3A (2.5 puntos)

En el espacio tridimensional tenemos las rectas siguientes:

$r_1:\{\begin{array}{l}x-3y+2z+2=0\\ 2x+y-3z=3\end{array}$

$r_2:\frac{1-x}{2}=y=\frac{1-z}{2}$

a) Estudiar la posición relativa de las rectas anteriores. 1 pto

b) Hallar la ecuación de la recta $s$ que tiene dirección perpendicular a ambas rectas y que pasa por $P(0,\frac{1}{2},0)$. Calcular el punto de corte de la recta $s$ con la recta $r_1$. 1.5 ptos

Solución

3B (2.5 puntos)

Responder a las siguientes cuestiones:

a) Justificar si pueden existir vectores $\overrightarrow{u}$ y $\overrightarrow{v}$, que compartan el punto de origen, y cumplen que $|\overrightarrow{u}|=2$, $|\overrightarrow{v}|=3$, $\overrightarrow{u}\cdot \overrightarrow{v}=8$

0.75 ptos

b) En el espacio tridimensional, dados el plano y la recta siguientes:

$\pi :x+3y+2z+3=0$

$r:\{\begin{array}{l}2x-3y-z=4\\ x+y+2z=-3\end{array}$

Calcular el punto de corte de la recta y el plano, así como el ángulo que forman. 1.75 ptos

Solución

3A (2.5 puntos)

En el espacio tridimensional tenemos el punto, la recta y el plano siguientes:

Punto $P(-7,3,4)$

Recta $r:\{\begin{array}{l}x+y-1=0\\ x+z-1=0\end{array}$

Plano $\pi :x+2y-5z+5=0$

a) Encontrar el punto $A$ intersección del plano $\pi$ con una recta $s$. Esta recta $s$ es una recta paralela a la recta $r$ y que pasa por el punto $P$. 1.5 ptos

b) Hallar el ángulo que forma la recta $r$ y el plano $\pi$. 1 pto

3B (2.5 puntos)

En el espacio tridimensional se conocen las ecuaciones de las rectas siguientes:

Recta $r:\{\begin{array}{l}3x+2y-z=1\\ 2x-y+z+4=0\end{array}$

Recta $s:\{\begin{array}{l}x=3+\lambda \\ y=\lambda \\ z=1+\lambda \end{array}$

a) Estudiar la posición relativa de las rectas $r$ y $s$. 1.5 ptos

b) Encontrar el plano $\pi$, paralelo a la recta $r$ y que contiene a la recta $s$. 1 pto

3A (2.5 puntos)

En el espacio tridimensional tenemos un punto y la recta siguientes:

Punto $P(1,-2,0)$

Recta $r:\{\begin{array}{l}x-2y+z=0\\ x-z=0\end{array}$

a) Hallar la ecuación del plano tal que la recta perpendicular al mismo y que pasa por el origen de coordenadas corta al plano buscado en el punto $P$. Averiguar el ángulo que forma el plano encontrado con la recta $r$. 1.75 ptos

b) Hallar el punto de intersección de la recta $r$ y $s:x-5=\frac{y+1}{-2}=\frac{z-9}{3}$. 0.75 ptos

3B (2.5 puntos)

En el espacio tridimensional tenemos las ecuaciones de las rectas siguientes:

Recta $r:\{\begin{array}{l}8x+2y-3z+12=0\\ -7x-y+3z-9=0\end{array}$

Recta $s:x=y+1=\frac{z-2}{2}$

a) Comprobar que $r$ y $s$ están contenidas en un mismo plano $\pi$ y hallar la ecuación de dicho plano. 1.25 ptos

b) Averiguar la ecuación de la recta que pasa por el punto $P(0,-1,2)$ y corta perpendicularmente a la recta $r$. 1.25 ptos

3A (2.5 puntos)

En el espacio tridimensional consideremos el plano y las rectas siguientes:

$\pi :2x+3y-z=4$; $r:\{\begin{array}{l}x+y-z=0\\ 2x+5y+z=0\end{array}$; $s:\frac{x-1}{1}=\frac{y-2}{0}=\frac{z-3}{1}$

a) Calcular el punto simétrico de $P(-2,1,2)$ respecto de $\pi$. 1.25 ptos

b) Calcular el ángulo que forman $r$ y $s$. 1.25 ptos

3B (2.5 puntos)

