2A. Dada la función f(x) = (x + 2)·e^−x

a) Encuentra los extremos relativos y los intervalos de crecimiento y decrecimiento de f

b) Determina la concavidad y convexidad y puntos de inflexión de la función f

c) Estudia las asíntotas de f

2B. Dadas las funciones f(x) = 2x + 6 y g(x) = x² − 3x

a) Calcula ∫ (f(x)/g(x)) dx

b) Halla el área de dicho recinto limitado por las gráficas de las funciones f(x) y g(x).

5 (2 puntos)

Se considera la función \( f(x) = \frac{4 x + 4}{x^2} \).
a) Estudiar sus asíntotas, monotonía y extremos relativos. (1.5 puntos)
b) Representarla gráficamente. (0.5 puntos)

6 (2 puntos)

Calcular \( a \), \( b \) y \( c \) para que la función
\( f(x) = \begin{cases} x^2 + a x - b & \text{si } x < 0 \\ a + c x & \text{si } x \geq 0 \end{cases} \)
cumpla los requisitos del teorema de Rolle en el intervalo \([-2, 2]\). (2 puntos)

7 (2 puntos)

Hallar la integral \( \int \frac{-x^2 + 7 x + 6}{x^3 + x^2 - 2 x} \, dx \). (2 puntos)

8 (2 puntos)

Determinar el área encerrada por las gráficas de las funciones
\( f(x) = -x^3 + 3 x^2 + 6, \, g(x) = 2 x + 6 \). (2 puntos)

5 (2 puntos)

Hallar los intervalos de crecimiento y los puntos extremos de la función \( f(x) = x^2 \cdot e^{-x} \). (2 puntos)

6 (2 puntos)

Calcular el valor de \( a \) para que la función
\( f(x) = \begin{cases} \frac{\operatorname{sen}(x) - x \cdot e^x}{x^2 - 2 \cos(x) + 2} & \text{si } x \neq 0 \\ a & \text{si } x = 0 \end{cases} \)
sea continua en \( x = 0 \). (2 puntos)

7 (2 puntos)

Hallar una primitiva \( F(x) \) de la función \( f(x) = (2 x + 5) \cdot e^{-2 x} \) que cumpla \( F(0) = 0 \). (2 puntos)

8 (2 puntos)

Calcular el área encerrada entre las gráficas de las funciones \( f(x) = x^3 - 5 x \) y \( g(x) = -x \). (2 puntos)

5. Sea la función f(x) = x²/(1 − x),

a) Estudiar las asíntotas, monotonía y puntos extremos de f(x).

b) Con los datos obtenidos, representar de forma aproximada la gráfica de f(x).

6. Considere la función

f(x) = { (e^x + e^−x − 2)/(x · cos x) x < 0
b(x + 1) x ≥ 0

Calcule el valor de b para que f(x) sea continua en x = 0.

7. Calcula la siguiente integral

∫ (x − 4)/(x² + 2x) dx

8. Calcule el área del recinto plano limitado por h(x) = x³ − x y el eje OX

5. Calcular los coeficientes a, b, c y d del polinomio p(x) = a + bx + cx² + dx³, sabiendo que cumple todas las condiciones siguientes:

• p(x) tiene un máximo relativo en x = −1, y

• la gráfica de p(x) tiene un punto de inflexión en (0, 0), y

• la recta tangente a la gráfica de p(x) en x = 2 tiene pendiente 3.

6. Encontrar los valores de a y b para que la función f(x) =

{ 2x² + ax + b si x ≤ 1
ln(x) si x > 1

sea continua en x = 1 y su gráfica pase por el punto (−1, 5).

