2A. Tres amigos, Aythami, Besay y Chamaida deciden hacer un fondo común con el dinero que tienen para merendar. La razón (o cociente) entre la suma y la diferencia de las cantidades de dinero que ponen Aythami y Besay es 11/5. La diferencia entre las cantidades aportadas por Aythami y Chamaida es el doble de lo que ha puesto Besay. Además, el doble de la suma de las cantidades que ponen Besay y Chamaida excede en 2 euros a la que aporta Aythami. Hallar la cantidad de dinero que aporta cada uno.

2B. Dada la siguiente matriz: \[M_k = \begin{pmatrix} k & 0 & k \\ 0 & k & 0 \\ 2k - 3 & 0 & k \end{pmatrix}, k \in \mathbb{R}\]

a) Estudiar el rango de la matriz \(M_k\), dependiendo de los valores del parámetro \(k\).

b) Tomamos \(M_1\) como la matriz anterior para el valor \(k = 1\), y \[B = \begin{pmatrix} -4 & 2 & 0 \\ 0 & 0 & 4 \end{pmatrix}\] hallar la matriz \(X\) que satisface la ecuación: \(X \cdot M_1 + X \cdot M_1^T = B\)

2A. Resolver el siguiente sistema matricial:

\[5X - 4Y = \begin{pmatrix} 5 & 6 & -1 \\ 4 & -5 & 1 \end{pmatrix}\]

\[4X - 6Y = \begin{pmatrix} 4 & 2 & 2 \\ 6 & -4 & -2 \end{pmatrix}\]

2B. Dado el siguiente sistema de ecuaciones lineales con un parámetro \(k \in \mathbb{R}\):

\[\begin{cases} kx + y - 3z = 5 \\ -x + y + z = -4 \\ kx + y - kz = 1 \end{cases}\]

a) Discutir la resolución del sistema según los valores del parámetro \(k\).

b) Resolver el sistema cuando \(k = 4\)

2A. Dado el siguiente sistema de ecuaciones:

\[\begin{cases} -x + ky + 2z = k \\ 2x + ky - z = 2 \\ kx - y + 2z = k \end{cases}\]

a) Discutir la compatibilidad del sistema según los diversos valores de \(k\).

b) Resolver el sistema para \(k = 2\).

2B. Resolver la ecuación matricial: \(AX + B^t = A^2\), siendo:

\[A=\begin{pmatrix} 0 & 1 & 1 \\ 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix} \text{ y } B=\begin{pmatrix} 1 & -1 & 1 \\ 1 & -1 & 0 \\ -1 & 2 & 3 \end{pmatrix}\]

2A. Dadas las matrices:

\[A=\begin{pmatrix} 2 & 1 & 0 \\ -1 & 0 & 0 \\ 1 & 2 & -1 \end{pmatrix}, B=\begin{pmatrix} -1 & 2 & 1 \\ 0 & -1 & 0 \\ 1 & 0 & 0 \end{pmatrix}, C=\begin{pmatrix} 0 & 1 & 0 \\ 0 & 3 & 0 \\ -1 & 0 & -1 \end{pmatrix}\]

a) Comprobar si la matriz \(M = 2I_3 + B^t\) tiene inversa. Donde \(I_3\) es la matriz identidad de orden 3.

b) Justificar que existe la matriz \(X\) que verifica la ecuación siguiente: \(2X + C = A - X \cdot B^t\). Calcular razonadamente dicha matriz.

2B. Un bar de tapas canario sólo ofrece tres platos en su menú: escaldón, tollos y carajacas. El precio medio de los tres platos (la ración) es de 5€. Se sirven 30 raciones de escaldón, 20 raciones de tollos y 10 raciones de carajacas, por lo que se ingresaron 255 euros en total. Sabiendo que el triple del precio de las caracajas supera en diez euros el doble del precio de los tollos. Calcula el precio de la ración de cada producto.

2A. Resuelve los siguientes apartados:

a) Dadas las matrices \[A = \begin{pmatrix} 1 & 1 \\ 0 & 1 \end{pmatrix} \text{ y } B = \begin{pmatrix} -1 & 1 \\ 0 & 1 \end{pmatrix}\] para \(k \in \mathbb{R}\) sea C la matriz dada por: \(C = A^t + k \cdot B \cdot A\). Averigua para qué valores de \(k\), la matriz \(C\) tiene rango 2.

b) Encuentra la matriz \(X\), de dimensión 3x3, que verifica \(M^t \cdot X = I - M\), donde \[M = \begin{pmatrix} 0 & 1 & 0 \\ 1 & -1 & 0 \\ 0 & 1 & -1 \end{pmatrix}\]

2B. Considera el siguiente sistema de ecuaciones:

\[\begin{cases} 2x + 6y + kz = 0 \\ kx + 4y + 2z = 2 \\ kx + 6y + 2z = k - 2 \end{cases}\]

a) Discute la resolución del sistema según los valores que puede tomar el parámetro \(k\).

b) Resuelve el sistema cuando el parámetro \(k\) toma el valor \(k = 0\).

