Ejercicio 2. (2,5 puntos)

Considera el plano \(\pi\), determinado por los puntos \(A(-1, 0, 0)\), \(B(0, 1, 1)\) y \(C(2, 1, 0)\), y la recta \[r \equiv \left\{ \begin{array}{ll} x - 2z - 3 = 0 \\ y - z - 2 = 0 \end{array} \right.\]

Halla los puntos de \(r\) cuya distancia a \(\pi\) es \(\sqrt{14}\) unidades.

Ejercicio 3. (2,5 puntos)

Considera el paralelogramo cuyos vértices consecutivos son los puntos \(P(-1, 2, 3)\), \(Q(-2, 1, 0)\), \(R(0, 5, 1)\) y \(S\).

a) [1 punto] Halla las coordenadas del punto \(S\).

b) [1,5 puntos] Calcula la ecuación de la recta que pasa por el origen de coordenadas y es perpendicular al plano que contiene a los puntos \(P\), \(Q\) y \(R\).

Ejercicio 7. (2,5 puntos)

Considera el plano \(\pi \equiv x - 2y + z - 2 = 0\) y la recta \(r \equiv \left\{ \begin{array}{ll} x = 1 + 2\lambda \\ y = \lambda \\ z = 1 \end{array} \right. \quad \lambda \in \mathbb{R}\).

a) [1 punto] Estudia la posición relativa de \(\pi\) y \(r\).

b) [1,5 puntos] Calcula la ecuación de la recta contenida en \(\pi\) que pasa por el punto \(P(2, -1, -2)\) y es perpendicular a \(r\).

Ejercicio 8. (2,5 puntos)

Considera los puntos \(A(4, 0, 0)\) y \(B(0, 2, 0)\). Calcula los puntos del plano \(OXZ\) que forman un triángulo equilátero con \(A\) y \(B\).

Ejercicio 7. (2,5 puntos)

a) [1,25 puntos] Halla el punto simétrico de \(P(2, 2, 1)\) respecto de la recta \(r \equiv \left\{ \begin{array}{ll} x - 2y + z = 2 \\ y - z = 1 \end{array} \right.\)

b) [1,25 puntos] Halla el punto simétrico de \(Q(1, -1, -3)\) respecto del plano \(\pi \equiv x - 2y + z + 6 = 0\).

Ejercicio 8. (2,5 puntos)

Considera las rectas \(r \equiv \left\{ \begin{array}{ll} y = 0 \\ 2x - z = 0 \end{array} \right.\) y \(s \equiv \left\{ \begin{array}{ll} x + y + 7 = 0 \\ z = 0 \end{array} \right.\)

a) [1 punto] Estudia la posición relativa de \(r\) y \(s\).

b) [1,5 puntos] Calcula la ecuación del plano paralelo a \(r\) y \(s\) que equidista de ambas rectas.

Ejercicio 7. (2,5 puntos)

Considera la recta \(r \equiv \frac{x + 1}{2} = \frac{y - 2}{2} = 3 - z\) y el punto \(P(0, 2, -4)\).

a) [1,25 puntos] Calcula el punto de \(r\) a menor distancia de \(P\).

b) [1,25 puntos] Halla los puntos de \(r\) cuya distancia a \(P\) sea igual a \(\sqrt{50}\).

Ejercicio 8. (2,5 puntos)

Sea \(\pi_1\) el plano determinado por los puntos \(A(1, 0, 0)\), \(B(1, 1, -3)\) y \(C(0, 1, 1)\), y sea \(\pi_2 \equiv x - y + z - 1 = 0\).

Determina la ecuación de la recta paralela a ambos planos que pasa por el origen.

Ejercicio 7. (2,5 puntos)

Considera las rectas \(r \equiv x = y + a = \frac{z + 1}{2}\) y \(s \equiv \left\{ \begin{array}{ll} x - 2y = 3a \\ x + z = 2 \end{array} \right.\)

a) [1,25 puntos] Calcula \(a\) para que las rectas se corten.

b) [1,25 puntos] Para \(a = -1\), halla la recta que corta perpendicularmente a \(r\) y \(s\).

Ejercicio 8. (2,5 puntos)

Considera los vectores \(\vec{u} = (1, a, 2)\) y \(\vec{v} = (-2, 1, a)\).

a) [1 punto] Calcula \(a\) para que ambos vectores formen un ángulo de \(\pi/3\) radianes.

b) [1,5 puntos] Calcula \(a\) para que el vector \((\vec{u} \times \vec{v}) - \vec{v}\) sea ortogonal a \(\vec{u}\).

Ejercicio 7. (2,5 puntos)

Considera los puntos \(P(1, 0, 1)\) y \(Q(3, -2, 1)\).

a) [1 punto] Calcula el plano perpendicular al segmento \(PQ\) que pasa por su punto medio.

b) [1,5 puntos] Calcula el plano paralelo a la recta \(r \equiv 1 - x = \frac{y - 2}{3} = z + 1\) que pasa por \(P\) y \(Q\).

Ejercicio 8. (2,5 puntos)

Considera los puntos \(A(1, 1, 2)\), \(B(1, 0, 1)\) y \(C(1, -1, 2)\).

a) [1,25 puntos] Determina el área del triángulo de vértices \(A\), \(B\) y \(C\).

b) [1,25 puntos] Calcula \(D\) para que los puntos \(A\), \(B\), \(C\) y \(D\) sean los vértices consecutivos de un paralelogramo.

Ejercicio 7. (2,5 puntos)

Considera el plano \(\pi \equiv x - y = 0\) y la recta \(r \equiv \frac{x - 1}{2} = \frac{y}{3} = z - 2\).

a) [1,25 puntos] Calcula, si es posible, el plano perpendicular a \(\pi\) que contiene a \(r\).

b) [1,25 puntos] Calcula, si es posible, la recta perpendicular a \(r\), contenida en \(\pi\) y que pasa por el origen.

Ejercicio 8. (2,5 puntos)

Considera los puntos \(O(0, 0, 0)\), \(A(a, -1, 2)\) y \(B(a, 1, 0)\).

a) [1,5 puntos] Determina \(a\) para que el triángulo \(OAB\) tenga área 3 unidades cuadradas.

b) [1 punto] Calcula \(a\) para que \(O\), \(A\) y \(B\) sean coplanarios con el punto \(C(1, 1, 0)\).

Ejercicio 7. (2,5 puntos)

Considera los planos \(\pi_1 \equiv x - y + z = 0\) y \(\pi_2 \equiv x + y = 2\).

a) [1,5 puntos] Calcula la distancia entre la recta intersección de \(\pi_1\) y \(\pi_2\) y el punto \(P(2, 6, -2)\).

b) [1 punto] Halla el ángulo que forman \(\pi_1\) y \(\pi_2\).

Ejercicio 8. (2,5 puntos)

Calcula el volumen del tetraedro que limita el plano determinado por los puntos \(A(0, 2, -2)\), \(B(3, 2, 1)\) y \(C(2, 3, 2)\) con los planos cartesianos.

Ejercicio 7. (2,5 puntos)

El plano perpendicular al segmento de extremos \(P(0, 3, 8)\) y \(Q(2, 1, 6)\) que pasa por su punto medio corta a los ejes coordenados en los puntos \(A\), \(B\) y \(C\). Halla el área del triángulo cuyos vértices son los puntos \(A\), \(B\) y \(C\).

Ejercicio 8. (2,5 puntos)

Considera el punto \(A(-1, 1, 3)\) y la recta \(r\) determinada por los puntos \(B(2, 1, 1)\) y \(C(0, 1, -1)\).

a) [1,5 puntos] Halla la distancia del punto \(A\) a la recta \(r\).

b) [1 punto] Calcula el área del triángulo cuyos vértices son \(A\), \(B\) y \(C\).

Ejercicio 7. (2,5 puntos)

Considera los puntos \(A(1, -2, 3)\) y \(B(2, 0, -1)\).

a) [1,5 puntos] Halla los puntos que dividen el segmento \(AB\) en cuatro partes iguales.

b) [1 punto] Determina la ecuación del plano perpendicular al segmento \(AB\) que pasa por el punto medio de dicho segmento.

Ejercicio 8. (2,5 puntos)

Considera el plano \(\pi \equiv x + y + z = 0\) y la recta \(r \equiv x - 1 = \frac{y}{2} = \frac{z + 1}{2}\). Halla la ecuación de un plano \(\pi'\), paralelo a \(\pi\), tal que si \(Q\) y \(Q'\) son respectivamente los puntos de corte de la recta \(r\) con los planos \(\pi\) y \(\pi'\), entonces la distancia entre \(Q\) y \(Q'\) sea de 2 unidades.

Ejercicio 7. (2,5 puntos)

Considera el plano \(\pi\), determinado por los puntos \(A(-1, 0, 0)\), \(B(0, 1, 1)\) y \(C(2, 1, 0)\), y la recta \[r \equiv \left\{ \begin{array}{ll} x - 2z - 3 = 0 \\ y - z - 2 = 0 \end{array} \right.\]

Halla los puntos de \(r\) cuya distancia a \(\pi\) es \(\sqrt{14}\) unidades.

Ejercicio 8. (2,5 puntos)

Considera el paralelogramo cuyos vértices consecutivos son los puntos \(P(-1, 2, 3)\), \(Q(-2, 1, 0)\), \(R(0, 5, 1)\) y \(S\).

a) [1 punto] Halla las coordenadas del punto \(S\).

b) [1,5 puntos] Calcula la ecuación de la recta que pasa por el origen de coordenadas y es perpendicular al plano que contiene a los puntos \(P\), \(Q\) y \(R\).

Ejercicio 7. (2,5 puntos)

Determina el punto simétrico de A(2, −4, −3) con respecto al plano que contiene a los puntos B(1, 1, 2), C(0, 1/3, 1) y D(−3, 0, 3).

Ejercicio 8. (2,5 puntos)

Dados los puntos O(0, 0, 0), A(2, −1, 0), B(3, 0, x) y C(−x, 1, −1), los vectores \(\overrightarrow{OA}\), \(\overrightarrow{OB}\) y \(\overrightarrow{OC}\) determinan un paralelepípedo.

a) [1,5 puntos] Calcula los posibles valores de x sabiendo que el volumen del paralelepípedo es 5 unidades cúbicas.

b) [1 punto] Para x = 1, halla el área de la cara del paralelepípedo que contiene a los vértices O, A y B.

Ejercicio 7. (2,5 puntos)

Determina los puntos de la recta r \(\equiv \begin{cases} x - y + z = 0 \\ x + 3y - 1 = 0 \end{cases}\) que son equidistantes de los planos cartesianos OYZ y OXZ.

Ejercicio 8. (2,5 puntos)

Considera la recta r \(\equiv \begin{cases} x - y + z = 1 \\ 3x - 2z = -2 \end{cases}\)

a) [1.5 puntos] Determina la ecuación del plano paralelo a r que contiene a la recta \(-x + 1 = y = \frac{z - 3}{2}\).

b) [1 punto] Calcula la distancia entre la recta r y el plano 2x + 5y + 3z = 41.