7. Determinar la primitiva F(x) de la función f(x) = (x + 1)e^x+1 que cumple F(0) = −1.

8. Calcular el área de la región encerrada por las gráficas de las funciones f(x) = x³ − 3x² + 3x y g(x) = x.

5 (2 puntos)

a) Comprobar que hay alguna solución positiva y alguna negativa de la ecuación \( x \cdot \cos(2 x) = x^2 - 1 \). (1.5 puntos)
b) Aproximar la solución positiva encontrada con un error menor que una décima. (0.5 puntos)

6 (2 puntos)

Calcular \( a \), \( b \) y \( c \) para que la función \( f(x) = \begin{cases} x^2 + a x + b & \text{si } 0 \leq x < 1 \\ c x & \text{si } 1 \leq x \leq 4 \end{cases} \) cumpla las hipótesis del teorema de Rolle en el intervalo \([0, 4]\). (2 puntos)

7 (2 puntos)

Calcula la integral \( \int \frac{17 - x}{x^2 + x - 6} \, dx \). (2 puntos)

8 (2 puntos)

Hallar el área encerrada por la gráfica de la función \( f(x) = x^3 - 4 x \) y el eje de abscisas. (2 puntos)

5 (2 puntos)

Dada la función \( f(x) = \frac{x^3}{1 - x^2} \)
a) Estudiar asíntotas, monotonía y puntos extremos de \( f(x) \). (1.5 puntos)
b) Con los datos obtenidos, representar de forma aproximada la gráfica de \( f(x) \). (0.5 puntos)

6 (2 puntos)

Hallar los puntos de inflexión de la gráfica de la función \( f(x) = x - \ln(x^2 + 1) \). (2 puntos)

7 (2 puntos)

Calcular la integral \( \int \frac{1}{x^3 - x} \, dx \). (2 puntos)

8 (2 puntos)

Hallar el parámetro positivo \( a \in \mathbb{R} \) tal que el área de la región plana encerrada por las gráficas de las funciones \( f(x) = x^2 \) y \( g(x) = a x \) sea \( \frac{4}{3} \). (2 puntos)

5 (2 puntos)

Calcular el valor de \( a \in \mathbb{R} \) para que la función
\( f(x) = \begin{cases} \frac{x \cdot e^x - \operatorname{sen} x}{x^2} & \text{si } x \neq 0 \\ a & \text{si } x = 0 \end{cases} \)
sea continua en \( x = 0 \). (2 puntos)

6 (2 puntos)

Dada la función \( f(x) = |x + 1| + |x - 2| \).
a) Estudiar la continuidad y derivabilidad de la función. (1 punto)
b) Calcular el intervalo donde la función permanece constante. (1 punto)

7 (2 puntos)

Determinar la función \( f(x) \) tal que su gráfica pase por el origen de coordenadas y su derivada sea \( f'(x) = (2 x + 1) e^{-x} \). (2 puntos)

8 (2 puntos)

Calcular el área encerrada por la gráfica de la función \( f(x) = \operatorname{sen}(2 x) \), el eje OX y las rectas \( x = 0 \) y \( x = \pi \). (2 puntos)

5. Dada la función y = (x + 2) · e^−x,

a) Calcule la recta tangente a la gráfica de la función en el punto x = 0.

b) Estudie su monotonía y sus extremos relativos.

6. Calcule a, b, y c para que la función

f(x) = { x³ + a si −2 ≤ x ≤ 0
bx² + cx − 1 si 0 < x ≤ 1

cumpla las condiciones del teorema de Rolle en el intervalo [−2, 1]. Calcule el valor al cual se refiere el teorema.

7. Calcule el valor de la integral ∫₀^π x² cos(2x) dx.

8. Calcule el área de la región plana encerrada por las gráficas de las funciones f(x) = x³ − 2x − 1 y g(x) = 2x − 1.

a) Estudiar la continuidad de la siguiente función \( f(x) \) para \( x \neq 0 \) (con \( a \in \mathbb{R} \)): (0.5 puntos)
\( f(x) = \begin{cases} \frac{e^x - 1 - x}{x^2} & \text{si } x \neq 0 \\ a & \text{si } x = 0 \end{cases} \)
b) Calcular el valor de \( a \) para que la función \( f(x) \) sea continua en \( x = 0 \). (1.5 puntos)

6 (2 puntos)

Sea la función \( f(x) = \frac{2 - x^2}{x^2 - 4} \).
a) Estudiar las asíntotas, monotonía y puntos extremos de la función \( f(x) \). (1.5 puntos)
b) Con los datos obtenidos, representar de forma aproximada la gráfica de \( f(x) \). (0.5 puntos)