2A. Averigua qué dos matrices de dimensiones 3x3, X e Y, verifican las siguientes condiciones:

- La suma de ambas matrices X e Y da como resultado la matriz I₃ (siendo I₃ la matriz identidad 3x3)

- Siendo \[A = \begin{pmatrix} 9 & 0 & -7 \\ 14 & -12 & 0 \\ 0 & -7 & -5 \end{pmatrix}\], la matriz traspuesta de A es el resultado de realizar la resta del doble de la matriz X y cinco veces la matriz Y

2B. Dado el siguiente sistema de ecuaciones con un parámetro k:

\[\begin{cases} kx - y - z = 1 \\ x + ky + 2kz = k \\ x + y + z = -1 \end{cases}\]

a) Discute la resolución del sistema de ecuaciones, según los valores que pueda tomar el parámetro k.

b) Resuelve el sistema para k = 1.

2A. Se consideran las matrices:

\[A = \begin{pmatrix} 1 & -1 \\ 4 & 2 \end{pmatrix} \text{ y } B = \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 4 & -1 \end{pmatrix}\]

a) Sea la matriz \(M = A + c \cdot B\), donde \(c\) es un número real cualquiera. Calcular los valores de \(c\) de forma que el rango \((M) = 1\).

b) Sea la matriz \(D = A^2 + B \cdot A\). Averiguar la matriz \(X\) que cumple la siguiente ecuación matricial: \[D \cdot X = -30 \begin{pmatrix} 2 & 1 & 3 \\ 0 & 1 & 4 \end{pmatrix}\]

2B. En la liga Mate-Basket, las mujeres matemáticas con mayor puntuación son: Lovelace, Noerther y Germain. Las tres acumulan 17500 puntos. Además, lo que ha anotado Germain más 2500 puntos es equivalente a la mitad de lo anotado por Lovelace. Finalmente, Noerther anotó el doble que Germain. ¿Cuál es el ranking de puntuaciones de la liga Mate-Basket de las jugadoras Lovelace, Noerther y Germain?

2A. Calcular el valor de la matriz \(M = X^2 - Y^2\), siendo X e Y las matrices que son solución del siguiente sistema:

\[\begin{cases} 4X + 3Y = \begin{pmatrix} 1 & 8 \\ -3 & -1 \end{pmatrix} \\ 2X + Y = \begin{pmatrix} 3 & 4 \\ 1 & -1 \end{pmatrix} \end{cases}\]

2B. Un granjero compra un determinado mes 274€ de pienso para su ganado. Con ese dinero obtiene un total de 66 sacos de pienso de tres marcas diferentes: A, B y C. Se sabe que el precio de cada marca de pienso que ha comprado es de 5€, 4€ y 4€, respectivamente. También se sabe que el número de sacos adquiridos de la marca C es el doble que el total de sacos comprados de las marcas A y B juntos. Averiguar la cantidad de sacos que el granjero ha comprado de cada una de las tres marcas.

2A. Dadas las matrices:

\[A = \begin{pmatrix} 1 & 2 & 1 \\ 1 & 2 & 9 \\ 10 & -3 & 5 \end{pmatrix}, B = \begin{pmatrix} 2 & 2 & 0 \\ 1 & 3 & 9 \\ 10 & -3 & 4 \end{pmatrix}, C = \begin{pmatrix} -1 & 0 \\ -3 & -1 \\ 6 & 0 \end{pmatrix}\]

Se plantea la siguiente ecuación matricial: \(X \cdot A - C^t = X \cdot B\)

a) Justifique razonadamente cuál es la dimensión de la matriz \(X\).

b) Halle la matriz \(X\) que cumple la ecuación.

2B. Sea el siguiente sistema de ecuaciones:

\[\begin{cases} kx + 2y + 6z = 0 \\ 2x + ky + 4z = 2 \\ 2x + ky + 6z = k - 2 \end{cases}\]

a) Discuta el sistema según los valores del parámetro k.

b) Resuelva el sistema para \(k = 0\).

2A. Dada la matriz

\[A = \begin{pmatrix} k & 0 & 1 \\ 0 & k-1 & k-1 \\ k & 1 & k-3 \end{pmatrix}\]

a) Halle los valores del parámetro \(k\) para los que la matriz \(A\) tiene inversa.

b) Tomando el valor \(k = -1\) en la matriz \(A\), calcule la matriz \(X\) que verifica que: \(A \cdot X = 24 \cdot I_3\), siendo \(I_3\) la matriz identidad de orden 3.

2B. Una pequeña bombonería tiene en su almacén 24 kg de chocolate y 60 litros de leche, con los que elabora tres productos distintos: cajas de bombones, tabletas de chocolate y paquetes de chocolate en polvo. Del resto de los ingredientes se tienen reservas suficientes.

