3.1

a) (1 punto) Calcula el valor de la siguiente integral:

\[ \int \frac{x^2 + 5x + 5}{x^3 + 4x^2 + 5x} \, dx. \]

b) (1,5 puntos) Calcula las dimensiones del rectángulo de mayor área inscrito en una circunferencia de radio \(r\).

3.2

a) (1 punto) Sea \(p(x) = x^3 - 2x^2 + 2x\). Calcula, utilizando el cambio de variable \(x = 1 + t\),

\[ \int \frac{dx}{p(x)}. \]

b) (1,5 puntos) Dada la función \(f(x) = \frac{e^x}{p(x)}\), calcula sus asíntotas, cuando existan, y sus intervalos de crecimiento y decrecimiento.

1.

Dada la función \(f(x)=x \cdot e^{-a x^{2}}, a \in R\).

a) Determine los valores de \(a \in R\) para que la función \(f(x)\) sea continua en R y tenga la asíntota horizontal \(y=0\).

b) Calcula, para \(a=\frac{1}{2}\), el área que encierra la gráfica de la curva \(f(x)\) entre el eje X y las rectas \(x=0\) y \(x=1\).

2.

Para la función \(f(x)=\frac{2 x^{3}+a x^{2}+b x+3}{-x^{3}+4 x^{2}-5 x+2}\). Calcula los valores de \(a, b \in R\), para que \(\lim _{x \rightarrow 1} f(x)=L \in R\), y determina el valor de dicho límite.

3.

Calcula el área del recinto limitado por las gráficas de las funciones \(f(x)=3 x+2 x^{2}\) y \(g(x)=x^{2}+4 x+2\).

4.

Para la función \(f(x)=\frac{x^{2}+x}{3-x^{2}}\) :

a) Estudia la existencia de asíntotas horizontales, verticales y oblicuas, así como de ramas parabólicas. Determina las asíntotas cuando existan.

b) Calcula la recta tangente a la función en el punto \(x=1\).

1.

Dada la función \(f(x)=\left\{\begin{array}{l}\sqrt{-x}+e^{3} \text { si } x \leq 0 \\ (1-x)^{a / x} \text { si } x>0\end{array}, a \in R\right.\).

a) Determine los valores de \(a \in R\) para que la función \(f(x)\) sea continua en \(R\).

b) Calcula, para \(a=1\). La recta tangente a la función en \(x=-4\).

2.

Calcule el siguiente límite: \(\lim _{x \rightarrow+\infty}\left[\sqrt{3 x^{2}-2}-(\sqrt{3} x+5)\right]\).

3.

Calcula: \(I=\int e^{-x} \cdot\left(x^{2}-1\right) \cdot d x\).

4.

Para la función \(f(x)=\frac{(x-1)^{2}}{x^{2}}\) :

a) Obtén el dominio de definición y estudia su crecimiento y decrecimiento.

b) Analiza la curvatura (concavidad \(\cap\) y convexidad \(U\) ) y existencia de puntos de inflexión en su dominio de definición. Obtén los puntos de inflexión caso de existir.

1.

Dada la función \(f(x)=\left\{\begin{array}{c}5-a x^{2} \text { si } x \leq 1 \\ \frac{6}{a x} \text { si } x>1\end{array}\right.\), \(a \in R ; a \neq 0\).

a) Calcule los valores de \(a \in R\) para que la función \(f(x)\) sea continua.

b) Determine justificadamente para qué valor de los anteriores se verifica que el área encerrada por la función \(f(x)\), el eje OX y la rectas \(x=0\) y \(x=e\) sea \(6 u^{2}\).

2.

Calcule el siguiente límite: \(\lim _{x \rightarrow 1}\left(\operatorname{sen} \frac{\pi x}{2}\right)^{\frac{1}{(1-x)^{2}}}\).

3.

Se desea construir un depósito con forma de prisma regular de base cuadrada. Además, el depósito es abierto (sin tapa superior). La capacidad total debe ser de \(64 \mathrm{~m}^{3}\). El material de construcción de los laterales tiene un precio de 70 euros por \(\mathrm{m}^{2}\), mientras que el de la base, más resistente, es de 140 euros por \(\mathrm{m}^{2}\). Halle las dimensiones del depósito para que tenga el menor coste posible.

4.

Para la función \(f(x)=\frac{e^{x}}{x^{3}-x}\) :

a) Estudie la existencia de asíntotas horizontales, verticales y oblicuas. Calcúlelas cuando existan.

b) Calcule la recta tangente a la curva en el punto \(x=2\).

1.

Dada la función \(f(x)=\left\{\begin{array}{c}x^{3}+b x+2 \text { si } x \leq 0 \\ \frac{L(x+1)}{a x} \text { si } x>0\end{array}\right.\), a, \(b \in R ; a, b \neq 0\).

a) Determine los valores de \(a, b \in R\) para que la función \(f(x)\) sea continua en R .

b) Calcule aquellos valores que además hacen que la función \(f(x)\) tenga un extremo relativo en el punto \(x=-1\), y determine el tipo de extremo que es.

2.

Calcule el valor de \(a \in R(a \neq 0)\) para que se verifique \(\lim _{x \rightarrow 0}\left(1-\operatorname{sen}^{2} x\right)^{\frac{\alpha}{x^{2}}}=2\).

3.

Calcule: \(I=\int \frac{x^{2}-1}{x^{3}-3 x+2} \cdot d x\).

4.

Para la función \(f(x)=\frac{2 x^{3}-x^{2}}{x^{2}-x-2}\) :

a) Estudie el dominio de definición y calcule las asíntotas horizontales, verticales y oblicuas caso de existir.

b) Calcule la recta tangente a la curva en el punto \(x=1\).

5.

Calcule el siguiente límite: \(\lim _{x \rightarrow 0}(1+x)^{\frac{2}{\operatorname{tag} x}}\).

6.

Un campo de juego quiere deseñarse de modo que la parte central sea un rectángulo de base \(y\) metros y altura \(x\) metros, y las partes laterales sean semicircunferencias (véase dibujo). Su superficie se desea que sea de \((4+\pi) m^{2}\). Se desea pintar el perímetro y las reyas interiores de modo que la cantidad de pintura que se gaste sea mínima (es decir, su longitud total sea mínima). Halla \(x\) e \(y\) de modo que se verifique este requisito.

7.

Dada la función \(f(x)=\frac{-x^{2}}{2}+2 L(x+1)\).

a) Calcule el dominio de \(f(x)\).

b) Calcule los intervalos de crecimiento y decrecimiento.

8.

Calcula la siguiente integral: \(I=\int x^{3} \cdot e^{x^{2}} \cdot d x\).

5.

Calcule el siguiente límite: \(\lim _{x \rightarrow 0^{+}}(1+x-\operatorname{sen} x)^{\frac{1}{x^{3}}}\).

6.

Se considera la función \(f(x)=\frac{x^{2}}{1-e^{-x}}\). Estudie la existencia de asíntotas verticales, horizontales y oblicuas y calcúlelas cuando existan.

7.