En el espacio tridimensional conocemos las siguientes ecuaciones de rectas:

$r:\{\begin{array}{l}x+2y-7z=0\\ 2x+3y-12z+1=0\end{array}$; $s:\{\begin{array}{l}2x-7y-3z=22\\ x-y+z=1\end{array}$

a) Estudiar la posición relativa de $r$ y $s$. 1.25 ptos

b) Hallar la ecuación del plano que contenga a $r$ y es paralelo a $s$. 1.25 ptos

3A (2.5 puntos)

Resuelve los siguientes problemas del espacio tridimensional:

a) Dadas las rectas $r:\{\begin{array}{l}x+y+z+1=0\\ 2x-y+3z-2=0\end{array}$ y $s:\{\begin{array}{l}x=-1+2\lambda \\ y=1+\lambda \\ z=-1-3\lambda \end{array}$, estudia la posición relativa entre $r$ y $s$ 1.5 ptos

b) Halla la ecuación del plano que contiene a la recta $r$ y es perpendicular al plano $\pi :2x-y+z-5=0$ 1 pto

3B (2.5 puntos)

En el espacio tridimensional se conocen las ecuaciones de la recta y el plano siguientes:

$r:\{\begin{array}{l}-3x+2y=5\\ -4y+3z+7=0\end{array}$ y $\pi =5x-6y+7z+58=0$

a) Sabiendo que la recta $r$ y el plano $\pi$ se cortan en un punto $A$, dar la ecuación de la recta $s$, perpendicular al plano $\pi$ que pasa por dicho punto $A$ 1.5 ptos

b) Calcula el ángulo que forman la recta $r$ y el plano $\pi$ 1 pto

3A (2.5 puntos)

En el espacio tridimensional conocemos las ecuaciones de las rectas siguientes:

$r:\{\begin{array}{l}3x-2y=-1\\ 4y-3z=-1\end{array}$

$s:\{\begin{array}{l}x+4y+12=0\\ 6y+z+13=0\end{array}$

a) Estudia la posición relativa de las rectas $r$ y $s$ 1.25 ptos

b) Calcula la ecuación del plano $\pi$ paralelo a la recta $s$ que contenga a la recta $r$. Halla el punto de corte de dicho plano $\pi$ con la recta: $t=\frac{x+4}{-1}=\frac{y-8}{3}=z-2$ 1.25 ptos

3B (2.5 puntos)

En el espacio tridimensional conocemos las ecuaciones siguientes:

$\pi :\{\begin{array}{l}x=1+t+4s\\ y=1+s\\ z=3-2t-5s\end{array}$; $r_1:\frac{x+4}{5}=\frac{y+5}{6}=\frac{z-1}{0}$; $r_2:\{\begin{array}{l}4x+3y=7\\ y+4z=5\end{array}$

a) Calcula la ecuación de la recta $s$, perpendicular al plano $\pi$ y que contenga el punto de intersección de las rectas $r_1$ y $r_2$ 1.25 ptos

b) ¿Es cierto que el ángulo entre las rectas $r_1$ y $r_2$ es menor de 45º? Justificalo 1.25 ptos

3A (2.5 puntos)

Dadas las siguientes ecuaciones en el espacio tridimensional:

$r:5-x=y-3=5-z$

$\pi :3x-4y-8z+35=0$

a) Comprobar que la recta $r$ y el plano $\pi$ se cortan en un punto. Averiguar dicho punto. 1.5 ptos

b) Calcular la ecuación del plano que pasa por el punto $A(2,2,2)$, paralelo a la recta $r$, y perpendicular al plano $\pi$ 1 pto

3B (2.5 puntos)

Dado el plano $\pi :-x+3y+2z+5=0$

Y las rectas secantes $r:\frac{x-5}{2}=y+2=1-z$; $s:\frac{x+1}{6}=\frac{y}{-2}=z$

a) Sea $A$ el punto de intersección de las rectas $r$ y $s$. Hallar la ecuación de la recta que es perpendicular al plano $\pi$ y que pasa por $A$. 1.5 ptos

b) Calcular el ángulo que forman las rectas $r$ y $s$. 1 pto

3A (2.5 puntos)

Dados los siguientes puntos en el espacio tridimensional:

