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DISTANCIA ENTRE UN PUNTO Y UN PLANO

Conocimientos previos

concepto y ejemplos: vídeo y pdf para descargar

Distancia entre un punto y un plano: Enlace al vídeo

¿cómo hallo la distancia entre un punto y un plano?

La distancia entre un punto y un plano en el espacio tridimensional se define como la longitud del segmento perpendicular al plano que une el punto con el plano. En el vídeo os explico como hallar esta distancia.

PROBLEMAS/ejercicios RESUELTOS: vídeos y pdf para descargar

exámenes de pau de matemáticas ii

Solución Problema 5 - Geometría

ABAU Galicia Convocatoria Ordinaria 2024

PREGUNTA 5. Geometría. (2 puntos)

a) Considérese el plano $π : 4 x + 2 y + b z = 2$ y la recta $r : \frac{x - 2}{3} = \frac{y - c}{2} = \frac{z - 3}{4}$ , donde $b$ y $c$ son parámetros reales. Calcule los valores de $b$ y $c$ para que la recta $r$ esté contenida en $π$ .

b) Calcule la distancia del punto $P (1, 3, 1)$ al plano $π^{'} : 4 x + 2 y - 4 z = 2$ .

Solución apartado b:

Fórmula de distancia de un punto a un plano

Para un plano $a x + b y + c z + d = 0$ y un punto $(x_{0}, y_{0}, z_{0})$ :

Distancia = \frac{| a x_{0} + b y_{0} + c z_{0} + d |}{\sqrt{a^{2} + b^{2} + c^{2}}}

Paso 1: Reescribir el plano $π^{'}$

4 x + 2 y - 4 z - 2 = 0 \Rightarrow a = 4, b = 2, c = - 4, d = - 2

Paso 2: Sustituir las coordenadas de $P (1, 3, 1)$ :

Distancia = \frac{| 4 (1) + 2 (3) - 4 (1) - 2 |}{\sqrt{4^{2} + 2^{2} + (- 4)^{2}}} = \frac{| 4 + 6 - 4 - 2 |}{\sqrt{16 + 4 + 16}} = \frac{| 4 |}{\sqrt{36}} = \frac{4}{6} = \frac{2}{3}

Resultado: $\frac{2}{3}$ .

Problema 6 - Geometría: Planos y rectas

EBAU La Rioja Convocatoria Ordinaria 2024

Problema 6

Considere los planos $x + y + z = - 3$ y $x + y - z = 3$ , y la recta $r$ :

\frac{x - 1}{2} = \frac{y + 1}{1} = \frac{z}{3} .

(a) (0,75 p.) Compruebe que ambos planos se cortan y calcule el ángulo que forman.

(b) (0,75 p.) Estudie la posición relativa de la recta $r$ con el plano $x + y - z = 3$ .

Solución

Apartado (c): Puntos de la recta que equidistan de ambos planos.

El punto genérico de la recta $r$ es $P (1 + 2 λ, - 1 + λ, 3 λ)$ .

La distancia de $P$ al plano $x + y + z = - 3$ es:

d (P, π_{1}) = \frac{| (1 + 2 λ) + (- 1 + λ) + 3 λ + 3 |}{\sqrt{1^{2} + 1^{2} + 1^{2}}} = \frac{| 6 λ + 3 |}{\sqrt{3}} .

La distancia de $P$ al plano $x + y - z = 3$ es:

d (P, π_{2}) = \frac{| (1 + 2 λ) + (- 1 + λ) - 3 λ - 3 |}{\sqrt{1^{2} + 1^{2} + (- 1)^{2}}} = \frac{| - 3 |}{\sqrt{3}} .

Para que $P$ equidiste de ambos planos, igualamos las dos distancias:

\frac{| 6 λ + 3 |}{\sqrt{3}} = \frac{3}{\sqrt{3}},

lo que implica:

| 6 λ + 3 | = 3.

Resolviendo:

6 λ + 3 = 3 ⟹ λ = 0,

6 λ + 3 = - 3 ⟹ λ = - 1.

Por lo tanto, los puntos de la recta que equidistan de ambos planos son $P (1, - 1, 0)$ y $Q (- 1, - 2, - 3)$ .