Se considera la función \(f(x)=L(2 x+1)\).

a) Estudie su dominio, así como sus intervalos de crecimiento y decrecimiento.

b) Halle la ecuación de la recta tangente a \(f(x)\) en el punto de abscisa \(x=\frac{1}{2}\).

8.

Calcula la siguiente integral: \(I=\int \sqrt{x} \cdot L^{2} x \cdot d x\).

3A.

a) Determine el límite \(\lim _{x \rightarrow 0}\left[\frac{2}{L(1+x)^{2}}-\frac{1}{x}\right]\).

b) Determine el valor de la constante \(k\) para que la función \(f(x)= \begin{cases}\frac{x^{4}-1}{x-1} & \text { si } x \neq 1 \\ k-x & \text { si } x=1\end{cases}\) sea continua en \(x=1\).

c) La curva \(y=x^{2}+1\) divide al rectángulo limitado por los vértices \(A(0,1), B(2,1)\), \(C(0,5)\) y \(D(2,5)\) en dos partes. Determine el área de cada una de esas dos partes.

3B.

a) Considere la función \(f(x)=\frac{2 x^{3}+k x^{2}+x+3}{x^{2}+2}\). Determine el valor de \(k\) para que la función \(f(x)\) tenga como asíntota oblicua, cuando \(x \rightarrow+\infty\), la recta \(y=2 x-1\).

b) Determine \(I=\int x \cdot(L x)^{2} \cdot d x\).

c) Determine, si existen, los máximos, mínimo relativos y puntos de inflexión de la función \(f(x)=\frac{1}{x}+L x\).

3A.

a) Un rectángulo tiene sus vértices en los puntos \(A(0,0), B(a, 0), C(0, b)\) y \(D(a, b)\) donde \(a>0\) y \(b>0\) y además el punto \(D(a, b)\) está situado en la curva \(y=\frac{1}{x^{2}}+9\). De entre todos los rectángulo que cumplen esas condiciones determine el rectángulo de área mínima y calcule dicha área mínima.

b) Determine \(I=\int \frac{1}{9-x^{2}} \cdot d x\).

c) Determine el valor de la constante \(k\) para que se verifique que:

\[\lim _{x \rightarrow 1} \frac{x^{3}+x^{2}+k x+3}{x^{3}-x^{2}-x+1}=2 .\]

3B.

Considere la función \(f(x)=\frac{x-1}{(x+1)^{2}}\).

a) Determine las asíntotas de la función, si existen.

b) Determine los intervalos de crecimiento y de decrecimiento de esa función, si existen.

c) Determine la integral \(I=\int_{1}^{3} f(x) \cdot d x\).

3A.

Considere la función \(f(x)=\frac{x^{2}-3 x+3}{x-1}\) :

a₁) Determine las asíntotas de la función \(f(x)\).

a₂) Determine los intervalos de crecimiento y de decrecimiento y los máximos y mínimos relativos de la función \(f(x)\).

b) Calcule la siguiente integral: \(I=\int \frac{9}{x^{2}+x-2} \cdot d x\).

3B.

a) Calcule el límite: \(\lim _{x \rightarrow+\infty}\left(\frac{x^{2}+1}{x}-\frac{x^{3}-x^{2}-x+2}{x^{2}}\right)^{\frac{3+x^{2}}{x}}\).

b) De entre todos los triángulos rectángulos que tienen un área de \(1 \mathrm{~cm}^{2}\), determine el que tiene la hipotenusa de longitud mínima y proporcione las longitudes de los tres lados de ese triángulo.

c) Calcule el área limitada por la curva \(f(x)=x^{2}+x\) y la recta \(g(x)=x+4\).

3.

a) Considere la función \(f(x)=\frac{x+1}{\sqrt{x^{2}+1}}\) :

a₁) Determine el dominio y las asíntotas de la función \(f(x)\).

a₂) Determine los máximos y mínimos relativos de la función \(f(x)\).

a₃) Determine la recta tangente a la función \(f(x)\) en el punto \(x=2\).

b) Calcule \(I=\int \frac{x^{2}-3 x+3}{x-1} \cdot d x\).

3A.

a) Determine los valores de \(a\) y \(b\) para que la función que aparece a continuación sea continua: \(f(x)=\left\{\begin{array}{c}\frac{1}{e^{x}} \quad \text { si } x \leq 0 \\ a \cos x+b \text { si } 0 \leq x \leq \pi \\ \text { sen } x-a x \text { si } x<\pi\end{array}\right.\).

b) Calcule la integral: \(I=\int x^{2} \cdot(L x)^{2} \cdot d x\).

c) Determine el siguiente límite: \(\lim _{x \rightarrow 1}\left(e^{x-1}-1\right)^{x-1}\).

3A.

a) Considere la función \(f(x)=x \cdot(L x)^{2}\).

a₁) Determine el dominio de la función \(f(x)\).

a₂) Determine los intervalos de crecimiento y decrecimiento de la función \(f(x)\).

a₃) Determine, si existen, los máximos y mínimos relativos y, en ese caso, calcule el valor de la función \(f(x)\) en cada uno de ellos.

b) Determine el valor de la constante \(k\) para que se verifique que:

\[\lim _{x \rightarrow+\infty}\left(\sqrt{x^{2}+k x-7}-\sqrt{x^{2}-2 x+5}\right)=\frac{5}{3}\]

3B.

a) Encuentre dos números tales que el doble del primero más el triple del segundo sea 24 y su producto sea máximo.

b) Determine: \(\lim _{x \rightarrow 0}\left(\frac{x+1}{1+\operatorname{sen} x}\right)^{\frac{1}{x^{2}}}\).

3A.

a) Determine, si existen, todos los valores de los parámetros \(a\) y \(b\) para que la función \(f(x)=\left\{\begin{array}{c}a \cdot e^{x} \text { si } x<0 \\ 1-x^{2} \text { si } 0 \leq x<1 \text { sea continua. } \\ b\left(1-e^{x-1}\right) \text { si } x \geq 1\end{array}\right.\)

b) Considere ahora que \(a=1\). Usando la definición de derivada, estudie si la función es derivable en \(x=0\).

c) Determine: \(\lim _{x \rightarrow+\infty}(L x)^{\frac{1}{e^{x}}}\).

d) Determine: \(I=\int \frac{(L x)^{2}}{\sqrt{x}} \cdot d x\).

3B.

a) Considere la función \(f(x)=x+\frac{4}{x}\) :

a₁) Determine el dominio y las asíntotas, si existen, de la función \(f(x)\).

a₂) Determine los extremos relativos y puntos de inflexión, si existen, de la función \(f(x)\).

b) Determine el área limitada por la curva \(f(x)=-2 \cdot \operatorname{sen}\left(\frac{x}{2}\right)\), y las rectas \(x=0\), \(x=\pi\) y el eje de abscisas \(y=0\).

3A.

a) Considere la función \(f(x)=\frac{1}{8 x-x^{2}}\).

a₁) Determine las asíntotas, si existen, de la función \(f(x)\).

a₂) Determine los extremos relativos, si existen, de la función \(f(x)\).

b) Determine \(\lim _{x \rightarrow+\infty}\left(L x^{2} \cdot \frac{x+1}{x^{2}+3}\right)\).

c) Calcule el área de la región encerrada entre las siguientes curvas: \(f(x)=x^{3}\) y \(g(x)=2 x^{2}-x\).