7 (2 puntos)

Resolver la integral \( \int \ln^2(x) \, dx \). (2 puntos)

8 (2 puntos)

Dadas las funciones \( f(x) = 3 x - x^2 \) y \( g(x) = x^2 - 2 x \), calcular el área de la región limitada por sus gráficas. (2 puntos)

5 (2 puntos)

Estudiar asíntotas, monotonía (crecimiento y decrecimiento), extremos relativos y puntos de inflexión de la función \( f(x) = e^{-x^2} \). (2 puntos)

6 (2 puntos)

Demostrar que las gráficas de las funciones \( f(x) = 2 - x^2 \) y \( g(x) = e^x \) se cortan en al menos 2 puntos. Para cada uno de los puntos de corte, encontrar un intervalo que lo contenga de longitud menor o igual que 1. Razonar las respuestas exponiendo y verificando los resultados (teoremas) que lo justifiquen. (2 puntos)

7 (2 puntos)

Calcular la integral racional \( \int \frac{3 x}{x^2 + x - 2} \, dx \). (2 puntos)

8 (2 puntos)

Sean las funciones \( f(x) = x^2 \) y \( g(x) = \sqrt{x} \).
a) Representar la región plana delimitada por las gráficas de las funciones \( f(x) \) y \( g(x) \) en el intervalo \([0, 2]\). (0.5 puntos)
b) Calcular el área de la región anterior. (1.5 puntos)

5. Estudiar los extremos relativos y los puntos de inflexión de la función

f(x) = ^ln(x)/_x para x > 0

6. Calcular los valores de los parámetros a y b para que la siguiente función f(x) sea derivable en el punto x = 1.

f(x) = {
ax² + b   si x ≤ 1
e^1-x   si x > 1

7. Calcular la primitiva F(x) de la función f(x) = (2x - 3)e^2x que cumpla F(0) = 0.

8. Dadas las funciones f(x) = -2x-4 y g(x) = -x² + 4. Calcular el área de la región limitada por sus gráficas.

5 (2 puntos)

Sea la función \( f(x) = \frac{4 x}{1 + x^2} \).
a) Estudie las asíntotas, la monotonía (crecimiento y decrecimiento) y los extremos relativos (máximos y mínimos) de la función \( f(x) \). (1.5 puntos)
b) Con los datos obtenidos en el apartado anterior, represente de forma aproximada la gráfica de la función \( f(x) \). (0.5 puntos)

6 (2 puntos)

Calcule los valores de \( a \) y \( b \) sabiendo que la siguiente función \( f(x) \) es derivable en todo su dominio:
\( f(x) = \begin{cases} 2 x^2 + a x + b & \text{si } x \leq 1 \\ -2 + \ln(x) & \text{si } x > 1 \end{cases} \)
(2 puntos)

7 (2 puntos)

Sean las funciones \( f(x) = 1 - x^2 \) y \( g(x) = -3 \).
a) Represente la región plana encerrada por las funciones \( f(x) \) y \( g(x) \). (0.5 puntos)
b) Calcule el área de la región anterior. (1.5 puntos)

8 (2 puntos)

Calcule la integral \( \int \frac{3 x}{x^2 - x - 2} \, dx \). (2 puntos)

5 (2 puntos)

a) Estudie la monotonía (crecimiento y decrecimiento) y los extremos relativos (máximos y mínimos) de la función \( f(x) = e^x (x^2 - x + 1) \). (1 punto)
b) Justifique si existe algún valor de \( x \) tal que \( f(x) = 2 \). (1 punto)

6 (2 puntos)

Considere la función \( f(x) \), donde \( a \in \mathbb{R} \), dada por
\( f(x) = \begin{cases} \frac{1 - e^x}{x} & \text{si } x \neq 0 \\ a & \text{si } x = 0 \end{cases} \)
a) Calcule el valor de \( a \) para que la función sea continua. (1 punto)
b) Calcule la ecuación de la recta tangente en \( x = 1 \). (1 punto)