Ejercicio 7. (2,5 puntos)

Considera las rectas r \(\equiv x + 1 = y - a = -z\) y s \(\equiv \begin{cases} x = 5 + 2\lambda \\ y = -3 \\ z = 2 - \lambda \end{cases}\)

a) Calcula a para que r y s se corten. Determina dicho punto de corte. (1,5 puntos)

b) Halla la ecuación del plano que pasa por P(8, -7, 2) y que contiene a la recta s. (1 punto)

Ejercicio 8. (2,5 puntos)

Sean el plano π \(\equiv x + y - z = 2\) y la recta r \(\equiv x = \frac{y}{3} = z - 1\).

a) Calcula, si existe, el punto de intersección de π y r. (0,75 puntos)

b) Dado el punto Q(2, 6, 3), halla su simétrico respecto del plano π. (1,75 puntos)

Ejercicio 7. (2,5 puntos)

Se consideran los vectores \(\vec{u} = (-1, 2, 3)\) y \(\vec{v} = (2, 0, -1)\), así como el punto A(-4, 4, 7).

a) Calcula a y b para que el vector \(\vec{w} = (1, a, b)\) sea ortogonal a \(\vec{u}\) y \(\vec{v}\). (0,75 puntos)

b) Determina los cuatro vértices de un paralelogramo cuyos lados tienen las direcciones de los vectores \(\vec{u}\) y \(\vec{v}\), y que tiene al vector \(\overrightarrow{OA}\) como una de sus diagonales, siendo O el origen de coordenadas. (1,75 puntos)

Ejercicio 8. (2,5 puntos)

Considera la recta r \(\equiv x - 2 = \frac{y}{-1} = \frac{z - 1}{2}\), así como la recta s determinada por el punto P(1, 2, 3) y el vector director \(\vec{v} = (1 + a, -a, 3a)\).

a) Calcula a para que las rectas r y s se corten. (1,5 puntos)

b) Calcula a para que las rectas r y s sean perpendiculares. (1 punto)

Ejercicio 7. (2,5 puntos)

Considera las rectas r \(\equiv \begin{cases} x = 0, \\ z = 0, \end{cases}\) y s \(\equiv \begin{cases} x + y = 1, \\ x - y = 1. \end{cases}\)

a) Determina la ecuación del plano que contiene a r y es paralelo a s. (1,5 puntos)

b) Determina la ecuación del plano que contiene a r y es perpendicular a s. (1 punto)

Ejercicio 8. (2,5 puntos)

Considera los planos \(\pi_1 \equiv x + y + 2 = 0\) y \(\pi_2 \equiv x - z - 1 = 0\), así como la recta r \(\equiv \begin{cases} 2x + z = 1 \\ y = 1 \end{cases}\)

a) Calcula los puntos de la recta r que equidistan de los planos \(\pi_1\) y \(\pi_2\). (1,5 puntos)

b) Halla el ángulo que forman los planos \(\pi_1\) y \(\pi_2\). (1 punto)

Ejercicio 7. (2,5 puntos)

Considera el plano \(\pi \equiv x + y + z = 0\) y la recta r \(\equiv \begin{cases} x = \lambda \\ y = 1 - \lambda \\ z = 0 \end{cases}\)

a) Determina la ecuación del plano perpendicular a \(\pi\) que contiene a r. (1,25 puntos)

b) Calcula la distancia entre r y \(\pi\). (1,25 puntos)

Ejercicio 8. (2,5 puntos)

Sean los planos \(\pi_1 \equiv 2x + y + z - 3 = 0\), \(\pi_2 \equiv x + 2y - z + 5 = 0\) y la recta r \(\equiv x - 1 = \frac{y}{2} = \frac{z + 1}{5}\).

a) Halla los puntos de r que equidistan de \(\pi_1\) y \(\pi_2\). (2 puntos)

b) Halla el seno del ángulo que forma el plano \(\pi_1\) con la recta r. (0,5 puntos)

Ejercicio 7. (2,5 puntos)

Considera el triángulo cuyos vértices son los puntos A(0, 2, 3), B(m, 0, 1) y C(2, 1, 2).

a) Halla los valores de m, sabiendo que el área del triángulo es \(\frac{\sqrt{18}}{2}\) unidades cuadradas. (1,5 puntos)

b) Para m = 0, calcula el coseno del ángulo en el vértice A de dicho triángulo. (1 punto)

Ejercicio 8. (2,5 puntos)

Considera el punto P(2, 0, -4) y el plano \(\pi \equiv \begin{cases} x = 9\alpha + 3\beta \\ y = -1 + 2\alpha \\ z = 3 + 4\alpha + \beta \end{cases}\)

a) Halla el punto simétrico del punto P respecto del plano \(\pi\). (1,75 puntos)

b) Calcula la distancia del punto P al plano \(\pi\). (0,75 puntos)

Ejercicio 7. (2,5 puntos)

Sea el plano \(\pi \equiv 2x + y - 2z - 2 = 0\).

a) Halla las ecuaciones de los planos paralelos a \(\pi\) que distan 2 unidades de dicho plano. (1,5 puntos)

b) Calcula el volumen del tetraedro cuyos vértices son el origen de coordenadas y los puntos de corte del plano \(\pi\) con los ejes coordenados. (1 punto)

Ejercicio 8. (2,5 puntos)

Considera las rectas r \(\equiv x = 1 - y = z\) y s \(\equiv \begin{cases} x + y - 3z = 4 \\ 3x - y + z = -2 \end{cases}\)

a) Estudia la posición relativa de r y s. (1,5 puntos)

b) Calcula la ecuación del plano que contiene a s y es paralelo a r. (1 punto)

Ejercicio 7 (2.5 puntos)

La recta perpendicular desde el punto A(1, 1, 0) a un cierto plano \(\pi\) corta a éste en el punto B \(\left(1, \frac{1}{2}, \frac{1}{2}\right)\).

a) Calcula la ecuación del plano \(\pi\). (1.5 puntos)

b) Halla la distancia del punto A a su simétrico respecto a \(\pi\). (1 punto)

Ejercicio 8 (2.5 puntos)

Considera las rectas r \(\equiv \begin{cases} x = 3 + \lambda \\ y = 1 \\ z = -3 - \lambda \end{cases}\) y s \(\equiv \begin{cases} x + y = 1 \\ z = 0 \end{cases}\)

a) Estudia la posición relativa de r y s. (1.25 puntos)

b) Halla la recta que corta perpendicularmente a r y a s. (1.25 puntos)

Ejercicio 7 (2.5 puntos)

Considera las rectas r \(\equiv \begin{cases} 2x - 3y + z - 2 = 0 \\ -3x + 2y + 2z + 1 = 0 \end{cases}\) y s \(\equiv \begin{cases} x = 3 - 2\lambda \\ y = -1 + \lambda \\ z = -2 + 2\lambda \end{cases}\)

a) Calcula el plano perpendicular a la recta s que pasa por el punto P(1, 0, -5). (1.5 puntos)

b) Calcula el seno del ángulo que forma la recta r con el plano \(\pi \equiv -2x + y + 2z = 0\). (1 punto)

Ejercicio 8 (2.5 puntos)

La recta r \(\equiv \frac{x + 3}{2} = \frac{y + 4}{2} = \frac{z - 3}{3}\) y la recta s, que pasa por los puntos P(1, 0, 2) y Q(a, 1, 0), se cortan en un punto. Calcula el valor de a y el punto de corte.

Ejercicio 7 (2.5 puntos)

Considera el punto P(1, 2, 6) y el plano \(\pi \equiv 2x - y + z = 0\).

a) Halla las ecuaciones de los planos paralelos a \(\pi\) cuya distancia a éste sea \(\sqrt{6}\) unidades. (1.25 puntos)

b) Halla el simétrico del punto P respecto al plano \(\pi\). (1.25 puntos)

Ejercicio 8 (2.5 puntos)

Considera los puntos B(-1, 0, -1), C(0, 1, -3) y la recta r \(\equiv \begin{cases} x = -\lambda \\ y = 1 + 2\lambda \\ z = -1 + \lambda \end{cases}\)

a) Calcula un punto que esté en r y equidiste de B y C. (1.25 puntos)

b) Siendo D(1, -1, -2), calcula el área del triángulo con vértices en los puntos B, C y D. (1.25 puntos)

Ejercicio 7 (2.5 puntos)

Considera el punto P(1, 0, 1) y el plano \(\pi \equiv x - y + z + 1 = 0\).

a) Halla el simétrico del punto P respecto al plano \(\pi\). (1.25 puntos)

b) Halla la distancia del punto P al plano \(\pi\). (1.25 puntos)

Ejercicio 8 (2.5 puntos)

Considera las rectas r \(\equiv \frac{x - 2}{-2} = y - 1 = \frac{z}{-2}\) y s \(\equiv \begin{cases} x + 2y = 3 \\ 2y + z = 2 \end{cases}\)

a) Estudia la posición relativa de r y s. (1.25 puntos)

b) Calcula, si es posible, el plano que contiene a r y a s. (1.25 puntos)

Ejercicio 7 (2.5 puntos)

Considera las rectas r \(\equiv \frac{x}{1} = \frac{y + 2}{2} = \frac{z - 1}{1}\) y s \(\equiv \begin{cases} x - y + z = 2 \\ 3x - y - z = -4 \end{cases}\)

Sabiendo que dos de los lados de un cuadrado están en las rectas r y s, calcula su área.

Ejercicio 8 (2.5 puntos)

Considera las rectas r \(\equiv \begin{cases} x = 1 + \lambda \\ y = 1 + \lambda \\ z = 2 + m\lambda \end{cases}\) y s \(\equiv \begin{cases} x - y + 2z = 3 \\ x + z = 2 \end{cases}\)

a) Estudia la posición relativa de r y s según los valores de m. (1.5 puntos)

b) Para m = 1, calcula el coseno del ángulo que forman las rectas r y s. (1 punto)

Ejercicio 7 (2.5 puntos)

Considera las rectas r \(\equiv \begin{cases} x = 2 + 3\lambda \\ y = -1 + 2\lambda \\ z = 3 + \lambda \end{cases}\) y s \(\equiv \begin{cases} 2x - y - 2 = 0 \\ y + 2z - 4 = 0 \end{cases}\)

a) Halla el plano que contiene a r y es paralelo a s. (1.5 puntos)

b) Deduce razonadamente que ningún plano perpendicular a s contiene a r. (1 punto)

Ejercicio 8 (2.5 puntos)

Considera los puntos A(1, 2, 3), B(-2, 4, -3) y C(-10, 1, 0).

a) Halla el área del triángulo de vértices A, B y C. (1.25 puntos)

b) Halla el plano que equidista de A y B. (1.25 puntos)

Ejercicio 4. (2,5 puntos)

Considera el plano \(\pi \equiv x - y + az = 0\) y la recta \(r \equiv \begin{cases} 4x - 3y + 4z = 1 \\ 3x - 2y + z = 0 \end{cases}\)

a) [1,5 puntos] Halla \(a\) sabiendo que \(\pi\) es paralelo a \(r\).

b) [1 punto] Determina el plano perpendicular a \(r\) que pasa por el punto \(P(1, 2, 3)\).

Ejercicio 8. (2,5 puntos)

Considera el plano \(\pi \equiv x - y + z = 2\) y la recta \(r \equiv \frac{x}{2} = \frac{y + 1}{1} = \frac{z + 2}{-1}\).

a) [1 punto] Calcula la distancia entre \(r\) y \(\pi\).

b) [1,5 puntos] Halla la ecuación general del plano perpendicular a \(\pi\) que contiene a \(r\).

Ejercicio 4. (2,5 puntos)

Siendo \(a \neq 0\), considera las rectas \[r \equiv x - 1 = y - 2 = \frac{z - 1}{a}\] y \[s \equiv \frac{x - 3}{-a} = \frac{y - 3}{-1} = \frac{z + 1}{2}\]

a) [1,25 puntos] Estudia la posición relativa de ambas rectas según los valores de \(a\).

b) [1,25 puntos] Para \(a = 2\), determina las ecuaciones de la recta que pasa por el punto de corte de \(r\) y \(s\) y es perpendicular a ambas.

Ejercicio 8. (2,5 puntos)

Se considera el punto \(A(1, -2, 0)\) y la recta \(r \equiv \begin{cases} x + y = 0 \\ y - 3z + 2 = 0 \end{cases}\)

a) [1,25 puntos] Calcula la ecuación del plano que pasa por \(A\) y es perpendicular a \(r\).

b) [1,25 puntos] Calcula la ecuación del plano que pasa por \(A\) y contiene a \(r\).

Ejercicio 4. (2,5 puntos)

Considera el tetraedro de vértices \(A(0, 0, 0)\), \(B(1, 1, 0)\), \(C(0, 1, 3)\) y \(D(1, 0, 3)\).

a) [1 punto] Calcula el volumen de dicho tetraedro.

b) [1,5 puntos] Calcula la medida de la altura trazada desde el vértice \(A\) de dicho tetraedro.

Ejercicio 8. (2,5 puntos)

Considera los puntos \(A(-1, 3, 2)\), \(B(2, -1, -1)\) y \(C(a - 2, 7, b)\).

a) [1,25 puntos] Determina \(a\) y \(b\) para que los puntos \(A\), \(B\) y \(C\) estén alineados.

b) [1,25 puntos] En el caso \(a = b = 1\), halla la recta que pasa por el origen de coordenadas y es perpendicular al plano que contiene a los puntos \(A\), \(B\) y \(C\).