3B.

a) Determine el límite: \(\lim _{x \rightarrow+\infty}\left(\frac{5 x+1}{2 x-1}-\frac{3}{2}\right)^{\frac{2 x^{2}+1}{x-1}}\).

b) Usando el cambio de variable \(t=\cos x\), calcule: \(I=\int_{\frac{\pi}{4}}^{\frac{\pi}{3}} \frac{\operatorname{sen} x \cdot \cos x}{1-\cos x} \cdot d x\).

c) Queremos construir una ventana con la forma de la figura que aparece en el dibujo, es decir, rectangular en la parte inferior y semicircular en la superior (la parte superior es un semicírculo completo. Sabiendo que el perímetro de la ventana son 5 metros, determine las dimensiones de la ventana para que la superficie de la misma sea máxima.

3A.

a) Usando el cambio de variable \(t=e^{x}\), calcule \(I=\int \frac{e^{3 x}}{e^{2 x}+3 e^{x}+2} \cdot d x\).

b) Determine el límite siguiente: \(\lim _{x \rightarrow \frac{\pi}{2}}\left(\frac{1}{1-\operatorname{sen} x}\right)^{\frac{\cos x}{\operatorname{sen} x}}\).

c) Determine la ecuación de la curva \(f(x)\) sabiendo que la recta tangente en \(x=3\) es \(y=9 x-13\) y la derivada segunda es \(f^{\prime \prime}(x)=4\), para cualquier valor de x.

3B.

Sea \(f(x)=x^{2} \cdot e^{1 / x^{2}}\) :

1) Determine el dominio de \(f(x)\).

2) Determine, si existen, las asíntotas de \(f(x)\).

3) Determine, si existen, los máximos y mínimos relativos de f(x).

b) Calcule: \(I=\int\left[\frac{(x-1)^{2}}{\sqrt{x}}+\frac{L x}{x^{2}}\right] \cdot d x\).

3A. a) Considere la función \(f(x)=(x^2-3)/e^x\). Determine los máximos relativos, los mínimos relativos y los puntos de inflexión, si existen, de la función f(x).

b) Usando el cambio de variable \(t=\cos x\), calcule: \(I=\int \frac{\cos^2 x}{\operatorname{sen} x} \cdot dx\).

4A. 1) Calcule los valores a y b para que la función \(f(x)=ax^3+bx^2\) tenga un extremo relativo en el punto P(1,2).

2) Calcule el área encerrada por la curva \(f(x)=2x^3-3x^2\) y la parte positiva del eje OX.

3B. Calcule las dimensiones de tres campos cuadrados que no tienen ningún lado común y que satisfacen que el perímetro de uno de ellos es triple que el de otro y, además, se necesitan 1.248 metros de valla para vallar completamente los tres campos, de manera que la suma de las áreas es la mínima posible.

4B. Usando el cambio de variable \(t=e^x\), calcule: \(I=\int \frac{2e^{2x}}{e^x-2e^{-x}} \cdot dx\).

3A. Considere la función \(f(x)=\frac{x^2}{2x-6}\): a) Determine el dominio y las asíntotas, si existen, de esa función. b) Determine los intervalos de crecimiento y decrecimiento y los máximos y mínimos relativos, si existen, de esa función.

4A. a) La derivada de una función \(f(x)\) es \(f'(x)=(x-1)^2(x-3)\). Determine la función \(f(x)\) sabiendo que f(0)=1.

b) Determine el límite: \(\lim_{x \rightarrow+\infty}\left(\frac{x^3+2x+2}{x^3+1}\right)^{3x^2+x+1}\).

3B. a) Considere la función \(f(x)=\left\{\begin{array}{cc}x^2 & \text{si } x<2 \\ 2x+a & \text{si } 2 \leq x \leq 4 \\ -x^2+3x+b & \text{si } x>4\end{array}\right.\). Determine los valores a y b para que la función sea continua.

b) Supongamos ahora que a=0. Usando la definición de derivada, estudie la derivabilidad de \(f(x)\) en \(x=2\).

4B. a) Dadas las funciones \(f(x)=x^2\) y \(g(x)=-x^2+2\), determine el área encerrada entre ambas funciones.

b) Calcule la integral: \(I=\int_{2}^{3} \frac{x^3}{x^2-2x+1} \cdot dx\).

3A. Considere la función \(f(x)=\frac{x^2+3}{x^2+2}\): a) Determine las asíntotas, horizontales, verticales y oblicuas, que tenga f(x). b) Determine los intervalos de crecimiento y decrecimiento de f(x). ¿Tiene la función f(x) algún máximo o mínimo relativo?

4A. a) Usando el cambio de variable \(t=L x\), determine la integral \(I=\int \frac{2+3L x+(L x)^3}{x[1-(L x)^2]^2} dx\).

b) Determine el límite: \(\lim_{x \rightarrow 0}(\cos x)^{(\frac{1}{\operatorname{sen} x})^2}\).

3B. a) Determine, si existen, los máximos y mínimos relativos y puntos de inflexión de la función \(g(x)=\frac{e^x}{x+1}\).

b) Determine \(\lim_{x \rightarrow+\infty}\left(\sqrt{3x^2+2x+2}-\sqrt{3x^2+x}\right)\).

4B. a) Determine la integral \(I=\int x^2 \cdot \operatorname{sen}(2x) \cdot dx\).

b) Determine el área máxima que puede tener un rectángulo cuya diagonal mide 8 metros. ¿Cuáles son las dimensiones del rectángulo de área máxima?

3A. Sea la función \(f(x)=\frac{(x+2)^2}{x^2+4x+3}\). a) Determine su dominio de definición. b) Encuentre las asíntotas que tenga esa función. c) Considere la función \(g(x)=\frac{(x+2)^2}{x+3}\). Encuentre sus intervalos de crecimiento y decrecimiento y sus máximos y mínimos relativos, si existen.

4A. a) Calcule: \(I=\int_{2}^{3} \frac{1}{2x^2-4x+2} \cdot dx\).

b) Determine el límite: \(\lim_{x \rightarrow+\infty} \frac{1+2L x+(L x)^2}{x(1+L x)}\)

3B. a) Considere las funciones \(f(x)=x^2+1\) y \(g(x)=3-x\). Determine los puntos de corte de estas funciones. Determine el área encerrada entre esas dos funciones.

b) Determine, si existen, los máximos y mínimos relativos, y los puntos de inflexión de la función \(h(x)=x^6+2\).

4B. a) Usando el cambio de variable \(t=e^x\), calcule: \(\int \frac{e^x}{1-e^{-x}} \cdot dx\).

b) Calcule: \(\lim_{x \rightarrow+\infty}\left(\frac{x-1}{x+1}\right)^{\sqrt{x}}\).

