array}{cc}\cos a & -\sin a \\ \sin a & \cos a\end{array}\right)\) y \(B=\left(\begin{array}{cc}\cos a & 0 \\ 0 & \cos a\end{array}\right)\). Estudiar los valores de a que hacen que sea cierta la igualdad \(\det(A^2) - \det(A \cdot B) \cdot (1 + \det(A)) = 0\).

b) Utilizar las propiedades de los determinantes para calcular el valor del determinante \(D=\left|\begin{array}{ccc}a+2 & b+2 & c+2 \\ a+3 & b+3 & c+3 \\ a+4 & b+4 & c+4\end{array}\right|\), con \(a, b, c \in \mathbb{R}\).

1A. a) Discutir y resolver cuando sea posible el sistema de ecuaciones:

\(\left\{\begin{array}{l}a x+y=0 \\ -2 x+y+a z=1 \\ y+a z=1\end{array}\right.\)

b) ¿Existe algún valor del parámetro a para el cual el vector \(\left(\begin{array}{l}1 \\ 2 \\ 0\end{array}\right)\) sea solución del sistema anterior?

1B. Discuta, en función del parámetro a, el sistema lineal

\(\left\{\begin{array}{c}x+y+z=1 \\ x+(1+a) y+z=-1 \\ (a+1) x+y+z=-1\end{array}\right.\)

y resuélvalo en los casos de compatibilidad.

1A. a) Estudiar para qué valores de α el determinante de la matriz \(A=\left(\begin{array}{ccc}a & 0 & 2 a \\ 0 & a-1 & 0 \\ -a & 0 & -a\end{array}\right)\) es no nulo. Para α = 3, obtener el determinante de la matriz 2·A.

b) Sean las matrices \(A=\left(\begin{array}{cc}1 & -1 \\ 2 & 0 \\ 0 & 3\end{array}\right), B=\left(\begin{array}{ccc}1 & 2 & -1 \\ 0 & 3 & -1\end{array}\right)\). Calcular el rango de \((A \cdot B)^{T}\).

1B. Sean \(A=\left(\begin{array}{ccc}1 & -3 & 0 \\ 3 & 4 & -2 \\ -3 & -3 & 1\end{array}\right)\) y \(B=\left(\begin{array}{ccc}1 & 3 & 2 \\ -1 & -5 & 2 \\ 0 & 3 & 0\end{array}\right)\).

a) Discutir si los vectores columna de B forman una base del espacio vectorial \(\mathbb{R}^3\).

b) Calcular la matriz inversa de A y escribir una expresión donde intervengan las matrices A y B con el resultado obtenido.

1A. Calcular, en función de los valores del parámetro k, el rango de la matriz \(B=\left(\begin{array}{ccc}1 & -2 & 1 \\ 1 & 1 & 3 \\ 5 & -1 & k\end{array}\right)\).

1B. a) Resolver el determinante \(\left|\begin{array}{ccc}a & b & c \\ -a+c & -b-a & -c+b \\ a+c & b-a & c+b\end{array}\right|\), sin utilizar la Regla de Sarrus.

b) Para \(M=\left(\begin{array}{cc}-\frac{1}{2} & \frac{3}{4} \\ 1 & \frac{1}{2}\end{array}\right)\), calcular \(M^{n}\) con \(n \in \mathbb{N}\).

1A. Discutir y resolver el sistema lineal \(\left\{\begin{array}{l}x+y+z=1 \\ m x+m^{2} y+m^{2} z=1 \\ m x+m y+m^{2} z=1\end{array}\right.\) en función de los valores del parámetro m.

1B. Dada la matriz \(\begin{array}{lll}1 & 0 & 0 \\ 1 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1\end{array}\), calcular la inversa de \(A^{n}\).

1A. Hallar la matriz \(X=\left(\begin{array}{ll}a & b \\ c & d\end{array}\right)\) de orden 2 tal que \(A^{-1} \cdot X \cdot A=B\) siendo \(A=\left(\begin{array}{cc}3 & 1 \\ -2 & -1\end{array}\right)\) y \(B=\left(\begin{array}{cc}1 & -1 \\ 2 & 1\end{array}\right)\).