Ejercicio 4. (2,5 puntos)

Considera el punto \(P(1, 0, -1)\) y la recta \(r \equiv \begin{cases} x - y + 2z = 5 \\ x - z = 1 \end{cases}\)

a) [1,5 puntos] Determina el punto simétrico de \(P\) respecto de la recta \(r\).

b) [1 punto] Calcula el punto de la recta \(r\) que dista \(\sqrt{6}\) unidades de \(P\).

Ejercicio 8. (2,5 puntos)

Considera los vectores \(\vec{u} = (2, 1, 0)\), \(\vec{v} = (1, 0, -1)\) y \(\vec{w} = (a, b, 1)\).

a) [1,5 puntos] Halla \(a\) y \(b\) sabiendo que los tres vectores son linealmente dependientes y que \(\vec{w}\) es ortogonal a \(\vec{u}\).

b) [1 punto] Para \(a = 1\), calcula el valor o valores de \(b\) para que el volumen del paralelepípedo formado por dichos vectores sea de 6 unidades cúbicas.

Ejercicio 4. (2,5 puntos)

Considera los puntos \(A(t, 2, -1)\), \(B(0, 1, 1)\), \(C(-1, 0, 2)\) y \(D(2, 3, -t-1)\).

a) [1,25 puntos] Calcula el valor o valores de \(t\) para que el volumen del tetraedro de vértices \(A\), \(B\), \(C\), \(D\) sea 5 unidades cúbicas.

b) [1,25 puntos] Para \(t = 0\), calcula la distancia del punto \(A\) a la recta determinada por los puntos \(B\) y \(C\).

Ejercicio 8. (2,5 puntos)

Considera el punto \(A(0, 1, -2)\) y los planos \(\pi_1 \equiv 2x - y - z + 5 = 0\) y \(\pi_2 \equiv x + 5y - 6z - 4 = 0\).

a) [1,5 puntos] Halla el punto simétrico de \(A\) respecto de \(\pi_1\).

b) [1 punto] Determina la recta que pasa por \(A\) y es paralela a \(\pi_1\) y \(\pi_2\).

Ejercicio 4. (2,5 puntos)

Considera los puntos \(A(1, 0, 1)\), \(B(-1, 0, 2)\) y \(O(0, 0, 0)\), y la recta \(r \equiv \begin{cases} x = -1 - \lambda \\ y = \lambda \\ z = 2 \end{cases}\)

a) [1,5 puntos] Calcula la distancia del punto \(A\) a la recta \(r\).

b) [1 punto] Determina el área del triángulo de vértices \(A\), \(B\) y \(O\).

Ejercicio 8. (2,5 puntos)

Considera el plano \(\pi \equiv 2x - y + z - 3 = 0\), la recta \(r \equiv \begin{cases} x = 3 + \lambda \\ y = 1 - 2\lambda \\ z = -2 - \lambda \end{cases}\) y el punto \(P(1, 1, 2)\).

a) [1,25 puntos] Determina la ecuación general del plano perpendicular a \(\pi\), paralelo a \(r\) y que pasa por el punto \(P\).

b) [1,25 puntos] Calcula el punto simétrico de \(P\) respecto de la recta \(r\).

Ejercicio 4.- [2,5 puntos]

Se consideran los vectores \(\vec{u} = (1, 2, 3)\), \(\vec{v} = (1, -2, -1)\) y \(\vec{w} = (2, \alpha, \beta)\), donde \(\alpha\) y \(\beta\) son números reales.

a) [0,75 puntos] Determina los valores de \(\alpha\) y \(\beta\) para los que \(\vec{w}\) es ortogonal a los vectores \(\vec{u}\) y \(\vec{v}\).

b) [0,75 puntos] Determina los valores de \(\alpha\) y \(\beta\) para los que \(\vec{w}\) y \(\vec{v}\) tienen la misma dirección.

c) [1 punto] Para \(\alpha = 8\), determina el valor de \(\beta\) para el que \(\vec{w}\) es combinación lineal de \(\vec{u}\) y \(\vec{v}\).

Ejercicio 4.- [2,5 puntos]

Considera las rectas \(r \equiv \frac{x - 2}{1} = \frac{y - k}{2} = \frac{z}{2}\) y \(s \equiv \frac{x + 1}{-1} = \frac{y - 1}{1} = \frac{z - 3}{1}\).

a) [1,5 puntos] Halla \(k\) sabiendo que ambas rectas se cortan en un punto.

b) [1 punto] Para \(k = 1\), halla la ecuación general del plano que contiene a \(r\) y es paralelo a \(s\).

Ejercicio 4.- [2,5 puntos]

Considera la recta \(r \equiv \frac{x - 2}{-1} = \frac{y - 2}{3} = \frac{z - 1}{1}\) y los planos \(\pi_1 \equiv x = 0\) y \(\pi_2 \equiv y = 0\).

a) [1,25 puntos] Halla los puntos de la recta \(r\) que equidistan de los planos \(\pi_1\) y \(\pi_2\).

b) [1,25 puntos] Determina la posición relativa de la recta \(r\) y la recta intersección de los planos \(\pi_1\) y \(\pi_2\).

Ejercicio 4.- [2,5 puntos]

Considera el triángulo cuyos vértices son los puntos \(A(1, 1, 0)\), \(B(1, 0, 2)\) y \(C(0, 2, 1)\).

a) [1,25 puntos] Halla el área de dicho triángulo.

b) [1,25 puntos] Calcula el coseno del ángulo en el vértice \(A\).

Ejercicio 4A. (2,5 puntos)

Considera el punto \(A(2, 1, 0)\) y los planos \(\pi_1 \equiv x + y + z = 0\) y \(\pi_2 \equiv x - y + z = 0\).

a) [1,25 puntos] Calcula la recta que pasa por \(A\) y es paralela a \(\pi_1\) y a \(\pi_2\).

b) [1,25 puntos] Calcula los puntos de la recta \(s \equiv \frac{x - 1}{2} = \frac{y - 2}{3} = \frac{z}{2}\) que equidistan de \(\pi_1\) y \(\pi_2\).

Ejercicio 4B. (2,5 puntos)

Considera los puntos \(A(0, 3, -1)\) y \(B(0, 1, a)\) y el plano \(\pi\) de ecuación \(x - y + z = 0\).

a) [0,75 puntos] Determina \(a\) sabiendo que la recta que pasa por \(A\) y por \(B\) es paralela al plano \(\pi\).

b) [0,75 puntos] Halla el punto de corte del plano \(\pi\) con la recta que pasa por \(A\) y es perpendicular a dicho plano.

c) [1 punto] Para \(a = 2\), halla el plano que contiene a los puntos \(A\) y \(B\) y es perpendicular al plano \(\pi\).

Ejercicio 4A. (2,5 puntos)

Sea \(r\) la recta que pasa por el punto \(P(2, -2, -1)\) con vector director \(\vec{v} = (k, 3 + k, -2k)\) y sea \(\pi\) el plano de ecuación \(-x + 2y + 2z - 1 = 0\).

a) [0,5 puntos] Calcula el valor de \(k\) para que \(r\) sea paralela a \(\pi\).

b) [0,5 puntos] Calcula el valor de \(k\) para que \(r\) sea perpendicular a \(\pi\).

c) [1,5 puntos] Para \(k = -1\), calcula los puntos de \(r\) que distan 3 unidades de \(\pi\).

Ejercicio 4B. (2,5 puntos)

Considera el punto \(P(-5, 3, 1)\) y la recta \(r \equiv \frac{x}{2} = \frac{y - 3}{2} = \frac{z - 2}{-1}\).

a) [1 punto] Calcula la ecuación general del plano que pasa por \(P\) y contiene a \(r\).

b) [1,5 puntos] Calcula la ecuación de la recta que pasa por \(P\) y corta perpendicularmente a \(r\).

Ejercicio 4A. (2,5 puntos)

Sea \(r\) la recta que pasa por el punto \(P(2, -2, -1)\) con vector director \(\vec{v} = (k, 3 + k, -2k)\) y sea \(\pi\) el plano de ecuación \(-x + 2y + 2z - 1 = 0\).

a) [0,5 puntos] Calcula el valor de \(k\) para que \(r\) sea paralela a \(\pi\).

b) [0,5 puntos] Calcula el valor de \(k\) para que \(r\) sea perpendicular a \(\pi\).

c) [1,5 puntos] Para \(k = -1\), calcula los puntos de \(r\) que distan 3 unidades de \(\pi\).

Ejercicio 4B. (2,5 puntos)

Considera el punto \(P(-5, 3, 1)\) y la recta \(r \equiv \frac{x}{2} = \frac{y - 3}{2} = \frac{z - 2}{-1}\).

a) [1 punto] Calcula la ecuación general del plano que pasa por \(P\) y contiene a \(r\).

b) [1,5 puntos] Calcula la ecuación de la recta que pasa por \(P\) y corta perpendicularmente a \(r\).

Ejercicio 4A. (2,5 puntos)

Considera la recta \(r \equiv \frac{x - 4}{2} = \frac{y}{1} = \frac{z - 1}{5}\) y el plano \(\pi \equiv 2x + y - z + 3 = 0\).

a) [1,25 puntos] Halla la ecuación general del plano perpendicular a \(\pi\) que contiene a \(r\).

b) [1,25 puntos] Calcula la distancia entre \(r\) y \(\pi\).

Ejercicio 4B. (2,5 puntos)

Se consideran los puntos \(A(0, -1, 3)\), \(B(2, 3, -1)\) y la recta \(r \equiv \frac{x + 2}{1} = \frac{y - 2}{2} = \frac{z - 3}{3}\).

a) [1,25 puntos] Halla un punto \(C\) de \(r\) de forma que el triángulo \(ABC\) sea rectángulo en \(A\).

b) [1,25 puntos] Calcula los puntos de \(r\) que equidistan de los puntos \(A\) y \(B\).

Ejercicio 4A. (2,5 puntos)

Considera las rectas \(r \equiv \frac{x + 1}{2} = \frac{y}{1} = \frac{z + 1}{3}\) y \(s \equiv \begin{cases} 2x - 3y = -5 \\ y - 2z = -1 \end{cases}\)

a) [1 punto] Estudia y determina la posición relativa de \(r\) y \(s\).

b) [1,5 puntos] Calcula la distancia entre \(r\) y \(s\).

Ejercicio 4B. (2,5 puntos)

Considera las rectas \(r \equiv \frac{x - 1}{2} = \frac{y + 1}{m} = z\) y \(s \equiv \begin{cases} x + nz = -2 \\ y - z = -3 \end{cases}\)

a) [1,5 puntos] Halla los valores de \(m\) y \(n\) para los que \(r\) y \(s\) se cortan perpendicularmente.

b) [1 punto] Para \(m = 3\) y \(n = 1\), calcula la ecuación general del plano que contiene a \(r\) y a \(s\).

Ejercicio 4A. (2,5 puntos)

Considera los puntos \(P(1, 0, -1)\), \(Q(2, 1, 1)\) y la recta \(r\) dada por \(x - 5 = y = \frac{z + 2}{-2}\)

a) [1,25 puntos] Determina el punto simétrico de \(P\) respecto de \(r\).

b) [1,25 puntos] Calcula el punto de \(r\) que equidista de \(P\) y \(Q\).

Ejercicio 4B. (2,5 puntos)

Considera el punto \(P(2, -1, 3)\) y el plano \(\pi\) de ecuación \(3x + 2y + z = 5\).

a) [1,75 puntos] Calcula el punto simétrico de \(P\) respecto de \(\pi\).

b) [0,75 puntos] Calcula la distancia de \(P\) a \(\pi\).

Ejercicio 4A. (2,5 puntos)

Sea \(r\) la recta que pasa por los puntos \(A(3, 6, 7)\) y \(B(7, 8, 3)\) y sea \(s\) la recta dada por \(\begin{cases} x - 4y - z = -10 \\ 3x - 4y + z = -2 \end{cases}\)

a) [1,25 puntos] Determina la posición relativa de \(r\) y \(s\).

b) [1,25 puntos] Calcula la distancia entre \(r\) y \(s\).