3A. Un poste de 3 metros de altura tiene en su punta un sensor que recoge datos meteorológicos. Dichos datos deben transmitirse a través de un cable a una estación de almacenamiento situada a 4 metros de la base del poste. El cable puede ser aéreo o terrestre, según vaya por el aire o por el suelo. El coste del cable es distinto según sea aéreo o terrestre. El metro de cable aéreo cuesta 3.000 euros y el metro de cable terrestre cuesta 1.000 euros. ¿Qué parte del cable debe ser aéreo y qué parte terrestre para que su coste sea mínimo?

4A. a) Determine la función \(f(x)\) cuya derivada es \(f'(x)=2xe^{5x}\) y que verifica que f(0)=2.

b) Calcule \(\lim_{x \rightarrow 2^+}\left(\frac{1}{3-x}\right)^{\frac{1}{(2-x)^2}}\).

3B. a) Sea la función \(f(x)=\frac{x^3}{x^2-1}\). Determine el dominio y las asíntotas de \(f(x)\), si existen.

b) Determine el área del recinto encerrado por las funciones \(f(x)=-x^2+3\) y \(g(x)=1\).

4B. a) Determine qué valor debe tomar k para que \(\lim_{x \rightarrow+\infty}\left(2x-\sqrt{4x^2+kx-5}\right)=1\).

b) Calcule: \(\int 2x \cdot (L x)^2 \cdot dx\).

3A. Considere las funciones \(f(x)=e^{x+1}\) y \(g(x)=e^{-x+5}\). a) Determine los posibles puntos de corte de esas funciones. b) Calcule el área encerrada entre esas dos funciones y las rectas \(x=1\) y \(x=3\).

4A. Se dispone de una cartulina cuadrada, cuyo lado mide 50 cm. En cada una de las esquinas se corta un cuadrado de lado x con el fin de poder doblar la cartulina y formar una caja, sin tapa. ¿Cuál debe ser el valor de x del cuadrado a cortar para que el volumen sea máximo?

3B. a) Calcule el límite: \(\lim_{x \rightarrow+\infty}\left(\frac{x+6}{x+2}\right)^{3x}\).

b) Calcule la integral: \(I=\int_{0}^{\pi/2} e^{\operatorname{sen} x} \cdot \operatorname{sen} x \cdot \cos x \cdot dx\) usando el cambio de variable sen \(x=t\).

4B. Sea la función \(f(x)=\frac{1}{x^2-x-6}\): a) Determine el dominio de f(x). b) Estudie si la función \(f(x)\) es continua. Si no lo es, determine los puntos de discontinuidad. c) Determine los posibles máximos y mínimos, así como las asíntotas.

2A. Calcule la siguiente integral indefinida: \(I=\int \frac{x^2+11x}{x^3-2x^2-2x+12} dx\).

3A. a) Descomponer el número 12 en dos sumandos positivos de forma que el producto del primero por el cuadrado del segundo sea máximo.

b) Hallar el valor de k para que \(\lim_{x \rightarrow 0} \frac{e^x-e^{-x}+kx}{x-\operatorname{sen} x}=2\).

2B. a) Calcule la siguiente integral indefinida: \(I=\int \cos(L x) \cdot dx\). (Ayuda: realice un cambio de variable adecuado para esta integral).

b) Calcule el siguiente límite: \(\lim_{x \rightarrow+\infty}\left[\left(\frac{x^2}{x+3}\right) \cdot L\left(\frac{x+5}{x-1}\right)\right]\).

3B. Sea la función de variable real definida mediante la expresión \(f(x)=\frac{2x}{x^2+1}\).

a) Determine el dominio de continuidad, simetrías, corte con los ejes y asíntotas de la función f.

b) Calcule, si existen, los extremos relativos y absolutos e intervalos de crecimiento y decrecimiento de f.

c) Calcule, si existen, los puntos de inflexión de f.

d) Dibuje la gráfica de f.

2A. a) Estudiar la continuidad y derivabilidad de la función \(f(x)=\left\{\begin{array}{cc}x^2 & \text{si } x<2 \\ 2x+a & \text{si } 2 \leq x \leq 4 \\ -x^2+3x+b & \text{si } x>4\end{array}\right.\)

b) Supongamos ahora que a=0. Usando la definición de derivada, estudie la derivabilidad de f(x) en x=2.

3A. Un poste de 3 metros de altura tiene en su punta un sensor que recoge datos meteorológicos. Dichos datos deben transmitirse a través de un cable a una estación de almacenamiento situada a 4 metros de la base del poste. El cable puede ser aéreo o terrestre, según vaya por el aire o por el suelo. El coste del cable es distinto según sea aéreo o terrestre. El metro de cable aéreo cuesta 3.000 euros y el metro de cable terrestre cuesta 1.000 euros. ¿Qué parte del cable debe ser aéreo y qué parte terrestre para que su coste sea mínimo?

3B. Sea \(f(x)=\frac{x^3}{(x-1)^2}\).

a) Determinar su dominio.

b) Calcular sus intervalos de crecimiento y decrecimiento.

c) Analizar sus puntos de inflexión.

4B. a) Calcular \(\lim_{x \rightarrow+\infty} \log(x^2-9)\) y \(\lim_{x \rightarrow 3^+} \log(x^2-9)\).

2A. a) Usa el cambio de variable \(t^6=1+x\) para calcular la integral \(I=\int \frac{\sqrt{x+1}+2}{(x+1)^{\frac{2}{3}}-\sqrt{x+1}} dx\).

b) Para \(f(x)=e^{-3x}\), calcular sus derivadas sucesivas y concluir cual de las siguientes opciones es la correcta:

i) \(f^{(n)}(x)=3^n e^{-3x}\)

ii) \(f^{(n)}(x)=-3^{n+1} e^{-3x}\)

iii) \(f^{(n)}(x)=(-3)^n e^{-3x}\).

3A. Sea la función \(f(x)=\frac{x^2+2}{x-2}\) :

a) Calcular su dominio.

b) Obtener sus asíntotas.

c) Estudiar sus puntos de corte con los ejes y analizar si es una función par.

2B. a) Se considera la función \(f(x)=\left\{\begin{array}{cc}L x & \text{ si } 0

b) Calcular \(\lim_{x \rightarrow+\infty} \log(x^2-9)\) y \(\lim_{x \rightarrow 3^+} \log(x^2-9)\).

3B. Sea \(f(x)=\frac{x^3}{(x-1)^2}\).

a) Determinar su dominio.

b) Calcular sus intervalos de crecimiento y decrecimiento.

c) Analizar sus puntos de inflexión.

2A. a) Utilizar el cambio de variable \(t^3=1-x\) para calcular el límite \(\lim_{x \rightarrow 0} \frac{(1-x)^{\frac{1}{3}}-1}{x}\).

b) Estudiar la continuidad de \(f(x)=\left\{\begin{array}{ll}x^2+1 & x<1 \\ 1-x & x \geq 1\end{array}\right.\) y obtener \(\int_{-\frac{1}{2}}^{\frac{1}{2}} f(x) \cdot dx\).

3A. Sea la función \(f(x)=x L x+(1-x) L(1-x)\) con \(x \in(0,1)\).

a) Calcular sus extremos relativos.

b) Estudiar su crecimiento y decrecimiento y razonar si posee algún punto de inflexión.