2B.

a) Probar que \(\left|\begin{array}{ccc}1 & 1 & 1 \\ a & b & c \\ a^{2} & b^{2} & c^{2}\end{array}\right|=(b-a)(c-a)(c-b)\).

b) Hallar la solución del sistema de ecuaciones \(\left\{\begin{array}{l}x+2 y+3 z=0 \\ x+4 y+9 z=2\end{array}\right.\) que además satisface que la suma de los valores correspondientes a cada una de las incógnitas es 4.

1A. Sean las matrices \(A=\left(\begin{array}{lll}0 & 1 & 1 \\ 1 & 1 & 0 \\ 1 & 0 & 0\end{array}\right)\), \(B=\left(\begin{array}{ccc}6 & -3 & -4 \\ -3 & 2 & 1 \\ -4 & 1 & 5\end{array}\right)\) e \(I=\left(\begin{array}{lll}1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1\end{array}\right)\), estudiar si existe algún valor \(\lambda \in \mathbb{R}\) para el cual se satisfaga \((A-\lambda I)^{2}=B\).

1B. Dado el sistema \(\left\{\begin{array}{l}x+3 y-a z=4 \\ -a x+y+a z=0 \\ -x+2 a y=a+2 \\ 2 x-y-2 z=0\end{array}\right.\), discutirlo según los valores de a, y resolverlo cuando sea posible.

1A. Dadas las matrices \(A=\left(\begin{array}{cc}3 & 1 \\ -8 & -3\end{array}\right)\) e \(I=\left(\begin{array}{cc}1 & 0 \\ 0 & 1\end{array}\right)\), se pide:

a) Comprobar que \(\det(A^2)=[\det(A)]^2\).

b) Estudiar si se cumple que \(\det(M^2)=[\det(M)]^2\) para cualquier matriz \(M=\left(\begin{array}{cc}a & b \\ c & d\end{array}\right)\) de orden 2.

c) Encontrar la relación entre los elementos de las matrices \(M\) cuadradas de orden 2 que satisfacen \(\det(M+I)=\det(M)+\det(I)\).

1B. Sean \(A=\left(\begin{array}{lll}0 & \alpha & \beta \\ 0 & 0 & \alpha \\ 0 & 0 & 0\end{array}\right)\) y \(B=\left(\begin{array}{ccc}1 & k & 1 \\ 0 & 1 & k \\ 0 & 0 & 1\end{array}\right)\):

a) Estudiar para qué valores de \(\alpha\) y \(\beta\) la matriz A tiene inversa.

b) Calcular \(A^{5}\).

c) Hallar la matriz inversa de B.

1A. Considerar el sistema lineal de ecuaciones en \(x, y, z:\left\{\begin{array}{l}x+3 y+z=5 \\ m x+2 z=0 \\ m y-z=m\end{array}\right.\). Se pide:

a) Determinar los valores del parámetro m para que los que el sistema tiene solución única. Calcular dicha solución para \(m=1\).

b) Determinar los valores del parámetro m para los que el sistema tiene infinitas soluciones. Calcular dichas soluciones.

c) Estudiar si existe algún valor de m para el cual el sistema no tiene solución.

1B. Un cajero automático contiene 95 billetes de 10, 20 y 50 euros y un total almacenado de 2.000 euros. Si el número total de billetes de 10 euros es el doble que el número de billetes de 20 euros, averiguar cuántos billetes de cada tipo hay.

1A. La liga de fútbol de un cierto país la juegan 21 equipos a doble vuelta. Este año, los partidos valían 3 puntos, los empatados 1 punto y los perdidos 0 puntos. En estas condiciones, el equipo campeón obtuvo 70 puntos. Hasta el año pasado los partidos ganados valían 2 puntos y el resto igual. Con el sistema antiguo, el actual campeón hubiera obtenido 50 puntos. ¿Cuántos partidos ganó y perdió el equipo campeón?