Ejercicio 4B. (2,5 puntos)

a) [1,25 puntos] Determina la ecuación del plano que pasa por el punto \(A(0, 1, 0)\) y es perpendicular a la recta \(r\) dada por \(x + 1 = \frac{y + 2}{2} = z - 1\).

b) [1,25 puntos] Calcula el área del triángulo cuyos vértices son los puntos de corte del plano de ecuación \(2x + 3y + 4z = 12\) con los ejes coordenados.

Ejercicio 4A. (2,5 puntos)

Se sabe que los puntos \(A(-1, 2, 6)\) y \(B(1, 4, -2)\) son simétricos respecto de un plano \(\pi\).

a) [0,75 puntos] Calcula la distancia de \(A\) a \(\pi\).

b) [1,75 puntos] Determina la ecuación general del plano \(\pi\).

Ejercicio 4B. (2,5 puntos)

Considera las rectas \(r\) y \(s\) dadas por \(r \equiv \begin{cases} x = 2t \\ y = 1 \\ z = 0 \end{cases}\) y \(s \equiv \begin{cases} x + y = 2 \\ z = 2 \end{cases}\)

a) [1,75 puntos] Determina la ecuación de la recta que corta perpendicularmente a \(r\) y a \(s\).

b) [0,75 puntos] Calcula la distancia entre las rectas dadas.

Ejercicio 4A. (2,5 puntos)

Considera el plano \(\pi\) de ecuación \(x + 2y + z = 6\).

a) [1 punto] Determina la recta perpendicular a \(\pi\) que pasa por el origen de coordenadas.

b) [0,5 puntos] Halla el punto simétrico del origen de coordenadas con respecto a \(\pi\).

c) [1 punto] Calcula el volumen del tetraedro determinado por el origen de coordenadas y los puntos de corte de \(\pi\) con los ejes de coordenadas.

Ejercicio 4B. (2,5 puntos)

Considera las rectas \(r\) y \(s\) dadas por \(r \equiv x - 2 = y - 2 = z\) y \(s \equiv \begin{cases} x = 4 + t \\ y = 4 + t \\ z = mt \end{cases}\)

a) [1 punto] Determina \(m\) para que \(r\) y \(s\) sean paralelas.

b) [0,5 puntos] Halla, si existe, un valor de \(m\) para el que ambas rectas sean la misma.

c) [1 punto] Para \(m = 1\), calcula la ecuación del plano que contiene a \(r\) y a \(s\).

Ejercicio 4A. (2,5 puntos)

Considera las rectas \(r\) y \(s\) dadas por \(r \equiv \begin{cases} x + y = z + 4 \\ x + 2y = 7 \end{cases}\) y \(s \equiv \begin{cases} x - 2 = 0 \\ y + 3 = 0 \end{cases}\)

a) [1 punto] Estudia y determina la posición relativa de \(r\) y \(s\).

b) [1,5 puntos] Determina la recta perpendicular común a \(r\) y a \(s\).

Ejercicio 4B. (2,5 puntos)

Considera los puntos \(A(2, -1, -2)\) y \(B(-1, -1, 2)\), y la recta \(r\) dada por \(x - 1 = \frac{y - 1}{-1} = \frac{z - 1}{2}\)

a) [1 punto] Determina los puntos del segmento \(AB\) que lo dividen en 3 segmentos de la misma longitud.

b) [1,5 puntos] Determina un punto \(C\) de \(r\) de forma que el triángulo \(ABC\) sea rectángulo en \(C\).

Ejercicio 4A. (2,5 puntos)

Los puntos \(A(1, 1, 1)\), \(B(2, 2, 2)\) y \(C(1, 3, 3)\) son vértices consecutivos del paralelogramo \(ABCD\).

a) [1 punto] Calcula el área del paralelogramo.

b) [1 punto] Halla la ecuación general del plano que contiene a dicho paralelogramo.

c) [0,5 puntos] Calcula las coordenadas del vértice \(D\).

Ejercicio 4B. (2,5 puntos)

Considera el punto \(P(0, 1, 1)\) y la recta \(r\) dada por \(\begin{cases} x - 2y = -5 \\ z = 2 \end{cases}\)

a) [1,25 puntos] Determina la ecuación del plano que pasa por \(P\) y contiene a \(r\).

b) [1,25 puntos] Halla las coordenadas del punto simétrico de \(P\) respecto de \(r\).

Ejercicio 4A. (2,5 puntos)

Considera el punto \(P(1, -1, 0)\) y la recta \(r\) dada por \(\begin{cases} x = 1 + 3t \\ y = -2 \\ z = t \end{cases}\)

a) [1,25 puntos] Determina la ecuación del plano que pasa por \(P\) y contiene a \(r\).

b) [1,25 puntos] Halla las coordenadas del punto simétrico de \(P\) respecto de \(r\).

Ejercicio 4B. (2,5 puntos)

Considera los vectores \(\vec{u} = (1, 0, 1)\), \(\vec{v} = (0, 2, 1)\) y \(\vec{w} = (m, 1, n)\).

a) [1,25 puntos] Halla \(m\) y \(n\) sabiendo que \(\vec{u}\), \(\vec{v}\) y \(\vec{w}\) son linealmente dependientes y que \(\vec{w}\) es ortogonal a \(\vec{u}\).

b) [1,25 puntos] Para \(n = 1\), halla los valores de \(m\) para que el tetraedro determinado por \(\vec{u}\), \(\vec{v}\) y \(\vec{w}\) tenga volumen 10 unidades cúbicas.

Ejercicio 4A. (2,5 puntos)

Considera los vectores \(\vec{u} = (2, 3, 4)\), \(\vec{v} = (-1, -1, -1)\) y \(\vec{w} = (-1, \lambda, -5)\) siendo \(\lambda\) un número real.

a) [1,25 puntos] Halla los valores de \(\lambda\) para los que el paralelepípedo determinado por \(\vec{u}\), \(\vec{v}\) y \(\vec{w}\) tiene volumen 6 unidades cúbicas.

b) [1,25 puntos] Determina el valor de \(\lambda\) para el que \(\vec{u}\), \(\vec{v}\) y \(\vec{w}\) son linealmente dependientes.

Ejercicio 4B. (2,5 puntos)

Sea \(r\) la recta que pasa por \(A(4, 3, 6)\) y \(B(-2, 0, 0)\) y sea \(s\) la recta dada por \(\begin{cases} x = 2 + \lambda \\ y = \lambda \\ z = 1 - 2\lambda \end{cases}\)

a) [1,25 puntos] Determina la posición relativa de \(r\) y \(s\).

b) [1,25 puntos] Calcula, si existen, los puntos \(C\) de \(s\) tales que los vectores \(\overrightarrow{CA}\) y \(\overrightarrow{CB}\) son ortogonales.

Ejercicio 4A. (2,5 puntos)

Considera las rectas dadas por \(r \equiv \begin{cases} x - y + 1 = 0 \\ x - z + 1 = 0 \end{cases}\) y \(s \equiv \begin{cases} x = 1 - t \\ y = t \\ z = 2 \end{cases}\)

a) [1,75 puntos] Determina la ecuación de la recta que corta perpendicularmente a \(r\) y a \(s\).

b) [0,75 puntos] Halla la distancia entre las rectas \(r\) y \(s\).

Ejercicio 4B. (2,5 puntos)

Considera los puntos \(A(1, 3, -1)\) y \(B(3, -1, -1)\).

a) [1,75 puntos] Determina la ecuación del plano respecto del cual \(B\) es el simétrico de \(A\).

b) [0,75 puntos] Siendo \(C(5, 1, 5)\), calcula el área del triángulo de vértices \(A\), \(B\) y \(C\).

Ejercicio 4A. (2,5 puntos)

Considera los puntos \(A(-1, -2, -1)\) y \(B(1, 0, 1)\).

a) [1,25 puntos] Determina la ecuación del plano respecto del cual los puntos \(A\) y \(B\) son simétricos.

b) [1,25 puntos] Calcula la distancia de \(P(-1, 0, 1)\) a la recta que pasa por los puntos \(A\) y \(B\).

Ejercicio 4B. (2,5 puntos)

Considera los puntos \(A(1, 1, 1)\), \(B(0, -2, 2)\), \(C(-1, 0, 2)\) y \(D(2, -1, -2)\).

a) [1 punto] Calcula el volumen del tetraedro de vértices \(A\), \(B\), \(C\) y \(D\).

b) [1,5 puntos] Determina la ecuación de la recta que pasa por \(D\) y es perpendicular al plano determinado por los puntos \(A\), \(B\) y \(C\).

Ejercicio 4A. (2,5 puntos)

Sea \(\pi\) el plano determinado por los puntos \(A(1, 0, 0)\), \(B(0, 1, 0)\) y \(C(0, 0, \lambda)\), siendo \(\lambda\) un número real, y sea \(r\) la recta dada por \(r \equiv \begin{cases} y - z = 3 \\ -x + 2y = 3 \end{cases}\)

a) [1,25 puntos] Halla la ecuación del plano que pasa por \(A\) y contiene a \(r\).

b) [1,25 puntos] Estudia la posición relativa de \(r\) y \(\pi\) según los valores de \(\lambda\).

Ejercicio 4B. (2,5 puntos)

Considera el punto \(P(-1, 0, 1)\), el vector \(\vec{u} = (1, 2, 1)\) y el plano \(\pi\) de ecuación \(y = 0\).

a) [1,25 puntos] Halla la ecuación de la recta que pasa por \(P\), está contenida en \(\pi\) y cuyo vector director es perpendicular a \(\vec{u}\).

b) [1,25 puntos] Determina la ecuación del plano que pasa por \(P\), es perpendicular a \(\pi\) y del que \(\vec{u}\) es un vector director.

Ejercicio 4A. (2,5 puntos)

Considera el punto \(A(1, -1, 1)\) y la recta \(r\) dada por \[ \begin{cases} x = 1 + 2\lambda \\ y = 1 - \lambda \\ z = 1 \end{cases} \]

a) [1,5 puntos] Calcula las coordenadas del punto simétrico de \(A\) respecto a \(r\).

b) [1 punto] Determina la ecuación del plano que contiene a \(r\) y pasa por \(A\).

Ejercicio 4B. (2,5 puntos)

Calcula la distancia entre las rectas dadas por las siguientes ecuaciones \[x = y = z \quad \text{y} \quad \begin{cases} x = 1 + \mu \\ y = 3 + \mu \\ z = -\mu \end{cases} \]

Ejercicio 4A. (2,5 puntos)

Considera el punto \(P(1, 0, 5)\) y la recta \(r\) dada por \[ \begin{cases} y + 2z = 0 \\ x = 1 \end{cases} \]

a) [1 punto] Determina la ecuación del plano que pasa por \(P\) y es perpendicular a \(r\).

b) [1,5 puntos] Calcula la distancia de \(P\) a la recta \(r\) y el punto simétrico de \(P\) respecto a \(r\).

Ejercicio 4B. (2,5 puntos)

Considera las rectas \(r\) y \(s\) dadas por \[ r \equiv \begin{cases} x = 1 + 2\lambda \\ y = 1 - \lambda \\ z = 1 \end{cases} \quad \text{y} \quad s \equiv \begin{cases} x + 2y = -1 \\ z = -1 \end{cases} \]

a) [1,5 puntos] Comprueba que ambas rectas son coplanarias y halla la ecuación del plano que las contiene.

b) [1 punto] Sabiendo que dos de los lados de un cuadrado están en las rectas \(r\) y \(s\), calcula su área.

Ejercicio 4A. (2,5 puntos)

Considera el paralelogramo de vértices consecutivos \(A\), \(B\), \(C\) y \(D\) siendo \(A(1,0,-1)\), \(B(3,2,1)\) y \(C(-7,1,5)\).

a) [0,75 puntos] Determina las coordenadas del punto \(D\).

b) [1 punto] Calcula el área del paralelogramo.

c) [0,75 puntos] Halla la ecuación general del plano que contiene al paralelogramo.