2B. El número de socios de una ONG viene dado por \(n(x)=2x^3-15x^2+24x+26\), donde x indica el número de años desde su fundación.

a) Calcular el número de socios iniciales en el momento fundacional y en el quinto año.

b) ¿En qué año ha habido el menor número de socios? ¿Cuántos fueron?

c) El cuarto año se produjo un cambio en la junta directiva, ¿influyó en el ascenso o descenso del número de socios?

3B. Sea \(f(x)=\frac{x}{1-\sqrt{1+x}}\) una función definida en \([-1,+\infty)\).

a) ¿Cuánto debe valer \(f(0)\) para asegurar que \(f(x)\) es continua en su dominio? Calcular \(\int_{1}^{2} \frac{f(x)}{1+\sqrt{1+x}} \cdot dx\).

b) Para \(G(x)=\int_{1}^{x} \frac{f(t)}{1+\sqrt{1+t}} \cdot dt\), calcular \(G'(x)\).

2A. Sea la función \(f(x)=\left\{\begin{array}{cl}x^2+2x & \text{ si }-\infty

a) Calcular los valores de \(a\) para los cuales \(f(x)\) es una función continua.

b) Estudiar la derivabilidad de \(f(x)\) para cada uno de esos valores.

c) Obtener \(\int_{-1}^{0} f(x) \cdot dx\).

3A. Encontrar el polinomio de grado dos \(P(x)=ax^2+bx+c\) sabiendo que satisface: en \(x=0\) el polinomio vale 2; su primera derivada vale 4 para \(x=1\) y su segunda derivada vale 2 en \(x=0\). Estudiar si el polinomio obtenido es una función par, ¿tiene en \(x=0\) un punto de inflexión?

2B. Sea \(f(x)=\frac{2x^2-x}{x^2-x^3}\), se pide:

a) Calcular el dominio de \(f(x)\).

b) Estudiar el crecimiento y decrecimiento de f(x).

c) Analizar las asíntotas de \(f(x)\) y calcular las que existan.

3B. a) Hallar el área encerrada entre la curva \(y=x^3-3x\) y la recta \(y=x\).

b) Calcular \(\lim_{n \rightarrow \infty} \frac{L(7n^2)}{Ln}\left[\frac{2Ln}{Ln}\right].\)

3A. Sean \(f(x)=\cos(3x-1)\) y \(h(x)=\operatorname{sen}^2 x\).

a) Calcular \(g(x)=(h \circ f)(x)\).

b) Comprobar si \(g(x)\) es una función par.

c) Obtener \(g'(x)\) y estudiar si es cierto que \(g'(\frac{1}{3})=0\).

4A. Sea \(f(x)=\sqrt{\frac{x^3+2x^2}{x+2}}\) :

a) Calcular su dominio.

b) Encontrar los puntos de corte de \(f(x)\) con el eje OX y estudiar si la función es creciente en el intervalo (0,1).

c) Obtener \(\lim_{x \rightarrow+\infty} \frac{f(x)}{x+2}\).

d) Hallar \(\int_{-1}^{1} f(x) dx\).

3B. a) Calcular \(\int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \cos^3 x \cdot dx\).

b) Sea \(f(x)=e^{ax}\), con \(a \in R\). Calcular \(f^{(n)}(x)-a^n f(x)\), siendo \(f^{(n)}(x)\) la derivada n-ésima de \(f(x)\).

4B. a) Sea \(f(x)=\left\{\begin{array}{cc}(x^2+1)^{\frac{1}{x}} & \text{ si } x<0 \\ \frac{x^4+2x+a}{x+1} & \text{ si } x \geq 0\end{array}\right.\). Estudiar para qué valores del parámetro a esta función es continua en \(x=0\).

b) Entre los números cuya suma sea 36, encontrar aquellos números positivos cuya suma de cuadrados sea mínima.

3A. Sean \(f(x)=\cos(3x-1)\) y \(h(x)=\sin^2 x\).

a) Calcular \(g(x)=(h \circ f)(x)\).

b) Comprobar si \(g(x)\) es una función par.

c) Obtener \(g'(x)\) y estudiar si es cierto que \(g'\left(\frac{1}{3}\right)=0\).

4A. Sea \(f(x)=\sqrt{\frac{x^3+2x^2}{x+2}}\):

a) Calcular su dominio.

b) Encontrar los puntos de corte de \(f(x)\) con el eje OX y estudiar si la función es creciente en el intervalo \((0,1)\).

c) Obtener \(\lim_{x \to +\infty} \frac{f(x)}{x+2}\).

d) Hallar \(\int_{-1}^{1} f(x)\, dx\).

3B. a) Calcular \(\int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \cos^3 x\, dx\).

b) Sea \(f(x)=e^{ax}\), con \(a \in \mathbb{R}\). Calcular \(f^{(n)}(x)-a^n f(x)\), siendo \(f^{(n)}(x)\) la derivada n-ésima de \(f(x)\).

4B. a) Sea \(f(x)=\begin{cases}(x^2+1)^{\frac{1}{x}} & \text{si } x<0 \\ \frac{x^4+2x+a}{x+1} & \text{si } x \geq 0\end{cases}\). Estudiar para qué valores del parámetro \(a\) esta función es continua en \(x=0\).

b) Entre los números cuya suma sea 36, encontrar aquellos números positivos cuya suma de cuadrados sea mínima.

3A. Sea \(f(x)=\frac{(x+2)^2}{x^2+4x+3}\).

a) Determine su dominio de definición.

b) Encuentre las asíntotas que tenga esa función.

c) Considere la función \(g(x)=\frac{(x+2)^2}{x+3}\). Encuentre sus intervalos de crecimiento y decrecimiento y sus máximos y mínimos relativos, si existen.

4A. a) Calcule: \(I=\int_{2}^{3} \frac{1}{2x^2-4x+2}\, dx\).

b) Determine el límite: \(\lim_{x \to +\infty} \frac{1+2\ln x+(\ln x)^2}{x(1+\ln x)}\)

3B. a) Considere las funciones \(f(x)=x^2+1\) y \(g(x)=3-x\). Determine los puntos de corte de estas funciones. Determine el área encerrada entre esas dos funciones.

b) Determine, si existen, los máximos y mínimos relativos, y los puntos de inflexión de la función \(h(x)=x^6+2\).

4B. a) Usando el cambio de variable \(t=e^x\), calcule: \(\int \frac{e^x}{1-e^{-x}}\, dx\).

b) Calcule: \(\lim_{x \to +\infty}\left(\frac{x-1}{x+1}\right)^{\sqrt{x}}\).

3A. Sea \(f(x)=\frac{x}{1-\sqrt{1+x}}\) una función definida en \([-1,+\infty)\).

a) ¿Cuánto debe valer \(f(0)\) para asegurar que \(f(x)\) es continua en su dominio? Calcular \(\int_{1}^{2} \frac{f(x)}{1+\sqrt{1+x}}\, dx\).

b) Para \(G(x)=\int_{1}^{x} \frac{f(t)}{1+\sqrt{1+t}}\, dt\), calcular \(G'(x)\).