Se sabe que las cajas de bombones requieren 2 kg de chocolate y 6 litros de leche, las tabletas de chocolate requieren 4 kg de chocolate y 4 litros de leche, y cada paquete de chocolate en polvo requiere 1 kg de chocolate y 4 litros de leche. Se quiere fabricar un total de 12 unidades y con ello se consume todo el chocolate y toda la leche almacenados. ¿Cuántas unidades deben fabricarse de cada tipo de producto?

2A. Dado el sistema:

\[\begin{cases} 2x + y + 3z = 2 \\ 5x + 2y + 4z = -1 \\ 3x + y + k^2z = 3k \end{cases}\]

a) Discutirlo para los distintos valores del parámetro k.

b) Resolverlo para \(k = 2\).

2B. Sea la matriz \(C = A \cdot B\), donde:

\[A = \begin{pmatrix} 1 & 2 & m \\ 1 & -1 & -1 \end{pmatrix} \text{ y } B = \begin{pmatrix} 1 & 2 \\ m & 0 \\ 0 & 2 \end{pmatrix}\]

a) Encontrar los valores de m para los que existe inversa de la matriz C.

b) Calcular la matriz inversa de C en el caso de \(m = 2\).

2A. Dadas las matrices:

\[A = \begin{pmatrix} x & 1 \\ 1 & x+1 \end{pmatrix} \text{ y } B = \begin{pmatrix} 0 & 1 \\ 1 & 1 \end{pmatrix}\]

y sea \(I_2\) la matriz identidad de orden 2:

a) Calcular el valor de x de modo que se verifique la igualdad: \(B^2 = A\).

b) Calcular el valor de x para que \(A - I_2 = B^{-1}\).

c) Calcular el valor de x para que \(A \cdot B = I_2\).

2B. Resolver el siguiente sistema de ecuaciones matriciales:

\[2X + 3Y = \begin{pmatrix} 8 & -3 & 4 \\ 7 & -1 & 12 \end{pmatrix}\]

\[X - 2Y = \begin{pmatrix} -3 & 2 & 2 \\ -7 & 3 & -1 \end{pmatrix}\]

2A. Determinar una matriz X que verifique la ecuación

\[AB - CX = I\]

siendo las matrices,

\[A = \begin{pmatrix} 1 & -2 & 1 \\ 2 & 4 & -1 \end{pmatrix}, B = \begin{pmatrix} 2 & 4 \\ 0 & -5 \\ -2 & 1 \end{pmatrix}, C = \begin{pmatrix} 2 & 0 \\ -1 & 1 \end{pmatrix}, I = \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix}\]

2B. Considerar el sistema de ecuaciones

\[\begin{cases} x + y + z = 0 \\ 2x + ky + z = 2 \\ x + y + kz = k - 1 \end{cases}\]

a) Estudiar el sistema para los distintos valores de k.

b) Resolver el sistema para k = 1.

2A. Dado el sistema de ecuaciones

\[\begin{cases} x + ky + kz = 1 \\ x + y + z = 1 \\ x + 2y + 4z = 2 \end{cases}\]

a) Discutir el sistema según los valores del parámetro k.

b) Resolver el sistema para k = 1.

2B. Dada la matriz

\[A = \begin{pmatrix} 1 & 0 & -1 \\ 0 & m+1 & 2 \\ m-2 & 0 & 0 \end{pmatrix}\]

a) Calcular los valores del parámetro m para los cuales la matriz A tiene inversa.

b) Para m = 1, calcular la matriz inversa A^-1.

3A. Sea M la matriz

\[M = \begin{pmatrix} 0 & 1 \\ 1 & 7 \end{pmatrix}\]

Resolver el siguiente sistema de ecuaciones matriciales:

\[\begin{cases} 2X + 3Y = M \\ 3X - 2Y = M^{-1} \end{cases}\]

3B. Hallar la matriz X que cumple la ecuación matricial \(A^{-1}XA = B\) siendo

\[A = \begin{pmatrix} 3 & 1 \\ -2 & -1 \end{pmatrix} \text{ y } B = \begin{pmatrix} 1 & -1 \\ 2 & 1 \end{pmatrix}\]

3A. Dadas las matrices

\[A = \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 1 & -1 \end{pmatrix}, B = \begin{pmatrix} 1 & x \\ x-1 & -1 \end{pmatrix}, C = \begin{pmatrix} 0 & -1 \\ -1 & 2 \end{pmatrix}\]

a) Calcular el valor \(x\) para que se cumpla: \(A + B + C^2 = 3 \cdot I_2\), donde \(I_2\) es la matriz identidad de orden 2.

b) Calcular la matriz \(X\) solución de la ecuación matricial: \(A \cdot X + C^2 = 3 \cdot I_2\).

3B. Sea el sistema de ecuaciones lineales

\[\begin{cases} 2x + y + kz = 1 \\ kx + 2y - z = -2 \\ y - 3z = -3 \end{cases}\]

a) Estudiarlo y clasificarlo para los distintos valores del parámetro k.

b) Resolverlo para k = 2.