1B. Teniendo en cuenta que \(\left|\begin{array}{lll}a & b & c \\ p & q & r \\ x & y & z\end{array}\right|=7\), calcular el valor del siguiente determinante sin desarrollarlo:

1A. Se consideran las matrices \(A=\left(\begin{array}{ccc}1 & 2 & \lambda \\ 1 & -1 & -1\end{array}\right), B=\left(\begin{array}{ll}1 & 3 \\ \lambda & 0 \\ 0 & 2\end{array}\right)\), donde \(\lambda\) es real.

a) Encontrar los valores de \(\lambda\) para los que la matriz A \(\cdot\) B tiene inversa.

b) Dados a y b números reales cualesquiera, ¿puede ser el sistema \(A \cdot\left(\begin{array}{l}x \\ y \\ z\end{array}\right)=\binom{a}{b}\) compatible determinado con A la matriz del enunciado?

1B. Sea la matriz \(A=\left(\begin{array}{ccc}a^{2} & a b & a b \\ a b & a^{2} & b^{2} \\ a b & b^{2} & a^{2}\end{array}\right)\).

a) Sin utilizar la regla de Sarrus, calcular el determinante de dicha matriz.

b) Estudiar el rango de A en el caso en que b = -a.

1A. Eva, Marta y Susana son tres jóvenes amigas que se comprometen a leer el Quijote este verano. Cada una por separado y en función del tiempo del que dispone, decide leer un mismo número de páginas cada día hasta terminar la obra. Eva leerá diariamente 5 páginas más que Marta y ésta 6 páginas más que Susana. Por ello Eva terminará la obra dos semanas antes que Marta y ésta 30 días antes que Susana. Se pregunta cuál es el total de páginas que tiene la versión de la inmortal obra cervantina que leen estas amigas.

1B. Estudiar según el valor del parámetro \(\lambda\), el sistema de ecuaciones \(\left\{\begin{array}{l}\lambda x+y+z=1 \\ x+\lambda y+z=1 \\ x+y+z=\lambda^{2}\end{array}\right.\) y resolverlo si en algún caso es compatible indeterminado.

1A. Eva, Marta y Susana son tres jóvenes amigas que se comprometen a leer el Quijote este verano. Cada una por separado y en función del tiempo del que dispone, decide leer un mismo número de páginas cada día hasta terminar la obra. Eva leerá diariamente 5 páginas más que Marta y ésta 6 páginas más que Susana. Por ello Eva terminará la obra dos semanas antes que Marta y ésta 30 días antes que Susana. Se pregunta cuál es el total de páginas que tiene la versión de la inmortal obra cervantina que leen estas amigas.

1B. La terna (0, 0, 0) es siempre solución del sistema \(\left\{\begin{array}{r}x+2 y-a z=0 \\ a x-y+z=0 \\ 2 a y+y-z=0\end{array}\right\}\), independientemente del valor del parámetro a.

a) Indicar para qué valores del parámetro a la citada terna es la única solución del sistema.

b) Indicar algún valor del parámetro a, si existe, para el cual el sistema tenga algunas soluciones distintas de la nula y mostrar estas soluciones. (Nota: si se encuentran varios valores del parámetro a cumpliendo la condición pedida, para responder a esta cuestión basta con tomar uno solo de ellos)

1A. Sea el sistema homogéneo de ecuaciones \(\left\{\begin{array}{c}x+y-2 z=0 \\ a x-y+z=0 \\ x+2 a y-z=0\end{array}\right\}\):

a) Determinar el valor o valores del parámetro a para que el sistema tenga soluciones distintas de la nula.

b) Resolver el sistema para el valor o valores de a hallados en el apartado anterior.

1B. Determinar una matriz cuadrada \(X\) que verifique: \(A \cdot X+X \cdot A=\left(\begin{array}{cc}2 & -2 \\ 3 & 3\end{array}\right)\), siendo \(A=\left(\begin{array}{ll}1 & 0 \\ 1 & 1\end{array}\right)\). Luego analizar si la matriz \(X\) es inversible, y en el caso de serlo, calcular su matriz inversa.