4A. Sea la función \(f(x)=\frac{x^2}{4-x}\). Determinar:

a) Su dominio de definición.

b) Sus asíntotas.

c) Máximos y mínimos.

d) Intervalos de crecimiento y decrecimiento.

3B. a) Calcular: \(\lim_{x \to +\infty} \cos\left(\frac{x+1}{x^2}\right)\), \(\lim_{x \to \frac{\pi}{4}} \frac{1+\sin(2x)}{1-\cos(4x)}\), \(\lim_{x \to \infty}\left(\frac{x+4}{x-4}\right)^x\), \(\lim_{x \to 0^+} \frac{1-\sqrt{1-x}}{x}\).

b) Utilizar el cambio de variable \(t^2=1+x^2\) para calcular \(I=\int \frac{x^3}{\sqrt{1+x^2}}\, dx\).

4B. Sea \(f(x)=\frac{x^3}{(x-1)^2}\).

a) Determinar su dominio.

b) Calcular sus intervalos de crecimiento y decrecimiento.

c) Analizar sus puntos de inflexión.

2A. a) Estudiar la continuidad y derivabilidad de la función \(f(x)=\begin{cases}x^2 & \text{si } x<2 \\ 2x+a & \text{si } 2 \leq x \leq 4 \\ -x^2+3x+b & \text{si } x>4\end{cases}\)

b) Supongamos ahora que \(a=0\). Usando la definición de derivada, estudie la derivabilidad de \(f(x)\) en \(x=2\).

3A. Un poste de 3 metros de altura tiene en su punta un sensor que recoge datos meteorológicos. Dichos datos deben transmitirse a través de un cable a una estación de almacenamiento situada a 4 metros de la base del poste. El cable puede ser aéreo o terrestre, según vaya por el aire o por el suelo. El coste del cable es distinto según sea aéreo o terrestre. El metro de cable aéreo cuesta 3.000 euros y el metro de cable terrestre cuesta 1.000 euros. ¿Qué parte del cable debe ser aéreo y qué parte terrestre para que su coste sea mínimo?

3B. Sea \(f(x)=\frac{x^3}{(x-1)^2}\).

a) Determinar su dominio.

b) Calcular sus intervalos de crecimiento y decrecimiento.

c) Analizar sus puntos de inflexión.

4B. a) Calcular \(\lim_{x \to +\infty} \ln(x^2-9)\) y \(\lim_{x \to 3^+} \ln(x^2-9)\).

2A. Calcular:

a) \(\lim_{x \to -2} \frac{x+2}{x^2-4}\)

b) \(\lim_{x \to +\infty} \left(\frac{x+1}{x-1}\right)^x\)

3A. Sea la función \(f(x)=x\ln x+(1-x)\ln(1-x)\) con \(x \in (0,1)\).

a) Calcular sus extremos relativos.

b) Estudiar su crecimiento y decrecimiento y razonar si posee algún punto de inflexión.

2B. Sea \(f(x)=\frac{x^2}{4-x}\). Determinar:

a) Su dominio de definición.

b) Sus asíntotas.

c) Máximos y mínimos.

d) Intervalos de crecimiento y decrecimiento.

3B. Sea \(f(x)=\frac{x^3}{(x-1)^2}\).

a) Determinar su dominio.

b) Calcular sus intervalos de crecimiento y decrecimiento.

c) Analizar sus puntos de inflexión.

4B. a) Hallar la ecuación del plano que pasa por los puntos \(A(1,3,2)\), \(B(2,0,1)\) y es paralelo a la recta \(r \equiv \frac{x-1}{4}=\frac{y-2}{1}=\frac{z+1}{2}\).

b) En caso de que sea posible, escribir el vector \(\vec{v}=(1,2,4)\) como combinación lineal de los vectores \(\vec{a}=(1,0,1)\), \(\vec{b}=(1,1,0)\) y \(\vec{c}=(0,1,1)\).

2A. a) Utilizar el cambio de variable \(t^3=1-x\) para calcular el límite \(\lim_{x \to 0} \frac{(1-x)^{1/3}-1}{x}\).

b) Estudiar la continuidad de \(f(x)=\begin{cases}x^2+1 & x<1 \\ 1-x & x \geq 1\end{cases}\) y obtener \(\int_{-1/2}^{1/2} f(x)\, dx\).

3A. Sea la función \(f(x)=x\ln x+(1-x)\ln(1-x)\) con \(x \in (0,1)\).

a) Calcular sus extremos relativos.

b) Estudiar su crecimiento y decrecimiento y razonar si posee algún punto de inflexión.

2B. El número de socios de una ONG viene dado por \(n(x)=2x^3-15x^2+24x+26\), donde \(x\) indica el número de años desde su fundación.

a) Calcular el número de socios iniciales en el momento fundacional y en el quinto año.

b) ¿En qué año ha habido el menor número de socios? ¿Cuántos fueron?

c) El cuarto año se produjo un cambio en la junta directiva, ¿influyó en el ascenso o descenso del número de socios?

3B. Sea \(f(x)=\frac{x}{1-\sqrt{1+x}}\) una función definida en \([-1,+\infty)\).

a) ¿Cuánto debe valer \(f(0)\) para asegurar que \(f(x)\) es continua en su dominio? Calcular \(\int_{1}^{2} \frac{f(x)}{1+\sqrt{1+x}}\, dx\).

b) Para \(G(x)=\int_{1}^{x} \frac{f(t)}{1+\sqrt{1+t}}\, dt\), calcular \(G'(x)\).

2A. Calcular los valores de a y b para que la función \(f(x)=\frac{x}{a-x}\) tenga como asíntota vertical la recta x = 2 y como asíntota horizontal la recta y = 3. Razonar si para a = 2 y \(b=\frac{3}{2}\) la función f(x) tiene algún mínimo relativo.

3A. a) Utilizando el cambio de variable \(t=e^x\), calcular \(\int \frac{x+e^x}{x} \cdot dx\).

b) Calcular \(\lim_{x \to 0} \frac{\sin x}{x^2}\).

2B. La función \(f:[0, \infty) \rightarrow R\) definida por \(f(x)=\left\{\begin{array}{cc}\sqrt{a x} & \text{ si } 0 \leq x \leq 8 \\ \frac{x^2-32}{x-4} & \text{ si } x>8\end{array}\right.\) es continua en \([0, \infty)\).

a) Hallar el valor de a que hace que esta afirmación sea cierta.

b) Calcular \(I=\int_{0}^{10} f(x) \cdot dx\).

3B. Descomponer el número 8 en dos sumandos positivos de manera que la suma del cuadrado del primer sumando más el cuadrado del segundo sea mínima.

3A. Sea la función \(f(x)=e^x \cdot \sin x\). Determinar sus extremos y sus puntos de inflexión en el intervalo \([-\pi, \pi]\).

4A. Sea \(\Omega\) la región del plano acotada encerrada entre las parábolas \(f(x)=x^2+2x+4\) y \(g(x)=2x^2-x+6\).

a) Hallar la superficie de \(\Omega\).

b) Razonar (no valen comprobaciones con la calculadora) cuál de las dos parábolas está en la parte inferior de la región de \(\Omega\).