7 (2 puntos)

Dadas las funciones \( f(x) = x^2 - 4 x + 1 \) y \( g(x) = -x + 1 \), se pide:
a) Represente de forma aproximada la región delimitada por las dos curvas. (0.5 puntos)
b) Calcule el área de dicha región. (1.5 puntos)

8 (2 puntos)

Resuelva la integral \( \int \frac{-x + 7}{x^2 + x - 2} \, dx \). (2 puntos)

5. Dadas las funciones f(x) = -4x - 2 y g(x) = x² - 3x - 4.

a) Represente de forma aproximada el recinto limitado por las gráficas de las funciones f(x) y g(x). (0,5 puntos)

b) Calcule el área de dicho recinto con la integral apropiada. (1,5 puntos)

6. Calcular una primitiva de la función f(x) = x² ln(x), que se anule en x = 1. (2 puntos)

7. Calcular asíntotas, extremos relativos y represente gráficamente f(x) = ^x2/_{x - 1}. (2 puntos)

8. Calcular a y b para que la siguiente función f(x) sea derivable en todo el dominio y hallar la función derivada: (2 puntos)

f(x) = {
(x - a)²   si x < 1
b + ln(x)   si x ≥ 1.

3 Opción A (2 puntos)

Sea la función \( f(x) = \begin{cases} e^{-x} & \text{si } x < 0 \\ e^x & \text{si } x \geq 0 \end{cases} \)
a) Estudie la continuidad y derivabilidad de \( f(x) \). (1.5 puntos)
b) Estudie si existe un extremo relativo de \( f(x) \) en \( x = 0 \). (0.5 puntos)

4 Opción A (2 puntos)

Dadas las funciones \( f(x) = x^2 - 2 \) y \( g(x) = x \).
a) Representa la región plana encerrada por \( f(x) \) y \( g(x) \). (0.5 puntos)
b) Calcule el área de la región anterior. (1.5 puntos)

3 Opción B (2 puntos)

Sea la función \( f(x) = \frac{x^2}{x^2 - 1} \).
a) Estudie las asíntotas, la monotonía (crecimiento y decrecimiento) y los extremos relativos (máximos y mínimos) de \( f(x) \). (1.5 puntos)
b) Representa la gráfica de \( f(x) \) utilizando el apartado anterior. (0.5 puntos)

4 Opción B (2 puntos)

Calcule la primitiva \( F(x) \) de la función \( f(x) = \frac{x - 3}{x^2 - 1} \). (2 puntos)

3 Opción A (2 puntos)

Demuestre que la ecuación \( \operatorname{sen}(x^2) = x - 1 \) tiene una solución positiva. Razone la respuesta, exponiendo el teorema (o resultado) que justifique la solución. (2 puntos)

4 Opción A (2 puntos)

Sean las funciones \( f(x) = x^2 - 4 \) y \( g(x) = \frac{1}{2} x^2 - 2 \).
a) Represente la región plana encerrada por las funciones \( f(x) \) y \( g(x) \). (0.5 puntos)
b) Calcule el área de la región anterior. (1.5 puntos)

3 Opción B (2 puntos)

Estudie la monotonía (crecimiento y decrecimiento) de la función \( f(x) = x^2 e^x \). (2 puntos)

4 Opción B (2 puntos)

Resuelve la integral \( \int \frac{5 x + 3}{x^2 + 2 x - 3} \, dx \). (2 puntos)

3 Opción A (2.5 puntos)

Sea la función \( f(x) = |x| = \begin{cases} x & \text{si } x \geq 0 \\ -x & \text{si } x < 0 \end{cases} \)
(a) Estudie la continuidad y derivabilidad de \( f(x) \). (1 punto)
(b) Estudie la monotonía (crecimiento y decrecimiento) de \( f(x) \) y justifique si en el punto \( x = 0 \) la función \( f(x) \) tiene un mínimo relativo. (1 punto)
(c) Dibuje el recinto plano limitado entre las funciones \( f(x) = |x| \) y \( g(x) = 2 - x^2 \) y calcule su área. (1.5 puntos)