1A. Cuando el año 1800, Beethoven escribe su primera sinfonía, su edad es diez veces mayor que la del jovencito Franz Schubert. Pasa el tiempo y es Schubert quien compone su célebre Sinfonía Incompleta. Entonces la suma de las edades de ambos músicos es igual a 77 años. Cinco años después muere Beethoven y en ese momento Schubert tiene los mismos años que tenía Beethoven cuando compuso su Primera Sinfonía. Determinar el año de nacimiento de cada uno de estos dos compositores.

Nota: Solamente se calificarán los resultados obtenidos matemáticamente, no los derivados de los conocimientos histórico-musicales del examinando.

1B. Sea el sistema \(\left\{\begin{array}{r}x+3 y+z=5 \\ a x+2 z=0 \\ a y+z=a\end{array}\right\}\). Se pide clasificarlo según los valores del parámetro a y resolverlo si en algún caso es compatible indeterminado.

1A. Discutir el siguiente sistema de ecuaciones \(\left\{\begin{array}{l}a x+y-z=1 \\ x+2 y-a z=2 \\ -x+y-z=a-1\end{array}\right.\) según los valores del parámetro a. Entre los valores de a que hacen el sistema compatible, elegir uno en particular y resolver el sistema que resulte al reemplazar a por el valor elegido.

1. Sean las matrices \(A=\left(\begin{array}{cc}1 & -1 \\ 4 & 2\end{array}\right)\) y \(B=\left(\begin{array}{cc}1 & 0 \\ 4 & -1\end{array}\right)\) vemos que ambas tienen rango máximo, o sea 2.

a) Determinar los valores de c tales que \(A+c \cdot B\) ya no tenga rango 2.

b) ¿Cuál es el rango que tienen las matrices suma para los valores obtenidos?

1A. Luis, Juan y Óscar son tres amigos. Luis dice a Juan: "Si yo te doy la tercera parte del dinero que tengo, los tres tendremos la misma cantidad". Calcular lo que tiene cada uno de ellos sabiendo que entre los tres tienen 60 euros.

1B. Buscar una matriz cuadrada X (pueden existir varias) cuyo primer elemento \(a_{11}\) valga 2 y tal que la siguiente suma \(\left(\begin{array}{cc}2 & -2 \\ 6 & 0\end{array}\right) \cdot X+X \cdot\left(\begin{array}{cc}-1 & -1 \\ 11 & -1\end{array}\right)\) sea la matriz nula.

1A. Sean las matrices \(A=\left(\begin{array}{lll}1 & 0 & 1 \\ 0 & 2 & 0 \\ 1 & 1 & 0\end{array}\right)\) y \(B=\left(\begin{array}{lll}0 & 1 & 1 \\ 1 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 2\end{array}\right)\). Es fácil comprobar que ambas tienen el máximo rango, que es 3. Pero, ¿qué ocurre si las combinamos linealmente? En concreto, estudiar el rango de la matriz \(A+\lambda B\), según los valores del parámetro \(\lambda\).

1B.

a) Discutir el sistema de ecuaciones \(\left\{\begin{array}{l}2 x+y-z=0 \\ a x-y-z=a-1 \\ 3 x-2a z=a-1\end{array}\right.\) según los valores del parámetro a.

b) Hallar, si existe, la solución cuando a \(=0\).

1A.

a) Discutir el sistema \(\left\{\begin{array}{r}(a^{2}-1) x+(a-1) y=0 \\ a^{2} y+z=0 \\ (a^{2}-1) x+a y+z=1\end{array}\right\}\) según el valor del parámetro a.

b) Hallar, si existe, la solución cuando \(a=4\).