3B. Calcular razonadamente el límite de la sucesión \(a_n=\frac{(n-2)^2}{(n+1)^3-(n-1)^3}\).

4B. Determinar el área encerrada por la gráfica de la función \(f(x)=x^2 \cdot \sin x\) y el eje de abscisas entre el origen de coordenadas y el primer punto positivo donde f se anula.

3A. Sea la función \(f(x)=\frac{4x+\sin(2x)}{\sin(3x)}\). Determinar el dominio de f e indicar si f tiene límite finito en algún punto que no sea del dominio.

4A. Calcular los extremos y los puntos de inflexión de la función \(f(x)=e^x \cdot \sin x\) en el intervalo \([0,2\pi]\).

3B. Queremos construir un marco rectangular que encierre una superficie de un metro cuadrado. Sabemos que el coste de cada centímetro en los lados horizontales es de 2 euros, mientras que en los lados verticales es de 8 euros. Determinar las dimensiones que hemos de elegir para que el marco nos resulte lo más barato posible.

4B. Sea la función \(f(x)=x \cdot \sin(2x)\). Calcular la integral de esta función entre \(x=0\) y su primer cero positivo. (Nota: Llamamos ceros de una función a aquellos puntos donde se anula)

3A. Descomponer el número e en dos sumandos positivos de forma que la suma de los logaritmos neperianos de los sumandos sea máxima. Calcular dicha suma.

4A. Calcular el área encerrada entre las gráficas de la recta \(y=x+2\) y la parábola \(y=x^2\).

3B. Sea el polinomio \(P(x)=x^3+ax^2+bx+c\).

a) Determinar los coeficientes a, b y c sabiendo que tiene extremos en \(x=1\) y \(x=-1\) y que pasa por el origen de coordenadas.

b) Estudiar la naturaleza de ambos extremos.

4B. Sea la parábola \(f(x)=x^2-6x+9\).

a) Probar que es tangente a uno de los ejes de coordenadas, indicando cuál.

b) Calcular el área encerrada entre la gráfica de la parábola y los dos ejes coordenados.

3A. Tenemos que hacer dos chapas cuadradas de dos distintos materiales. Los dos materiales tienen precios respectivos de 2 y 3 euros por centímetro cuadrado. ¿Cómo hemos de elegir los lados de los cuadrados si queremos que el coste total sea mínimo y si además nos piden que la suma de los perímetros de los dos cuadrados ha de ser de un metro?

4A. Calcular el área encerrada entre la gráfica de la función exponencial \(f(x)=e^x\) y la cuerda a la misma que une los puntos de abscisas \(x=-1\) y \(x=1\).

3B. Sea la función \(f(x)=x \cdot \sin x\). Determinar:

a) El área encerrada entre su gráfica y el eje de abscisas entre \(x=0\) y \(x=\pi\).

b) El área encerrada entre la tangente en \(x=\pi\) y los ejes coordenados.

4B. Sea la función \(f(x)=e^x \cdot \sin x\). Determinar:

a) El máximo de la función en el intervalo \((0, \pi)\).

b) Ecuación de las tangentes a la gráfica en los extremos del intervalo anterior.

3A. Determinar el dominio, ceros y extremos de la función \(f(x)=x \cdot \ln x\).

4A. Sea la parábola \(y=x^2-4x+3\).

a) Determinar los puntos de corte de la parábola con los ejes coordenados.

b) Calcular el área encerrada entre la parábola y el eje de abscisas.

c) Calcular el área encerrada entre la parábola y el eje de ordenadas.

3B. Sea la función \(f(x)=x \cdot \sin x\) y sea t la recta tangente a su gráfica en \(x=\pi\). Determinar:

a) La ecuación de t.

b) El área encerrada entre t y los ejes de coordenadas.

4B. Sea la función \(f(x)=\frac{x}{x^2+1}\).

a) Definir su dominio.

b) Calcular su límite en el infinito.

c) Determinar sus extremos.

d) Calcular el área encerrada por la gráfica de f entre las abscisas 0 y 1.

3A. Determinar un polinomio de tercer grado sabiendo que pasa por los puntos \(A(0,0)\) y \(B(-1,1)\) y que los dos son extremos, y analizar la naturaleza de ambos extremos si son máximos o mínimos.

4A. Sean las parábolas \(y_1=x^2-4x+13\) e \(y_2=2x^2-8x+16\).

a) Representar sus gráficas.

b) Calcular los puntos donde se cortan entre sí ambas parábolas.

c) Hallar la superficie encerrada entre las dos parábolas.

3B. Sea la parábola \(f(x)=ax^2+bx+c\). Determinar sus coeficientes sabiendo que:

a) Pasa por \(O(0,0)\) tangencialmente a la bisectriz del primer cuadrante.

b) Tiene un extremo en \(x=-0.5\).

c) Determinar la naturaleza del extremo anterior.

4B. Sea la función \(f(x)=x \cdot e^x\).

a) Calcular la ecuación de su tangente en el origen de coordenadas.

b) Determinar los extremos de la función f.

c) Hallar el área limitada por la curva, el eje X y la recta \(x=1\).

3A. Sea la función \(f(x)=x \cdot \cos x\).

a) ¿Tiene límite en \(+\infty\)? Justificar la respuesta.

b) Calcular la integral de f entre \(x=0\) y el primer cero positivo que tiene la función. Nota: Llamamos ceros de una función a aquellos puntos donde se anula.

4A. En un concurso se da a cada participante un alambre de dos metros de longitud para que doblándolo convenientemente hagan con el mismo un cuadrilátero con los cuatro ángulos rectos. Aquellos que lo logren reciben como premio tantos euros como decímetros cuadrados tenga la superficie del cuadrilátero construido. Calcular razonadamente la cuantía del máximo premio que se pueda obtener en este concurso.

3B. Sea la función \(f(x)=\left\{\begin{array}{cc}x^2+3x+1 & \text{ si } x<0 \\ \sin(\beta x)+\cos(\alpha x) & \text{ si } x \geq 0\end{array} \quad \forall x \in \mathbb{R}\right.\), se pide:

a) Determinar el valor de \(\beta\) para que f sea derivable en \(x=0\)

b) Calcular la integral de la función f sobre el intervalo \(\left(0, \frac{\pi}{3}\right)\).

Nota: Se entiende que la función f cuya integral se pide en la parte b) es la determinada previamente en la parte a). No obstante, si alguien no ha sabido calcular el valor de \(\beta\), debe integrar f dejando \(\beta\) como parámetro.

4B. Sea la función \(f(x)=\frac{1}{x+1}-\frac{4}{x-1}\). Se pide:

a) Determinar su dominio, es decir, el conjunto de puntos donde está definida.

b) Estudiar sus máximos y mínimos (si los tiene) en el intervalo \((-1,1)\), precisando si son absolutos o relativos respecto al intervalo indicado.

3A. Sea la función \(f(x)=x \cdot \cos x\).

a) ¿Tiene límite en \(+\infty\)? Justificar la respuesta.

b) Calcular la integral de f entre \(x=0\) y el primer cero positivo que tiene la función. Nota: Llamamos ceros de una función a aquellos puntos donde se anula.