Ejercicio 4B. (2,5 puntos)

Considera el punto \(P(1,0,-1)\) y el plano \(\pi\) de ecuación \(2x - y + z + 1 = 0\).

a) [1,5 puntos] Halla el simétrico del punto \(P\) respecto del plano \(\pi\).

b) [1 punto] Determina la ecuación del plano que contiene al punto \(P\), es perpendicular al plano \(\pi\) y es paralelo a la recta \[ \begin{cases} x - 2y = 1 \\ z = 3 \end{cases} \]

Ejercicio 4A. (2,5 puntos)

Sea \(r\) la recta dada por \[ \begin{cases} x + z = 1 \\ y = -1 \end{cases} \] y sea \(s\) la recta definida por \[ \begin{cases} x = 2 + \lambda \\ y = 2 \\ z = 2 + 2\lambda \end{cases} \]

a) [1,75 puntos] Comprueba que las rectas \(r\) y \(s\) se cruzan y halla la ecuación de la recta que corta perpendicularmente a \(r\) y a \(s\).

b) [0,75 puntos] Calcula la distancia entre \(r\) y \(s\).

Ejercicio 4B. (2,5 puntos)

Considera un rectángulo de vértices consecutivos \(A\), \(B\), \(C\) y \(D\) siendo \(A(1, 1, 0)\) y \(B(2, 2, 1)\). Sabiendo que la recta \(r\) que contiene a los puntos \(C\) y \(D\) pasa por el origen de coordenadas se pide:

a) [0,75 puntos] Halla unas ecuaciones paramétricas de \(r\).

b) [1 punto] Calcula el área del triángulo \(ABC\).

c) [0,75 puntos] Determina las coordenadas del punto \(D\).

Ejercicio 4A. (2,5 puntos)

Considera el plano \(\pi\) de ecuación \(x + 2y + z = 1\).

a) [1 punto] Halla el punto de \(\pi\) más próximo al punto \((3, 1, 2)\).

b) [1,5 puntos] Determina la ecuación de un plano paralelo a \(\pi\) que forme con los ejes de coordenadas un triángulo de área \(\sqrt{6}\).

Ejercicio 4B. (2,5 puntos)

Sea \(r\) la recta que pasa por los puntos \(A(1, 1, 0)\) y \(B(3, -1, 1)\) y \(s\) la recta dada por \[ \begin{cases} x + 2y = -1 \\ y + z = -1 \end{cases} \]

a) [1,25 puntos] Halla la ecuación general del plano que pasa por el origen de coordenadas y es paralelo a las rectas dadas.

b) [1,25 puntos] Halla unas ecuaciones paramétricas del plano que pasa por \(B\) y es perpendicular a \(s\).

Ejercicio 4A. (2,5 puntos)

Determina el punto de la recta \(r \equiv \frac{x - 1}{2} = y + 1 = \frac{z}{3}\) que equidista de los planos \[\pi \equiv x + y + z + 3 = 0 \quad \text{y} \quad \pi' \equiv \begin{cases} x = -3 + \lambda \\ y = -\lambda + \mu \\ z = -6 - \mu \end{cases} \]

Ejercicio 4B. (2,5 puntos)

Considera el plano \(\pi\) de ecuación \(6x - my + 2z = 1\) y la recta \(r\) dada por \[\frac{x - 1}{-3} = \frac{y + 1}{2} = \frac{z + 2}{-1}\]

a) [1 punto] Calcula \(m\) en el caso en que la recta \(r\) es perpendicular al plano \(\pi\).

b) [1,5 puntos] ¿Existe algún valor de \(m\) para el que la recta \(r\) esté contenida en el plano \(\pi\)?.

Ejercicio 4A. (2,5 puntos)

Sea \(r\) la recta definida por \[ \begin{cases} x = 1 \\ y = 1 \\ z = \lambda - 2 \end{cases} \] y \(s\) la recta dada por \[ \begin{cases} x - y = 1 \\ z = -1 \end{cases} \]

a) [1,75 puntos] Halla la ecuación de la recta que corta perpendicularmente a las rectas dadas.

b) [0,75 puntos] Calcula la distancia entre \(r\) y \(s\).

Ejercicio 4B. (2,5 puntos)

Considera el plano \(\pi\) de ecuación \(mx + 5y + 2z = 0\) y la recta \(r\) dada por \[\frac{x + 1}{3} = \frac{y}{n} = \frac{z - 1}{2}\]

a) [1 punto] Calcula \(m\) y \(n\) en el caso en el que la recta \(r\) es perpendicular al plano \(\pi\).

b) [1,5 puntos] Calcula \(m\) y \(n\) en el caso en el que la recta \(r\) está contenida en el plano \(\pi\).

Ejercicio 4A. (2,5 puntos)

Sean los puntos \(A(0, 1, 1)\), \(B(2, 1, 3)\), \(C(-1, 2, 0)\) y \(D(2, 1, m)\).

a) [0,75 puntos] Calcula \(m\) para que \(A\), \(B\), \(C\) y \(D\) estén en un mismo plano.

b) [0,75 puntos] Determina la ecuación del plano respecto del cual los puntos \(A\) y \(B\) son simétricos.

c) [1 punto] Calcula el área del triángulo de vértices \(A\), \(B\) y \(C\).

Ejercicio 4B. (2,5 puntos)

Sea el plano \(\pi \equiv 2x + y - z + 8 = 0\).

a) [1,5 puntos] Calcula el punto \(P'\), simétrico del punto \(P(2, -1, 5)\) respecto del plano \(\pi\).

b) [1 punto] Calcula la recta \(r'\), simétrica de la recta \[r \equiv \frac{x - 2}{-2} = \frac{y + 1}{3} = \frac{z - 5}{1}\] respecto del plano \(\pi\).

Ejercicio 4A. (2,5 puntos)

Considera el punto \(P(-3, 1, 6)\) y la recta \(r\) dada por \[ \begin{cases} 2x - y - 5 = 0 \\ y - z + 2 = 0 \end{cases} \]

a) [1,25 puntos] Determina la ecuación del plano que pasa por \(P\) y es perpendicular a \(r\).

b) [1,25 puntos] Calcula las coordenadas del punto simétrico de \(P\) respecto de la recta \(r\).

Ejercicio 4B. (2,5 puntos)

Los puntos \(A(0, 1, 1)\) y \(B(2, 1, 3)\) son dos vértices de un triángulo. El tercer vértice es un punto de la recta \(r\) dada por \[ \begin{cases} 2x + y = 0 \\ z = 0 \end{cases} \]

a) [1 punto] Calcula las coordenadas de los posibles puntos \(C\) de \(r\) para que el triángulo \(ABC\) tenga un ángulo recto en el vértice \(A\).

b) [1,5 puntos] Calcula las coordenadas de los posibles puntos \(D\) de \(r\) para que el triángulo \(ABD\) tenga un área igual a \(\sqrt{2}\).

Ejercicio 4A. (2,5 puntos)

Sean los planos \(\pi \equiv x + 3y + 2z - 5 = 0\) y \(\pi' \equiv -2x + y + 3z + 3 = 0\).

a) [1,5 puntos] Determina el ángulo que forman \(\pi\) y \(\pi'\).

b) [1 punto] Calcula el volumen del tetraedro limitado por \(\pi\) y los planos coordenados.

Ejercicio 4B. (2,5 puntos)

Sean el punto \(P(1, 6, -2)\) y la recta \(r \equiv \frac{x - 5}{6} = \frac{y + 1}{-3} = \frac{z}{2}\).

a) [1 punto] Halla la ecuación general del plano \(\pi\) que contiene al punto \(P\) y a la recta \(r\).

b) [1,5 puntos] Calcula la distancia entre el punto \(P\) y la recta \(r\).

Ejercicio 4A. (2,5 puntos)

Halla unas ecuaciones paramétricas para la recta \(r\), que contiene al punto \(P(3, -5, 4)\) y corta perpendicularmente a la recta \[s \equiv \frac{x - 4}{5} = \frac{y - 8}{-3} = \frac{z}{4}\]

Ejercicio 4B. (2,5 puntos)

Sea \(r\) la recta de ecuación \(\frac{x + 2}{3} = \frac{y + 1}{4} = z\)

a) [1,5 puntos] Halla el punto de \(r\) que equidista del origen de coordenadas y del punto \(P(4, -2, 2)\).

b) [1 punto] Determina el punto de la recta \(r\) más próximo al origen de coordenadas.

Ejercicio 4A. (2,5 puntos)

Considera los puntos \(B(1, 2, -3)\), \(C(9, -1, 2)\), \(D(5, 0, -1)\) y la recta \(r \equiv \begin{cases} x + y + 1 = 0 \\ y - z = 0 \end{cases} \)

a) [1,25 puntos] Calcula el área del triángulo cuyos vértices son \(B\), \(C\) y \(D\).

b) [1,25 puntos] Halla un punto \(A\) en la recta \(r\) de forma que el triángulo \(ABC\) sea rectángulo en \(A\).

Ejercicio 4B. (2,5 puntos)

Considera el punto \(P(1, 0, -1)\) y la recta \(r\) dada por \[ \begin{cases} x + y = 0 \\ z - 1 = 0 \end{cases} \]

a) [1,5 puntos] Halla la distancia de \(P\) a \(r\).

b) [1 punto] Determina la ecuación general del plano que pasa por \(P\) y contiene a \(r\).

Ejercicio 4A. (2,5 puntos)

Considera los puntos \(A(1, 1, 2)\) y \(B(1, -1, -2)\) y la recta \(r\) dada por \[ \begin{cases} x = 1 + 2t \\ y = t \\ z = 1 \end{cases} \]

a) [1 punto] Halla la ecuación general del plano que contiene a \(r\) y es paralelo a la recta que pasa por \(A\) y por \(B\).

b) [1,5 puntos] Halla el punto de la recta \(r\) que está a la misma distancia de \(A\) y de \(B\).

Ejercicio 4B. (2,5 puntos)

Sea \(r\) la recta que pasa por los puntos \(A(1, 0, -1)\) y \(B(2, -1, 3)\).

a) [1,25 puntos] Calcula la distancia del origen de coordenadas a la recta \(r\).

b) [1,25 puntos] Halla la ecuación de la recta que corta perpendicularmente a \(r\) y pasa por el origen de coordenadas.

Ejercicio 4A. (2,5 puntos)

Considera la recta \(r\) que pasa por los puntos \(A(1, 0, -1)\) y \(B(-1, 1, 0)\).

a) [1 punto] Halla la ecuación de la recta \(s\) paralela a \(r\) que pasa por \(C(-2, 3, 2)\).

b) [1'5 puntos] Calcula la distancia de \(r\) a \(s\).

Ejercicio 4B. (2,5 puntos)

Sea \(r\) la recta definida por \(\begin{cases} x + 2y - z = 3 \\ 2x - y + z = 1 \end{cases}\)

a) [1'5 puntos] Determina la ecuación general del plano que contiene a \(r\) y pasa por el origen de coordenadas.

b) [1 punto] Halla las ecuaciones paramétricas del plano que corta perpendicularmente a \(r\) en el punto \((1, 1, 0)\).

Ejercicio 4A. (2,5 puntos)

Sea \(r\) la recta definida por \( \begin{cases} x = 1 + \lambda \\ y = 1 + \lambda \\ z = \lambda \end{cases} \) y \(s\) la recta dada por \( \frac{x - 1}{-2} = \frac{y}{1} = \frac{z - 1}{-2} \).

a) [1'75 puntos] Halla la ecuación de la recta que corta perpendicularmente a \(r\) y a \(s\).

b) [0'75 puntos] Calcula la distancia entre \(r\) y \(s\).

Ejercicio 4B. (2,5 puntos)

Considera el plano \(\pi\) de ecuación \(2x + y - z + 2 = 0\), y la recta \(r\) de ecuación \( \frac{x - 5}{-2} = y = \frac{z - 6}{-3} \)

a) [0'5 puntos] Determina la posición relativa de \(\pi\) y \(r\).

b) [1 punto] Halla la ecuación general del plano que contiene a \(r\) y es perpendicular a \(\pi\).

c) [1 punto] Halla las ecuaciones paramétricas del plano paralelo a \(\pi\) que contiene a \(r\).