1B. Sea \(M=\left\{\left(\begin{array}{cc}2 & -2 \\ 6 & 0\end{array}\right) ; a, b \in \mathbb{R}\right\}\).

a) Probar que si \(A, B \in M\), también \(A+B\) y \(A \cdot B\) están en M.

b) Determinar las matrices \(C \in M\) que verifican que \(C^{2}=2 C\).

1A. Dado el sistema de ecuaciones dependientes del parámetro a \(\left\{\begin{array}{l}x+2 y+z=a \\ x+y-a z=a \\ 2 x+3 y+z=a\end{array}\right.\) se pide:

a) Discusión del mismo en función del parámetro a.

b) Resolución en los casos de compatibilidad.

1B. Dadas las matrices \(A=\left(\begin{array}{lll}2 & 0 & 0 \\ 1 & 2 & 1 \\ 0 & 0 & 2\end{array}\right)\) e \(I=\left(\begin{array}{lll}1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1\end{array}\right)\), se pide:

a) Calcular \(A^{2}-4 A+4 I\).

b) Calcular, si existe, la inversa de la matriz A.

1A. Dadas las matrices \(A=\left(\begin{array}{lll}0 & a & 0 \\ 0 & 0 & a \\ 0 & 0 & 0\end{array}\right)\) e \(I_{3}=\left(\begin{array}{lll}1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1\end{array}\right)\), se pide:

a) Hallar \(A^{n}\) para todo n entero y positivo.

b) Calcular, si existe, la inversa de la matriz A y de la matriz \(M=I_{3}+A\).

1B. Tenemos una matriz de 3 por 3 cuyas columnas son (de izquierda a derecha): \(C_{1}, C_{2}, C_{3}\) y su determinante vale 2.

a) Sea la matriz A cuyas columnas son (de izquierda a derecha) \(-C_{2}, C_{3}+C_{2}, 3 C_{1}\), calcular razonadamente el determinante de la matriz \(A^{-1}\), caso de que esta matriz inversa exista.

b) Sea ahora la matriz cuyas columnas son: \(C_{1}+C_{2}, C_{2}+C_{3}, C_{3}-C_{1}\). Razonar la existencia o no existencia de la matriz inversa de la misma.

1A. Dada la matriz \(A=\left(\begin{array}{ccc}0 & 0 & 1 \\ 0 & a & 0 \\ -1 & 0 & -2\end{array}\right)\), se pide:

a) Hallar el valor o valores de a para que se cumpla que \(A^{2}+2 A+I=O\), siendo I la matriz identidad de orden 3 y O la matriz nula de orden 3.

b) Calcular en esos casos la matriz inversa de A.

1B. Sea A una matriz 4 x 4 cuyas filas, de arriba abajo son \(F_{1}, F_{2}, F_{3}\) y \(F_{4}\) y cuyo determinante vale 2. Sea \(B=\left(\begin{array}{cccc}0 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 \\ 0 & 1 & 0 & 0 \\ 1 & 0 & 0 & 0\end{array}\right)\). Calcular razonadamente:

a) El determinante de la matriz A • B.

b) El determinante de la matriz \(3 \cdot A\).

c) El determinante de la matriz cuyas filas son \(2 F_{1}+F_{2},-F_{2}, 3 F_{4}\) y \(F_{3}+F_{1}\) (de arriba abajo).

1A. Hallar, si existe, una matriz cuadrada A de dimensión \(2 \times 2\), que cumpla las siguientes condiciones:

• Coincide con su traspuesta.
• Verifica la ecuación matricial \(\left(\begin{array}{cc}1 & 1 \\ -1 & -1\end{array}\right) \cdot A \cdot\left(\begin{array}{cc}1 & -1 \\ 0 & 1\end{array}\right)=\left(\begin{array}{cc}-3 & -3 \\ 3 & 3\end{array}\right)\).
• Su determinante vale 9.

1B. Discutir el sistema de ecuaciones \(\left\{\begin{array}{l}x+z=1 \\ y+(a-1) z=0 \\ x+(a-1) y+a z=a\end{array}\right.\) según los valores del parámetro \(a\). Resolverlo en todos los casos de compatibilidad.