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recta que pasa por un punto y es perpendicular a un plano

Conocimientos previos

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¿Cómo hallo una recta que pasa por un punto y es perpendicular a una recta?

Para hallar una recta que pasa por un punto y es perpendicular a un plano necesitamos conocer las coordenadas del punto y el vector normal al plano, que será el vector director de la recta. Con esos datos ya podremos escribir todas las ecuaciones de la recta.

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exámenes de pau de matemáticas ii

Problema 6 - PEBAU Asturias Convocatoria extraordinaria 2024

PEBAU Asturias Convocatoria extraordinaria 2024

Pregunta 6.

Se consideran los puntos $A = (1, 1, 1), B = (1, 0, 2), C = (- 1, 1, 3), y D = (- 1, 0, 1)$ de $R^{3}$ .

(a) [0.75 p.] Estudia si existe un plano que contenga a los cuatro puntos.

(b) [0.75 p.] Calcula la recta $r$ que pasa por $D$ y es perpendicular al plano $π$ que contiene a $A$ , $B$ y $C$ .

(c) [1 p.] Calcula el punto $P$ de intersección de $r$ y $π$ .

Solución

Apartado b: Cálculo de la recta $r$ perpendicular al plano $π$ que contiene a $A$ , $B$ y $C$ , pasando por $D$

Primero, hallamos la ecuación del plano $π$ que contiene a $A$ , $B$ y $C$ .

Tomamos $A = (1, 1, 1)$ . Calculamos los vectores:

$\vec{A B} = B - A = (0, - 1, 1) .$
$\vec{A C} = C - A = (- 2, 0, 2) .$

El vector normal $n$ al plano se obtiene con el producto vectorial:

$n = \vec{A B} \times \vec{A C} .$

Calculamos:

$n = (\begin{matrix} i & j & k \\ 0 & - 1 & 1 \\ - 2 & 0 & 2 \end{matrix}) .$

Usando la fórmula del determinante:

$n_{1} = (- 1) (2) - (1) (0) = - 2.$
$n_{2} = - [0 \cdot 2 - (1) (- 2)] = - [0 + 2] = - 2.$
$n_{3} = 0 \cdot 0 - (- 1) (- 2) = 0 - 2 = - 2.$

Por lo tanto, $n = (- 2, - 2, - 2)$ , que podemos simplificar a $(1, 1, 1)$ tomando la dirección opuesta.

La ecuación del plano $π$ que pasa por $A = (1, 1, 1)$ y tiene normal $(1, 1, 1)$ es:

$(x - 1) + (y - 1) + (z - 1) = 0$ → $x + y + z = 3$ .

Ahora, la recta $r$ que debe ser perpendicular a $π$ tiene como dirección el vector normal $(1, 1, 1)$ . Dado que $r$ pasa por $D = (- 1, 0, 1)$ , las ecuaciones paramétricas de $r$ son:

${\begin{cases} x = - 1 + t, \\ y = 0 + t, \\ z = 1 + t, \end{cases} t \in R .$

La ecuación continua de $r$ es:

$\frac{x + 1}{1} = \frac{y}{1} = \frac{z - 1}{1} .$

Problema 5 - PEBAU Asturias Convocatoria extraordinaria 2024

PEBAU Asturias Convocatoria extraordinaria 2024

Pregunta 5.

Se consideran los puntos $A = (0, - 1, 1) y B = (2, 1, 3)$ de $R^{3}$ .

(a) [1.25 p.] Encuentra la ecuación del plano $π$ que cumple que los dos puntos son simétricos respecto a él.

(b) [1.25 p.] Encuentra la ecuación continua de la recta $r$ perpendicular al plano $π^{'} \equiv x + y + z = 3$ y que contiene al punto $Q = (1, 0, 1) .$

Solución

Apartado b: Cálculo de la ecuación continua de la recta $r$

Se nos pide encontrar la recta $r$ que es perpendicular al plano $π^{'} \equiv x + y + z = 3$ y que pasa por el punto $Q = (1, 0, 1) .$

Recordamos que la recta perpendicular a un plano tiene como dirección el vector normal del plano. Para el plano $π^{'}$ , la ecuación $x + y + z = 3$ tiene un vector normal:

$n = (1, 1, 1) .$

Por lo tanto, la dirección de la recta $r$ es $v = (1, 1, 1)$ .

La ecuación continua de la recta es:

$\frac{x - 1}{1} = \frac{y - 0}{1} = \frac{z - 1}{1},$

es decir,

$\frac{x - 1}{1} = \frac{y}{1} = \frac{z - 1}{1} .$