$A(0,-2,3),B(1,-1,4),C(2,3,3)$ y $D(4,5,5)$

a) Comprobar que los cuatro puntos son coplanarios. 1.5 ptos

A continuación, calcular la ecuación del plano que los contiene. 1.5 ptos

b) Calcular la ecuación de la recta $r$, perpendicular al plano $\pi :\{\begin{array}{l}x=1+2\lambda +3\mu \\ y=-2+\lambda \\ z=1-3\lambda -3\mu \end{array}$ que pasa por el punto $A$. 1 pto

3B (2.5 puntos)

Dadas las ecuaciones de los planos

${\pi }_1:2x+3y-z=9$ y ${\pi }_2:\{\begin{array}{l}x=1+\lambda +\mu \\ y=-2-\lambda +2\mu \\ z=3+3\lambda -\mu \end{array}$

a) Hallar la ecuación de la recta paralela a los planos ${\pi }_1$ y ${\pi }_2$, que pasa por el punto medio del segmento de extremos $A(1,-1,0)$ y $B(-1,-3,2)$ 1.25 ptos

b) Calcular el ángulo formado por los planos ${\pi }_1$ y ${\pi }_2$ 1.25 ptos

3 OPCIÓN A (2.5 puntos)

Dada la recta $r:\{\begin{array}{l}x=-2\lambda \\ y=2+\lambda \\ z=2+\lambda \end{array}$, y dado el plano $\pi =x-3y+5z=2$

a) ¿Cuál es la posición relativa de la recta $r$ y el plano $\pi$? 1.25 ptos

b) Calcular el plano ${\pi }^{\prime }$ que contiene a la recta $r$ y es perpendicular al plano $\pi$. 1.25 ptos

3 OPCIÓN B (2.5 puntos)

Consideremos el punto $A(1,2,1)$, y la recta $r:\{\begin{array}{l}x+y=5\\ 3y+z=14\end{array}$

a) Encuentre la ecuación del plano $\pi$ que contiene al punto $A$ y es perpendicular a la recta $r$. 1.5 ptos

b) Consideremos $P(1,4,2)$, un punto de la recta $r$. Y sea $s$ la recta determinada por los puntos $A$ y $P$. Calcule el ángulo que forman las rectas $r$ y $s$. 1 pto

3 OPCIÓN A (2.5 puntos)

Dadas las rectas siguientes $r:\{\begin{array}{l}x+y-z=4\\ x+2y=7\end{array}$; $s:\{\begin{array}{l}x=2\\ y+5=0\end{array}$

a. Estudie la posición relativa de $r$ y $s$. 1.5 ptos

b. Halle la ecuación del plano perpendicular a la recta $r$, y que contiene el punto $A(11,-2,5)$ 1 pto

3 OPCIÓN B (2.5 puntos)

Consideremos la recta $r:\{\begin{array}{l}2x-y=5\\ 3x-4z=-1\end{array}$, y el plano ${\pi }_1=x-y+3z=12$

a. Calcule la ecuación del plano ${\pi }_2$, que contene a la recta $r$ y es perpendicular al plano ${\pi }_1$. 1.25 ptos

b. Sabiendo que la recta $r$ corta el plano ${\pi }_1$, averigüe el punto de intersección. 1.25 ptos

3 OPCIÓN A (2.5 puntos)

Hallar la ecuación de la recta que verifica simultáneamente las siguientes condiciones:

- es paralela a los planos de ecuaciones: ${\pi }_1=x-3y+z=0$ y ${\pi }_2=2x-y+3z=5$

- pasa por el punto $(2,-1,5)$

2.5 ptos

3 OPCIÓN B (2.5 puntos)

Hallar el ángulo que forman el plano $\pi =2x-y+z=0$ y el plano que contiene a las rectas

$r:\{\begin{array}{l}x=1-t\\ y=t\\ z=t\end{array}$; $s=\frac{x+1}{-2}=\frac{y}{0}=z-1$