Ejercicio 4A. (2,5 puntos)

Considera los vectores \(\vec{u} = (1, -1, 3)\), \(\vec{v} = (1, 0, -1)\) y \(\vec{w} = (\lambda, 1, 0)\).

a) [0'75 puntos] Calcula los valores de \(\lambda\) que hacen que \(\vec{u}\) y \(\vec{w}\) sean ortogonales.

b) [0'75 puntos] Calcula los valores de \(\lambda\) que hacen que \(\vec{u}\), \(\vec{v}\) y \(\vec{w}\) sean linealmente independientes.

c) [1 punto] Para \(\lambda = 1\) escribe el vector \(\vec{r} = (3, 0, 2)\) como combinación lineal de \(\vec{u}\), \(\vec{v}\) y \(\vec{w}\).

Ejercicio 4B. (2,5 puntos)

Sea \(r\) la recta dada por \(\frac{x + 2}{2} = y + 1 = \frac{z - 1}{-3}\) y sea \(s\) la recta dada por \(\begin{cases} x - y - 3 = 0 \\ 3y - z + 6 = 0 \end{cases}\)

a) [1 punto] Estudia la posición relativa de \(r\) y \(s\).

b) [1'5 puntos] Halla la ecuación general del plano que contiene a \(r\) y es paralelo a \(s\).

Ejercicio 4A. (2,5 puntos)

Considera los vectores \(\vec{u} = (1, -1, 0)\), \(\vec{v} = (0, 1, 2)\), \(\vec{w} = (1 + \alpha, 2\alpha, 2 - 3\alpha)\). Halla los valores de \(\alpha\) en cada uno de los siguientes casos:

a) [1 punto] \(\vec{u}\), \(\vec{v}\) y \(\vec{w}\) están en el mismo plano.

b) [0'5 puntos] \(\vec{w}\) es perpendicular a \(\vec{u}\) y a \(\vec{v}\).

c) [1 punto] El volumen del tetraedro que tiene por aristas a los vectores \(\vec{u}\), \(\vec{v}\), \(\vec{w}\) es 1/6.

Ejercicio 4B. (2,5 puntos)

Considera el punto \(P(2, -2, 0)\) y la recta \(r\) dada por \(\begin{cases} x + z - 2 = 0 \\ y + z - 1 = 0 \end{cases}\)

a) [1'25 puntos] Halla la ecuación del plano que contiene a \(P\) y es perpendicular a \(r\).

b) [1'25 puntos] Calcula la distancia de \(P\) a \(r\).

Ejercicio 4A. (2,5 puntos)

Sean \(A(-3, 4, 0)\), \(B(3, 6, 3)\) y \(C(-1, 2, 1)\) los vértices de un triángulo.

a) [1 punto] Halla la ecuación del plano \(\pi\) que contiene al triángulo.

b) [1 punto] Halla la ecuación de la recta perpendicular a \(\pi\) que pasa por el origen de coordenadas.

c) [0'5 puntos] Calcula el área del triángulo \(ABC\).

Ejercicio 4B. (2,5 puntos)

Considera el punto \(A(8, -1, 3)\) y la recta \(r\) dada por \(\frac{x + 1}{2} = y - 2 = \frac{z - 1}{3}\).

a) [1'25 puntos] Calcula la ecuación del plano que pasa por \(A\) y es perpendicular a \(r\).

b) [1'25 puntos] Halla el punto simétrico de \(A\) respecto de \(r\).

Ejercicio 4A. (2,5 puntos)

Considera el plano \(\pi\) de ecuación \(2x + y + 3z - 6 = 0\).

a) [1'5 puntos] Calcula el área del triángulo cuyos vértices son los puntos de corte del plano \(\pi\) con los ejes coordenados.

b) [1 punto] Calcula el volumen del tetraedro determinado por el plano \(\pi\) y los planos coordenados.

Ejercicio 4B. (2,5 puntos)

Considera los puntos \(A(1, 0, 2)\), \(B(-1, 3, 1)\), \(C(2, 1, 2)\) y \(D(1, 0, 4)\).

a) [1 punto] Halla la ecuación del plano que contiene a \(A\), \(B\) y \(C\).

b) [1'5 puntos] Halla el punto simétrico de \(D\) respecto del plano \(x - y - 5z + 9 = 0\).

Ejercicio 4A. (2,5 puntos)

Sea \(r\) la recta que pasa por el punto \((1, 0, 0)\) y tiene como vector dirección \((a, 2a, 1)\) y sea \(s\) la recta dada por \(\begin{cases} -2x + y = -2 \\ -ax + z = 0 \end{cases}\)

a) [1 punto] Calcula los valores de \(a\) para los que \(r\) y \(s\) son paralelas.

b) [1'5 puntos] Calcula, para \(a = 1\), la distancia entre \(r\) y \(s\).

Ejercicio 4B. (2,5 puntos)

Considera los puntos \(P(2, 3, 1)\) y \(Q(0, 1, 1)\).

a) [1'75 puntos] Halla la ecuación del plano \(\pi\) respecto del cual \(P\) y \(Q\) son simétricos.

b) [0'75 puntos] Calcula la distancia de \(P\) a \(\pi\).

Ejercicio 4A. (2,5 puntos)

Calcula la distancia entre las rectas

\(r \equiv x = y = z\) y \(s \equiv x - 1 = y - 2 = z - 3\).

Ejercicio 4B. (2,5 puntos)

Considera las rectas

\(r \equiv x = y = z\) \(s \equiv \begin{cases} x = 2 \\ y = 1 \end{cases}\) y \(t \equiv \begin{cases} x = 1 + 2\lambda \\ y = 3\lambda \\ z = -1 + \lambda \end{cases}\)

Halla la recta que corta a \(r\) y a \(s\) y es paralela a \(t\).

Ejercicio 4A. (2,5 puntos)

Determina el punto de la recta \(r \equiv \frac{x - 1}{3} = \frac{y}{2} = z + 1\) que equidista de los planos

\(\pi_1 \equiv x - y + 3z + 2 = 0\) y \(\pi_2 \equiv \begin{cases} x = -4 + \lambda - 3\mu \\ y = 1 + \lambda \\ z = \mu \end{cases}\)

Ejercicio 4B. (2,5 puntos)

Considera los puntos \(A(0, 5, 3)\), \(B(-1, 4, 3)\), \(C(1, 2, 1)\) y \(D(2, 3, 1)\).

a) [1'75 puntos] Comprueba que los cuatro puntos son coplanarios y que \(ABCD\) es un rectángulo.

b) [0'75 puntos] Calcula el área de dicho rectángulo.

Ejercicio 4A. (2,5 puntos)

Considera los puntos \(A(1, 2, 1)\), \(B(-1, 0, 2)\) y \(C(3, 2, 0)\) y el plano \(\pi\) determinado por ellos.

a) [1'75 puntos] Halla la ecuación de la recta \(r\) que está contenida en \(\pi\) y tal que \(A\) y \(B\) son simétricos respecto de \(r\).

b) [0'75 puntos] Calcula la distancia de \(A\) a \(r\).

Ejercicio 4B. (2,5 puntos)

Considera las rectas \(r\) y \(s\) dadas por

\(r \equiv \begin{cases} x = 2 - 3\lambda \\ y = 3 + 5\lambda \\ z = \lambda \end{cases}\) y \(s \equiv \begin{cases} x + y - 1 = 0 \\ z - 5 = 0 \end{cases}\)

a) [1 punto] Determina la posición relativa de \(r\) y \(s\).

b) [1'5 puntos] Calcula la distancia entre \(r\) y \(s\).

Ejercicio 4A. (2,5 puntos)

Del paralelogramo \(ABCD\) se conocen los vértices \(A(-1, 0, 3)\), \(B(2, -1, 1)\) y \(C(3, 2, -3)\).

a) [1 punto] Halla la ecuación del plano que contiene al paralelogramo.

b) [1 punto] Halla la ecuación de la recta que contiene a la diagonal \(AC\) del paralelogramo.

c) [0'5 puntos] Calcula las coordenadas del vértice \(D\).

Ejercicio 4B. (2,5 puntos)

Considera los puntos \(A(1, 2, 3)\) y \(B(-1, 0, 4)\).

a) [1'25 puntos] Calcula las coordenadas de los puntos que dividen al segmento \(AB\) en tres partes iguales.

b) [1'25 puntos] Halla la ecuación del plano que pasa por el punto \(A\) y es perpendicular al segmento \(AB\).

Ejercicio 4A. (2,5 puntos)

Sean los puntos \(A(0, 0, 1)\), \(B(1, 0, -1)\), \(C(0, 1, -2)\) y \(D(1, 2, 0)\).

a) [1 punto] Halla la ecuación del plano \(\pi\) determinado por los puntos \(A\), \(B\) y \(C\).

b) [0'5 puntos] Demuestra que los cuatro puntos no son coplanarios.

c) [1 punto] Calcula la distancia del punto \(D\) al plano \(\pi\).

Ejercicio 4B. (2,5 puntos)

Halla el punto simétrico de \(P(2, 1, -5)\) respecto de la recta \(r\) definida por \(\begin{cases} x - z = 0 \\ x + y + 2 = 0 \end{cases}\)

Ejercicio 4A. (2,5 puntos)

De un paralelogramo ABCD conocemos tres vértices consecutivos: A(2, -1, 0), B(-2, 1, 0) y C(0, 1, 2).

a) [1 punto] Calcula la ecuación de la recta que pasa por el centro del paralelogramo y es perpendicular al plano que lo contiene.

b) [0,75 puntos] Halla el área de dicho paralelogramo.

c) [0,75 puntos] Calcula el vértice D.

Ejercicio 4B. (2,5 puntos)

Sean \(r\) y \(s\) las rectas dadas por

\(r \equiv \begin{cases} x + y - z = 6 \\ x + z = 3 \end{cases}\) \(s \equiv \frac{x - 1}{-1} = \frac{y + 1}{6} = \frac{z}{2}\)

a) [1,25 puntos] Determina el punto de intersección de ambas rectas.

b) [1,25 puntos] Calcula la ecuación general del plano que las contiene.

Ejercicio 4A. (2,5 puntos)

El punto M(1, -1, 0) es el centro de un paralelogramo y A(2, 1, -1) y B(0, -2, 3) son dos vértices consecutivos del mismo.

a) [1 punto] Halla la ecuación general del plano que contiene al paralelogramo.

b) [1,5 puntos] Determina uno de los otros dos vértices y calcula el área de dicho paralelogramo.

Ejercicio 4B. (2,5 puntos)

Calcula de manera razonada la distancia del eje OX a la recta \(r\) de ecuaciones

\(\begin{cases} 2x - 3y = 4 \\ 2x - 3y - z = 0 \end{cases}\)

Ejercicio 4A. (2,5 puntos)

Dados los puntos A(1, 0, 0), B(0, 0, 1) y P(1, -1, 1), y la recta r definida por \begin{cases} x - y - 2 = 0 \\ z = 0 \end{cases}

a) [2 puntos] Halla los puntos de la recta r cuya distancia al punto P es de 3 unidades.

b) [0,5 puntos] Calcula el área del triángulo ABP.

Ejercicio 4B. (2,5 puntos)

Dados el punto P(1, 1, -1) y la recta r de ecuaciones \begin{cases} x + z = 1 \\ y + z = 0 \end{cases}

a) [1 punto] Halla la ecuación del plano que contiene a r y pasa por P.

b) [1,5 puntos] Halla la ecuación de la recta contenida en el plano de ecuación y + z = 0, que es perpendicular a r y pasa por P.

Ejercicio 4A. (2,5 puntos)

Sea el punto P(2, 3, -1) y la recta r dada por las ecuaciones \begin{cases} x = 1 \\ y = -2\lambda \\ z = \lambda \end{cases}

a) [1 punto] Halla la ecuación del plano perpendicular a r que pasa por P.

b) [1,5 puntos] Calcula la distancia del punto P a la recta r y determina el punto simétrico de P respecto de r.

Ejercicio 4B. (2,5 puntos)

Considera los planos \pi_1 y \pi_2 dados respectivamente por las ecuaciones

(x,y,z) = (-2, 0, 7) + \lambda(1, -2, 0) + \mu(0, 1, -1) y 2x + y - z + 5 = 0

Determina los puntos de la recta r definida por x = y + 1 = \frac{z - 1}{-3} que equidistan de \pi_1 y \pi_2.