3 Opción B (2.5 puntos)

Sea la función \( f(x) = x \ln(x) \) para \( x > 0 \).
(a) ¿Se puede definir \( f(0) \) para que \( f(x) \) sea continua por la derecha de \( x = 0 \)? (1 punto)
(b) Estudie los máximos y mínimos relativos de \( f(x) \) para \( x > 0 \). (0.5 puntos)
(c) Halle, si existe, la recta tangente a \( f(x) \) en \( x = 1 \). (0.5 puntos)
(d) Calcule una primitiva \( F(x) \) de la función \( f(x) = x \ln(x) \). (1.5 puntos)

3. Opción A (2.5 puntos)<7p>

(a) Enuncie el teorema de Bolzano y demuestre, usando dicho teorema, que la función f(x) = x³ + x - 3 tiene una raíz real positiva. (1,5 puntos)

(b) Calcule la primitiva F(x) de la función f(x) = (x + 1)e^-x que cumpla la condición F(0) = 0. (2 puntos)

3 Opción B (2.5 puntos)

(a) Estudie el dominio, las asíntotas y máximos y mínimos de la función \( f(x) = \frac{1}{x^2 - 1} \). (1.5 puntos)
(b) Representa la gráfica de \( f(x) \) utilizando los datos del apartado anterior. (0.5 puntos)
(c) Calcule una primitiva \( F(x) \) de la función \( f(x) \). (1.5 puntos)

3 Opción A (2 puntos)

(a) Enuncie el teorema del valor medio de Lagrange. (0.75 puntos)
(b) Aplicando a la función \( f(x) = \frac{1}{x^2} \) el anterior teorema, prueba que cualesquiera que sean los números reales \( 1 < a < b \) se cumple la desigualdad \( a + b < 2 a^2 b^2 \). (1.25 puntos)

4 Opción A (2 puntos)

Calcule una primitiva \( F(x) \) de la función \( f(x) = \frac{2 x}{x^2 + 1} - e^{-x} + 2 x \cos(x^2) \) que cumpla \( F(0) = 0 \). (2 puntos)

3 Opción B (2 puntos)

Estudie el dominio, el signo, las asíntotas verticales y las asíntotas horizontales de la función \( f(x) = \frac{2 x + 1}{x^2 + x} \). (2 puntos)

4 Opción B (2 puntos)

(a) Represente, aproximadamente, la gráfica de la función \( f(x) = x^2 - 1 \) definida en el intervalo cerrado \([0, 2]\). (0.5 puntos)
(b) Calcule el área de la región plana limitada por la gráfica de la función \( f(x) = x^2 - 1 \), el eje OX y las rectas \( x = 0 \), \( x = 2 \). (1.5 puntos)

3 Opción A (2 puntos)

(a) Estudie el dominio de definición, los extremos relativos y las asíntotas de la función \( f(x) = x + \frac{1}{x} = \frac{x^2 + 1}{x} \). (1.5 puntos)
(b) Teniendo en cuenta los datos obtenidos en el apartado anterior, represente, aproximadamente, la gráfica de la función \( f(x) \). (0.5 puntos)

4 Opción A (2 puntos)

Utilizando el cambio de variable \( 1 + x^2 = t^2 \), calcule una primitiva \( F(x) \) de la función \( f(x) = \frac{x^3}{\sqrt{1 + x^2}} \) que cumpla \( F(0) = 0 \). (2 puntos)

3 Opción B (2 puntos)

Calcule, aplicando la regla de L'Hôpital, el límite \( \lim_{x \to 0} \frac{\operatorname{sen}(2 x) + (1 - x)^2 - 1}{\ln(\cos x)} \). (2 puntos)

4 Opción B (2 puntos)

(a) Calcule los puntos en los que las dos curvas \( y = e^x \), \( y = -x^2 \) cortan a la recta \( x = 0 \) y a la recta \( x = 1 \). (0.5 puntos)
(b) Calcule el área de la región plana limitada por las curvas \( y = e^x \), \( y = -x^2 \), y por las rectas \( x = 0 \), \( x = 1 \). (1.5 puntos)