4A. En un concurso se da a cada participante un alambre de dos metros de longitud para que doblándolo convenientemente hagan con el mismo un cuadrilátero con los cuatro ángulos rectos. Aquellos que lo logren reciben como premio tantos euros como decímetros cuadrados tenga la superficie del cuadrilátero construido. Calcular razonadamente la cuantía del máximo premio que se pueda obtener en este concurso.

3B. Sea la función \(f(x)=\left\{\begin{array}{cc}x^2+3x+1 & \text{ si } x<0 \\ \sin(\beta x)+\cos(\alpha x) & \text{ si } x \geq 0\end{array} \quad \forall x \in \mathbb{R}\right.\), se pide:

a) Determinar el valor de \(\beta\) para que f sea derivable en \(x=0\)

b) Calcular la integral de la función f sobre el intervalo \(\left(0, \frac{\pi}{3}\right)\).

Nota: Se entiende que la función f cuya integral se pide en la parte b) es la determinada previamente en la parte a). No obstante, si alguien no ha sabido calcular el valor de \(\beta\), debe integrar f dejando \(\beta\) como parámetro.

4B. Sea la función \(f(x)=\frac{1}{x+1}-\frac{4}{x-1}\). Se pide:

a) Determinar su dominio, es decir, el conjunto de puntos donde está definida.

b) Estudiar sus máximos y mínimos (si los tiene) en el intervalo \((-1,1)\), precisando si son absolutos o relativos respecto al intervalo indicado.

3A. Se sabe que la función \(f(x)=x^3+ax+b\) corta a su función derivada en \(x=1\) y que, además, en dicho punto f tiene un extremo.

a) Determinar los valores de a y b.

b) Determinar la naturaleza del extremo que f tiene en \(x=1\).

c) ¿Tiene f algún otro extremo?

4A. Sean las funciones \(f(x)=\log x-b\), \(g(x)=a\sqrt{x}+b\).

a) Determinar a y b para que ambas funciones sean tangentes entre sí al pasar por \(x=1\).

b) Determinar en qué puntos se anula cada una de estas funciones.

c) Determinar cuál es el dominio de la función \(h(x)=f(x) \cdot g(x)\).

3B. Sea la integral \(\int e^{2x} \cdot \sin e^x \cdot dx\).

a) Calcularla mediante el cambio \(e^x=t\).

b) Calcular la constante de integración para que la función integral pase por el origen de coordenadas.

4B. Sea la función \(f(x)=x \cdot |x-1|^2\).

a) Hallar los extremos y puntos de inflexión de la función.

b) Calcular el límite de f en \(+\infty\) y \(-\infty\).

3A. Sea f la función definida para todo número real x de modo que para los valores de x pertenecientes al intervalo \([-1,1]\) se tiene \(f(x)=(x+1)(x-1)^2\) y para los valores de x no pertenecientes a dicho intervalo \(f(x)=0\). Se pide:

a) Estudiar su continuidad y derivabilidad.

b) Hallar razonadamente su valor máximo, indicando el valor o valores de x en donde se alcanza.

4A. Hallar la función f definida en todo número real que verifica las dos condiciones siguientes: \(f'(x)=x^2e^x\) y su gráfica pasa por el punto \(P(0,2)\).

3B. Un pequeño islote dista un kilómetro de una costa rectilínea. Queremos instalar en dicho islote una señal luminosa que se ha de alimentar con un tendido eléctrico. La fuente de energía está situada en la costa en un punto distante un kilómetro del punto de la costa más próximo al islote. El coste del tendido submarino por unidad de longitud es \(\frac{5}{3}\) del tendido en tierra. ¿A qué distancia de la fuente de energía debe empezar el tendido submarino para conseguir un coste mínimo?

4B. Hallar el área del recinto limitado por las gráficas de las funciones \(y=2-x^4\) e \(y=x^2\).

3A. Hallar los valores de los coeficientes b, c y d para que la gráfica de la siguiente función: \(y=x^3+bx^2+cx+d\), corte al eje Y en el punto \(A(0,-1)\), pase por el punto \(B(2,3)\) y en este punto tenga tangente paralela al eje X. Una vez hallados esos valores, hallar los máximos y mínimos relativos y los intervalos de crecimiento y decrecimiento de la citada función.

4A. Un rectángulo tiene por vértices los puntos de coordenadas \(O(0,0)\), \(A(a,0)\), \(B(a,b)\), \(C(0,b)\), de modo que el punto \(B(a,b)\) tiene coordenadas positivas y está situado en la curva de ecuación \(y=\frac{1}{x^2}+4\). De todos estos rectángulos, hallar razonadamente el de área mínima.

3B. Hallar el punto de la curva de ecuación \(y=x^3-3x^2+6x-4\) en el que la tangente a la misma tiene pendiente mínima. Escribir la ecuación de dicha tangente.

4B. Hallar todas las funciones f cuya derivada es \(f'(x)=\frac{x^4+x+1}{x^2+x}\), indicando el dominio de definición de éstas.

3A. De todos los prismas rectos de base cuadrada y tales que el perímetro de una cara lateral es de 30 cm, hallar las dimensiones (lado de la base y altura) del que tiene volumen máximo.

4A. Tenemos la función f definida para todo número real no negativo dada por:

\[f(x)=\left\{\begin{array}{cll}1 & \text{ si } & 0 \leq x \leq 1 \\ \frac{1}{x^2} & \text{ si } & x>1\end{array}\right.\]

Se pide su representación gráfica, hallar \(\int_{0}^{3} f(x) \cdot dx\) e interpretar geométricamente el resultado.

2B. Hallar \(\alpha\), b y c para que la función definida en R dada por \(f(x)=\left\{\begin{array}{cc}x-1 & \text{ si } x<2 \\ ax^2+bx+c & \text{ si } x \geq 2\end{array}\right.\) sea continua y derivable en todo x real y además alcance un extremo relativo para \(x=3\). Representar gráficamente la función \(f'\), analizando su continuidad y derivabilidad.

3B. Calcular \(I=\int \frac{x^2-x+1}{x^2-x-2} \cdot dx\).

3A. Hallar los valores de las constantes a, b y c para que las gráficas de las funciones \(f(x)=x^2+ax+b\) y \(g(x)=x^3+c\) pasen por el punto A(1,2) y en este punto tengan la misma tangente.

4A. Un triángulo isósceles tiene 10 cm de base (que es el lado desigual) y 20 cm de altura. Se inscribe en este triángulo un rectángulo, uno de cuyos lados se apoya en la base del triángulo. Hallar las dimensiones del rectángulo así construido y que tenga la mayor área posible.

2B. Se considera la función \(f(x)=\frac{|x-1|}{x}\).

a) Estudiar su continuidad y derivabilidad cuando x = 1.

b) ¿Alcanza para dicho valor de x un máximo o mínimo relativo?

c) Si la respuesta a la pregunta anterior es afirmativa, se pregunta si el extremo en cuestión es absoluto.

3B. Haciendo el cambio de variable \(u=e^x\), calcular \(I=\int \frac{e^x}{e^{2x}-1} \cdot dx\).