Ejercicio 4A. (2,5 puntos)

Dada la recta r definida por \frac{x - 1}{3} = \frac{y + 1}{2} = -z + 3 y la recta s definida por \begin{cases} x = 1 \\ 2y - z = -2 \end{cases}

a) [1,25 puntos] Halla la ecuación del plano que pasa por el origen y contiene a r.

b) [1,25 puntos] Halla la ecuación del plano que contiene a s y es paralelo a r.

Ejercicio 4B. (2,5 puntos)

Dada la recta r definida por \frac{x + 7}{2} = \frac{y - 7}{-1} = z y la recta s definida por \begin{cases} x = 2 \\ y = -5 \\ z = \lambda \end{cases}

a) [1,75 puntos] Halla la ecuación de la recta que corta perpendicularmente a ambas.

b) [0,75 puntos] Calcula la distancia entre r y s.

Ejercicio 4A. (2,5 puntos)

Halla la ecuación del plano que es paralelo a la recta r de ecuaciones \begin{cases} x - 2y + 11 = 0 \\ 2y + z - 19 = 0 \end{cases} y contiene a la recta s definida por \begin{cases} x = 1 - 5\lambda \\ y = -2 + 3\lambda \\ z = 2 + 2\lambda \end{cases}

Ejercicio 4B. (2,5 puntos)

Considera los planos \pi_1, \pi_2 y \pi_3 dados respectivamente por las ecuaciones

x + y = 1, ay + z = 0 y x + (1 + a)y + az = a + 1

a) [1,5 puntos] ¿Cuánto ha de valer a para que no tengan ningún punto en común?

b) [1 punto] Para a = 0, determina la posición relativa de los planos.

Ejercicio 4A. (2,5 puntos)

Considera las rectas r y s de ecuaciones

x - 1 = y = 1 - z y \begin{cases} x - 2y = -1 \\ y + z = 1 \end{cases}

a) [0,75 puntos] Determina su punto de corte.

b) [1 punto] Halla el ángulo que forman r y s.

c) [0,75 puntos] Determina la ecuación del plano que contiene a r y s.

Ejercicio 4B. (2,5 puntos)

Los puntos P(2, 0, 0) y Q(-1, 12, 4) son dos vértices de un triángulo. El tercer vértice S pertenece a la recta r de ecuación \begin{cases} 4x + 3z = 33 \\ y = 0 \end{cases}

a) [1,5 puntos] Calcula las coordenadas del punto S sabiendo que r es perpendicular a la recta que pasa por P y S.

b) [1 punto] Comprueba si el triángulo es rectángulo.

Ejercicio 4A. (2,5 puntos)

Calcula el área del triángulo cuyos vértices son los puntos de intersección del plano 6x + 3y + 2z = 6 con los ejes de coordenadas.

Ejercicio 4B. (2,5 puntos)

Sean los puntos A(1, 1, 1), B(-1, 2, 0), C(2, 1, 2) y D(t, -2, 2)

a) [1,25 puntos] Determina el valor de t para que A, B, C y D estén en el mismo plano.

b) [1,25 puntos] Halla la ecuación de un plano perpendicular al segmento determinado por A y B, que contenga al punto C.

Ejercicio 4A. (2,5 puntos)

Considera los puntos A(1, 0, 2), B(-1, 2, 4) y la recta r definida por \frac{x + 2}{2} = y - 1 = \frac{z - 1}{3}

a) [1,5 puntos] Determina la ecuación del plano formado por los puntos que equidistan de A y de B.

b) [1 punto] Halla la ecuación del plano paralelo a r y que contiene los puntos A y B.

Ejercicio 4B. (2,5 puntos)

Considera los puntos A(1, 1, 1), B(0, -2, 2), C(-1, 0, 2) y D(2, -1, 2).

a) [1 punto] Calcula el volumen del tetraedro de vértices A, B, C y D.

b) [1,5 puntos] Determina la ecuación de la recta que pasa por D y es perpendicular al plano que contiene a los puntos A, B y C.

Ejercicio 4A. (2,5 puntos)

Considera los puntos A(1, 2, 1) y B(-1, 0, 3).

a) [1,25 puntos] Calcula las coordenadas de los puntos que dividen el segmento AB en tres partes iguales.

b) [1,25 puntos] Halla la ecuación del plano perpendicular al segmento AB y que pasa por A.

Ejercicio 4B. (2,5 puntos)

Considera el plano \pi definido por 2x - y + nz = 0 y la recta r dada por \frac{x - 1}{m} = \frac{y}{4} = \frac{z - 1}{2} con m \neq 0.

a) [1,25 puntos] Calcula m y n para que la recta r sea perpendicular al plano \pi.

b) [1,25 puntos] Calcula m y n para que la recta r esté contenida en el plano \pi.

Ejercicio 4A. (2,5 puntos)

Halla el punto simétrico de P(1, 1, 1) respecto de la recta r de ecuación \frac{x - 1}{2} = \frac{y}{3} = \frac{z + 1}{-1}

Ejercicio 4B. (2,5 puntos)

Sean los puntos A(2, \lambda, \lambda), B(-\lambda, 2, 0) y C(0, \lambda, \lambda - 1).

a) [1 punto] ¿Existe algún valor de \lambda \in \mathbb{R} para el que los puntos A, B y C estén alineados? Justifica la respuesta.

b) [1,5 puntos] Para \lambda = 1 halla la ecuación del plano que contiene al triángulo de vértices A, B y C. Calcula la distancia del origen de coordenadas a dicho plano.

Considera el punto \(P(1, 0, 0)\), la recta \(r\) definida por \[x - 3 = \frac{y}{2} = \frac{z + 1}{-2}\] y la recta \(s\) definida por \[(x, y, z) = (1, 1, 0) + \lambda(-1, 2, 0).\]

a) [1,25 puntos] Estudia la posición relativa de \(r\) y \(s\).

b) [1,25 puntos] Halla la ecuación del plano que pasando por \(P\) es paralelo a \(r\) y \(s\).

Ejercicio 4B. (2,5 puntos)

Considera la recta r definida por \begin{cases} x - y + 3 = 0 \\ x + y - z - 1 = 0 \end{cases} y la recta s definida por \begin{cases} 2y + 1 = 0 \\ x - 2z + 3 = 0 \end{cases}

a) [1,5 puntos] Determina la ecuación del plano que contiene a r y es paralelo a s.

b) [1 punto] ¿Existe algún plano que contenga a r y sea perpendicular a s? Razona la respuesta.

Ejercicio 4A. (2,5 puntos)

Se considera la recta r definida por \begin{cases} x = 1 \\ y = 1 \\ z = \lambda - 2 \end{cases} y la recta s definida por \begin{cases} x = \mu \\ y = \mu - 1 \\ z = -1 \end{cases} Halla la ecuación de la recta perpendicular común a r y s.

Ejercicio 4B. (2,5 puntos)

Considera la recta r definida por \begin{cases} x + y = 2 \\ y + z = 0 \end{cases} y la recta s que pasa por los puntos A(2, 1, 0) y B(1, 0, -1).

a) [1 punto] Estudia la posición relativa de ambas rectas.

b) [1,5 puntos] Determina un punto C de la recta r tal que los segmentos \(\overline{CA}\) y \(\overline{CB}\) sean perpendiculares.

Ejercicio 4A. (2,5 puntos)

Considera el punto \(A(1, -2, 1)\) y la recta \(r\) definida por las ecuaciones \(\left\{ \begin{array}{rcl} x + y &=& 2 \\ 2x + y + z &=& 7 \end{array} \right\}\)

a) [1 punto] Halla la ecuación del plano perpendicular a \(r\) que pasa por \(A\).

b) [1,5 puntos] Calcula la distancia del punto \(A\) a la recta \(r\).

Ejercicio 4B. (2,5 puntos)

Considera la recta \(r\) definida por \[ \left\{ \begin{array}{rcl} y &=& -1 \\ 2x - z &=& 2 \end{array} \right\} \] y la recta \(s\) definida por \[ \left\{ \begin{array}{rcl} x &=& 4 + 3\lambda \\ y &=& 3 - \lambda \\ z &=& 5 + 4\lambda \end{array} \right\} \]

Halla la ecuación del plano que contiene a \(r\) y es paralelo a \(s\).

Ejercicio 4A. (2,5 puntos)

Considera el punto \(P(1, 0, -2)\), la recta \(r\) definida por \(\left\{ \begin{array}{rcl} x - 2y - 1 &=& 0 \\ y + z - 2 &=& 0 \end{array} \right\}\) y el plano \(\pi\) de ecuación \(2x + y + 3z - 1 = 0\).

a) [1,25 puntos] Halla la ecuación del plano que pasa por \(P\), es paralelo a \(r\) y es perpendicular a \(\pi\).

b) [1,25 puntos] Halla la ecuación de la recta que pasa por \(P\), corta a \(r\) y es paralela a \(\pi\).

Ejercicio 4B. (2,5 puntos)

Considera el plano \(\pi\) de ecuación \(3x - 2y - 2z = 7\) y la recta \(r\) definida por \[ \frac{x-2}{2} = \frac{y+1}{1} = \frac{z-2}{2} \]

a) [1,25 puntos] Determina la ecuación del plano paralelo a \(\pi\) que contiene a \(r\).

b) [1,25 puntos] Halla la ecuación del plano ortogonal a \(\pi\) que contiene a \(r\).

Ejercicio 4A. (2,5 puntos)

Halla la ecuación de la recta que pasa por el punto \(A(1, 1, -1)\), es paralela al plano de ecuación \(x - y + z = 1\) y corta al eje \(Z\).

Ejercicio 4B. (2,5 puntos)

Sea la recta \(r\) definida por \(\left\{ \begin{array}{rcl} 3x + 2y &=& 0 \\ 3x + z &=& 0 \end{array} \right\}\)

a) [1 punto] Determina la ecuación del plano perpendicular a \(r\) que pasa por el punto \(P(1, 1, 1)\).

b) [1,5 puntos] Halla los puntos de \(r\) cuya distancia al origen es de 4 unidades.

Ejercicio 4A. (2,5 puntos)

Sean la recta \(r\) definida por \(\left\{ \begin{array}{rcl} x - y &=& -2 \\ x - z &=& -3 \end{array} \right\}\) y la recta \(s\) definida por \(\left\{ \begin{array}{rcl} x &=& 1 \\ 2y - z &=& -2 \end{array} \right\}\)

a) [1 punto] Estudia la posición relativa de \(r\) y \(s\).

b) [1,5 puntos] Halla la ecuación del plano que contiene a \(s\) y es paralelo a \(r\).

Ejercicio 4B. (2,5 puntos)

Sea el punto \(P(2, 3 - 1)\) y la recta \(r\) definida por \(\left\{ \begin{array}{rcl} x + y + 2z &=& 1 \\ x - 2y - 4z &=& 1 \end{array} \right\}\)

a) [1,25 puntos] Halla la ecuación del plano que pasa por \(P\) y contiene a \(r\).

b) [1,25 puntos] Halla el punto de \(r\) que está más cerca de \(P\).

Ejercicio 4A. (2,5 puntos)

Sea la recta \(s\) dada por \(\left\{ \begin{array}{rcl} x - z &=& -1 \\ 2y + z &=& 3 \end{array} \right\}\)

a) [1,25 puntos] Halla la ecuación del plano \(\pi_1\) que es paralelo a la recta \(s\) y que contiene a la recta \(r\), dada por \(x - 1 = -y + 2 = z - 3\)

b) [1,25 puntos] Estudia la posición relativa de la recta \(s\) y el plano \(\pi_2\), de ecuación \(x + y = 3\), y deduce la distancia entre ambos.

Ejercicio 4B. (2,5 puntos)

Dados los puntos \(A(1, 1, 0)\), \(B(1, 1, 2)\) y \(C(1, -1, 1)\).

a) [1,5 puntos] Comprueba que no están alineados y calcula el área del triángulo que determinan.

b) [1 punto] Halla la ecuación del plano que contiene al punto \(A\) y es perpendicular a la recta determinada por \(B\) y \(C\).