2.5 ptos

3 OPCIÓN A (2.5 puntos)

Dados los planos ${\pi }_1=x-y+3=0$ y ${\pi }_2=2x+y-z=0$, calcular:

a) La ecuación de la recta $s$ paralela a los planos ${\pi }_1$ y ${\pi }_2$, que pasa por el punto $B(2,2,3)$ 1.5 ptos

b) El ángulo que forman los planos ${\pi }_1$ y ${\pi }_2$ 1 pto

3 OPCIÓN B (2.5 puntos)

Se consideran los puntos $A(2,-1,1)$ y $B(-2,3,1)$ que determinan la recta $r$

a) Calcular la recta perpendicular a $r$ que pasa por el punto $P(-4,17,0)$ 1.25 ptos

b) Calcular la ecuación del plano respecto de cual los puntos $A$ y $B$ son simétricos. 1.25 ptos

3 OPCIÓN A (2.5 puntos)

Estudiar la posición relativa de los planos

$\alpha :2x+3y-5z+7=0$

$\beta :3x+2y+3z-1=0$

$\gamma :7x+8y-7z+13=0$

2.5 puntos

3 OPCIÓN B (2.5 puntos)

Dadas las rectas $r_1=x-1=\frac{y-1}{-1}=\frac{z+2}{2}$, $r_2=\frac{x+5}{4}=\frac{y-3}{-2}=\frac{z+4}{3}$, se pide

a) Demostrar que las rectas $r_1$ y $r_2$ son coplanarias. 1.25 puntos

b) Hallar la ecuación del plano que determinan. 1.25 puntos

3 OPCIÓN A (1.5 puntos)

a) Halle la ecuación del plano $\pi$ que pasa por los puntos $A(-1.5,0)$ y $B(0,1,1)$ y es paralelo a la recta $r=\{\begin{array}{l}3x+2y-3=0\\ 2y-3z-1=0\end{array}$ 1.5 ptos

b) Escribir la ecuación de una recta paralela a la recta $r$ que pasa por el punto medio del segmento $\overline{AB}$ 1 pto

3 OPCIÓN B (2.5 puntos)

Dados los planos: ${\pi }_1:x+y+z-5=0$ y ${\pi }_2:\{\begin{array}{l}x=3+\lambda +2\mu \\ y=1-\lambda -\mu \\ z=1+\mu \end{array}$

a) Comprobar que los planos ${\pi }_1$ y ${\pi }_2$ se cortan en una recta. Hallar la ecuación de dicha recta en forma paramétrica. 1.75 ptos

b) Hallar la ecuación del plano ${\pi }_3$ que pasa por el origen y es perpendicular a los planos ${\pi }_1$ y ${\pi }_2$ 0.75 ptos

4 OPCIÓN A (2.5 puntos)

Dado el plano $\pi :2x+y-z=0$ y la recta $r:\{\begin{array}{l}x-y+z=3\\ 2x+y=1\end{array}$, se pide

a) Escribir la ecuación de la recta $r$ en forma continua 1.25 puntos

b) Hallar la ecuación del plano que pasa por el punto $P(1,2,1)$, es paralelo a la recta $r$ y perpendicular al plano $\pi$. 1.25 puntos

4 OPCIÓN B (2.5 puntos)

Dados la recta $r:x=y+1=\frac{z-\frac{11}{m}}{\frac{-3}{m}}$ y el plano $\pi :2x+y+z=9$, se pide

a) Calcular el valor del parámetro $m$ para que la recta $r$ sea paralela al plano $\pi$ 1.25 puntos

b) Para $m=2$, determinar el punto de intersección de la recta $r$ y el plano $\pi$ 1.25 puntos

4 OPCIÓN A (2.5 puntos)

Dado el plano $\pi :5x+\alpha y+4z-5=0$ y la recta $r:\frac{x}{2}=\frac{y-2}{6}=\frac{z-2}{-4}$, se pide

a) Calcular el valor del parámetro $\alpha$ para que la recta $r$ sea paralela al plano $\pi$ 1.25 puntos

b) Para $\alpha =0$, calcular el ángulo que forman el plano $\pi$ y la recta $r$ 1.25 puntos

Solución

4 OPCIÓN B (2.5 puntos)

Dados los planos: ${\pi }_1:x-y+3=0$; ${\pi }_2:2x+y-z=0$, determinar

a) La ecuación de la recta perpendicular a ${\pi }_1$, que pasa por el punto $P(2,2,1)$. 1 punto

b) La ecuación del plano perpendicular a la recta que determinan ${\pi }_1$ y ${\pi }_2$, que contenga al punto $A(1,1,-1)$ 1.5 puntos

Solución