INVERSA: MÉTODO DE LOS ADJUNTOS

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¿cómo hallo la inversa de una matriz por el método de los adjuntos?

El método de los adjuntos, también conocido como método de adjunción o método de la matriz adjunta, es un método algebraico para calcular la inversa de una matriz cuadrada invertible. 

 

Definición de la matriz adjunta:

Sea A una matriz cuadrada de orden n × n. La matriz adjunta de A, denotada como Adj(A), es una matriz de orden n × n cuyos elementos son los adjuntos de la matriz A.

 

Adjuntos: El adjunto de un elemento aij de la matriz A se define como el determinante de la submatriz que queda al eliminar la fila i y la columna j de la matriz A, multiplicado por (-1)^(i+j).

 

Cálculo de la matriz inversa:

La matriz inversa de A es igual a la traspuesta de la matriz adjunta de A dividida por el determinante de A.

PROBLEMAS/ejercicios RESUELTOS: vídeos y pdf para descargar

exámenes de pau de matemáticas aplicadas a las cc. ss. ii

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    Problema 2 - PEBAU Asturias Convocatoria extraordinaria 2024

    PEBAU Asturias Convocatoria extraordinaria 2024

    Pregunta 2. Sea x∈R y las matrices A=(123−10320x),B=(112),C=(112).

    (a) [0,75 p.] Decide de forma razonada si se pueden realizar las operaciones siguientes: CAB y BAC. ¿Cuál sería la dimensión de la matriz resultante si pudiese realizarse?

    (b) [1,75 p.] Calcula, según los valores de x, el rango de A. Para x=0, comprueba que existe A−1 y cálcuala.

    Solución

    Apartado b: Rango de A y cálculo de A−1 para x=0

    La matriz A es:

    A=(123−10320x).

    Calculamos su determinante, que nos indicará si es invertible y su rango completo:

    det(A)=1⋅|030x|−2⋅|−132x|+3⋅|−1020|.

    Calculamos cada menor:

    • |030x|=0⋅x−3⋅0=0.
    • |−132x|=(−1)⋅x−(3⋅2)=−x−6.
    • |−1020|=(−1)⋅0−(0⋅2)=0.

    Así,

    det(A)=1⋅0−2⋅(−x−6)+3⋅0=2(x+6)=2x+12.

    Por lo tanto, det(A)=0 si y solo si 2x+12=0, es decir, x=−6. Entonces:

    • Si x≠−6, A tiene rango 3.
    • Si x=−6, el rango de A es menor que 3. Como el menor del elemento 3,3 vale 2 concluimos que el rango es 2.

    Ahora, para x=0 se tiene:

    det(A)=2(0)+12=12≠0,

    por lo que A es invertible y su rango es 3.

    Para x=0, la matriz A se convierte en:

    A=(123−103200).

    Procedemos a calcular A−1 usando la fórmula de la inversa para matrices 3×3.

    Primero, ya hemos calculado:

    det(A)=12.

    Ahora, calculamos la matriz de adjuntos:

    C11=|0300|=0,

    C12=−|−1320|=−[(−1)(0)−3(2)]=−(−6)=6,

    C13=|−1020|=(−1)(0)−(0)(2)=0.

    C21=−|2300|=−[2⋅0−3⋅0]=0,

    C22=|1320|=1⋅0−3⋅2=−6,

    C23=−|1220|=−[1⋅0−2⋅2]=−(−4)=4,

    C31=|2303|=2⋅3−3⋅0=6,

    C32=−|13−13|=−[1⋅3−3⋅(−1)]=−(3+3)=−6,

    C33=|12−10|=1⋅0−2⋅(−1)=2.

    Así, la matriz de adjuntos es:

    adj(A)=(0600−646−62).

    La traspuesta de la matriz adjunta es:

    adj(A)T=(0066−6−6042).

    Finalmente, la inversa se obtiene como:

    A−1=1det(A)adj(A)=112(0066−6−6042).

    Es decir:

    A−1=(00612612−612−6120412212).