Ejercicio 4A. (2,5 puntos)

Dada la recta \(r\) definida por \[ \frac{x-1}{2} = \frac{y+1}{3} = \frac{z-2}{1} \]

a) [1,25 puntos] Halla la ecuación del plano que pasa por el origen y contiene a \(r\).

b) [1,25 puntos] Halla la ecuación del plano que pasa por el origen y es perpendicular a \(r\).

Ejercicio 4B. (2,5 puntos)

Dados los puntos \(A(2, 1, 1)\) y \(B(0, 0, 1)\), halla los puntos \(C\) en el eje \(OX\) tales que el área del triángulo de vértices \(A\), \(B\) y \(C\) es 2.

Ejercicio 4A. (2,5 puntos)

Los puntos \(A(-2, 3, 1)\), \(B(2, -1, 3)\) y \(C(0, 1, -2)\) son vértices consecutivos del paralelogramo \(ABCD\).

a) [1 punto] Halla las coordenadas del vértice \(D\).

b) [1 punto] Encuentra la ecuación de la recta que pasa por \(B\) y es paralela a la diagonal \(AC\).

c) [0,5 puntos] Halla la ecuación del plano que contiene a dicho paralelogramo.

Ejercicio 4B. (2,5 puntos)

Sea la recta \(r\) dada por \(\left\{ \begin{array}{rcl} 2x + y - mz &=& 2 \\ x - y - z &=& -m \end{array} \right\}\) y el plano \(\pi\) definido por \(x + my - z = 1\)

a) [1 punto] ¿Existe algún valor de \(m\) para el que \(\pi\) y \(r\) son paralelos?

b) [1 punto] ¿Para qué valor de \(m\) está la recta contenida en el plano?

c) [0,5 puntos] ¿Cuál es la posición relativa de la recta y el plano cuando \(m = 0\)?

Ejercicio 4A. (2,5 puntos)

Considera la recta \(r\) definida por \(\left\{ \begin{array}{rcl} x &=& 0 \\ 3y + z &=& 3 \end{array} \right\}\) y la recta \(s\) definida por \(\left\{ \begin{array}{rcl} 2x - z &=& 3 \\ y &=& 0 \end{array} \right\}\)

a) [1 punto] Estudia la posición relativa de \(r\) y \(s\).

b) [1,5 puntos] Halla la ecuación general de un plano que contiene a \(s\) y es paralelo a \(r\).

Ejercicio 4B. (2,5 puntos)

Sea la recta \(r\) definida por \(\left\{ \begin{array}{rcl} x &=& 1 \\ x - y &=& 0 \end{array} \right\}\) y sean los planos \(\pi_1\), de ecuación \(x + y + z = 0\), y \(\pi_2\), de ecuación \(y + z = 0\). Halla la recta contenida en el plano \(\pi_1\), que es paralela al plano \(\pi_2\) y que corta a la recta \(r\).

Ejercicio 4A. (2,5 puntos)

Se sabe que los planos de ecuaciones \(x + 2y + bz = 1\), \(2x + y + bz = 0\), \(3x + 3y - 2z = 1\) se cortan en una recta \(r\).

a) [1,25 puntos] Calcula el valor de \(b\).

b) [1,25 puntos] Halla unas ecuaciones paramétricas de \(r\).

Ejercicio 4B. (2,5 puntos)

Dados los puntos \(A(2, 1, -1)\) y \(B(-2, 3, 1)\) y la recta \(r\) definida por las ecuaciones \(\left\{ \begin{array}{rcl} x - y - z &=& -1 \\ 3x - 2z &=& -5 \end{array} \right\}\)

Halla las coordenadas de un punto de la recta \(r\) que equidiste de los puntos \(A\) y \(B\).

Ejercicio 4A. (2,5 puntos)

Se considera la recta \(r\) definida por \(mx = y = z + 2\), \((m \neq 0)\), y la recta \(s\) definida por \(\frac{x-4}{4} = y-1 = \frac{z}{2}\)

a) [1,5 puntos] Halla el valor de \(m\) para el que \(r\) y \(s\) son perpendiculares.

b) [1 punto] Deduce razonadamente si existe algún valor de \(m\) para el que \(r\) y \(s\) son paralelas.

Ejercicio 4B. (2,5 puntos)

Considera los puntos \(A(2, 0, 1)\), \(B(-1, 1, 2)\), \(C(2, 2, 1)\) y \(D(3, 1, 0)\).

a) [1 punto] Calcula la ecuación del plano \(\pi\) que contiene a los puntos \(B\), \(C\) y \(D\).

b) [1,5 puntos] Halla el punto simétrico de \(A\) respecto del plano \(\pi\).

Ejercicio 4A. (2,5 puntos)

a) [1,25 puntos] Halla los dos puntos que dividen al segmento de extremos \(A(1, 2, 1)\) y \(B(-1, 0, 3)\) en tres partes iguales.

b) [1,25 puntos] Determina la ecuación del plano perpendicular al segmento \(AB\) que pasa por su punto medio.

Ejercicio 4B. (2,5 puntos)

Considera los vectores \(\vec{u} = (1, 1, m)\), \(\vec{v} = (0, m, -1)\) y \(\vec{w} = (1, 2m, 0)\).

a) [1,25 puntos] Determina el valor de \(m\) para que los vectores \(\vec{u}\), \(\vec{v}\) y \(\vec{w}\) sean linealmente dependientes.

b) [1,25 puntos] Para el valor de \(m\) obtenido en el apartado anterior, expresa el vector \(\vec{w}\) como combinación lineal de los vectores \(\vec{u}\) y \(\vec{v}\).

Ejercicio 4A. (2,5 puntos)

Considera los planos de ecuaciones \(x - y + z = 0\) y \(x + y - z = 2\).

a) [1 punto] Determina la recta que pasa por el punto \(A(1, 2, 3)\) y no corta a ninguno de los planos dados.

b) [1,5 puntos] Determina los puntos que equidistan de \(A(1, 2, 3)\) y \(B(2, 1, 0)\) y pertenecen a la recta intersección de los planos dados.

Ejercicio 4B. (2,5 puntos)

Considera los puntos \(A(0, 3, -1)\) y \(B(0, 1, 5)\).

a) [1,25 puntos] Calcula los valores de \(x\) sabiendo que el triángulo \(ABC\) de vértices \(A(0, 3, -1)\), \(B(0, 1, 5)\) y \(C(x, 4, 3)\) tiene un ángulo recto en \(C\).

b) [1,25 puntos] Halla la ecuación del plano que pasa por los puntos \((0, 1, 5)\) y \((3, 4, 3)\) y es paralelo a la recta definida por las ecuaciones \(\left\{ \begin{array}{rcl} x - y + z &=& 0 \\ 2x + y &=& 3 \end{array} \right\}\)

Ejercicio 4A. (2,5 puntos)

Determina los puntos de la recta \(r\) de ecuaciones \(\left\{ \begin{array}{rcl} x &=& 0 \\ y - 1 &=& \frac{z-3}{2} \end{array} \right\}\) que equidistan del plano \(\pi\) de ecuación \(x + z = 1\) y del plano \(\pi'\) de ecuación \(y - z = 3\).

Ejercicio 4B. (2,5 puntos)

Considera los puntos \(A(1, 0, -2)\) y \(B(-2, 3, 1)\).

a) [1 punto] Determina los puntos del segmento \(AB\) que lo dividen en tres partes iguales.

b) [1,5 puntos] Calcula el área del triángulo de vértices \(A\), \(B\) y \(C\), donde \(C\) es un punto de la recta de ecuación \(-x = y - 1 = z\). ¿Depende el resultado de la elección concreta del punto \(C\)?

Ejercicio 4A. (2,5 puntos)

Considera el plano \(\pi\) de ecuación \(2x+y-z+2 = 0\) y la recta \(r\) de ecuación \(\frac{x - 5}{-2} = y = \frac{z - 6}{m}\)

a) [1 punto] Halla la posición relativa de \(r\) y \(\pi\) según los valores del parámetro \(m\).

b) [0,75 puntos] Para \(m = -3\), halla el plano que contiene a la recta \(r\) y es perpendicular al plano \(\pi\).

c) [0,75 puntos] Para \(m = -3\), halla el plano que contiene a la recta \(r\) y es paralelo al plano \(\pi\).

Ejercicio 4B. (2,5 puntos)

Considera el punto \(P(3, 2, 0)\) y la recta \(r\) de ecuaciones \(\begin{cases} x + y - z - 3 = 0 \\ x + 2z + 1 = 0 \end{cases}\)

a) [1 punto] Halla la ecuación del plano que contiene al punto \(P\) y a la recta \(r\).

b) [1,5 puntos] Determina las coordenadas del punto \(Q\) simétrico de \(P\) respecto de la recta \(r\).

Ejercicio 4A. (2,5 puntos)

Considera un plano \(\pi \equiv x + y + mz = 3\) y la recta \(r \equiv x = y - 1 = \frac{z - 2}{2}\).

a) [0,75 puntos] Halla \(m\) para que \(r\) y \(\pi\) sean paralelos.

b) [0,75 puntos] Halla \(m\) para que \(r\) y \(\pi\) sean perpendiculares.

c) [1 punto] ¿Existe algún valor de \(m\) para que la recta \(r\) esté contenida en el plano \(\pi\)?

Ejercicio 4B. (2,5 puntos)

Sean los planos \(\pi_1 \equiv 2x + y - z + 5 = 0\) y \(\pi_2 \equiv x + 2y + z + 2 = 0\).

a) [1,5 puntos] Calcula las coordenadas del punto \(P\) sabiendo que está en el plano \(\pi_1\) y que su proyección ortogonal sobre el plano \(\pi_2\) es el punto \((1, 0, -3)\).

b) [1 punto] Calcula el punto simétrico de \(P\) respecto del plano \(\pi_2\).

Ejercicio 4A. (2,5 puntos)

Considera el punto \(P(2, 0, 1)\) y la recta \(r \equiv \begin{cases} x + 2y = 6 \\ z = 2 \end{cases}\)

a) [1 punto] Halla la ecuación del plano que contiene a \(P\) y a \(r\).

b) [1,5 puntos] Calcula el punto simétrico de \(P\) respecto de la recta \(r\).

Ejercicio 4B. (2,5 puntos)

Sean los vectores \(\vec{v_1} = (0, 1, 0)\), \(\vec{v_2} = (2, 1, -1)\) y \(\vec{v_3} = (2, 3, -1)\).

a) [0,75 puntos] ¿Son los vectores \(\vec{v_1}\), \(\vec{v_2}\) y \(\vec{v_3}\) linealmente dependientes?

b) [0,75 puntos] ¿Para qué valores de \(a\) el vector \((4, a + 3, -2)\) puede expresarse como combinación lineal de los vectores \(\vec{v_1}\), \(\vec{v_2}\) y \(\vec{v_3}\)?

c) [1 punto] Calcula un vector unitario y perpendicular a \(\vec{v_1}\) y \(\vec{v_2}\).

Ejercicio 4A. (2,5 puntos)

Se sabe que el triángulo \(ABC\) es rectángulo en el vértice \(C\), que pertenece a la recta intersección de los planos \(y + z = 1\) e \(y - 3z + 3 = 0\), y que sus otros dos vértices son \(A(2, 0, 1)\) y \(B(0, -3, 0)\). Halla \(C\) y el área del triángulo \(ABC\).

Ejercicio 4B. (2,5 puntos)

Halla la perpendicular común a las rectas

\(r \equiv \begin{cases} x = 1 \\ y = 1 \\ z = \alpha \end{cases}\) y \(s \equiv \begin{cases} x = \beta \\ y = \beta - 1 \\ z = -1 \end{cases}\)

Ejercicio 4A. (2,5 puntos)

Sean los puntos \(A(1, 2, 1)\), \(B(2, 3, 1)\), \(C(0, 5, 3)\) y \(D(-1, 4, 3)\).

a) [1 punto] Prueba que los cuatro puntos están en el mismo plano. Halla la ecuación de dicho plano.

b) [0,75 puntos] Demuestra que el polígono de vértices consecutivos \(ABCD\) es un rectángulo.

c) [0,75 puntos] Calcula el área de dicho rectángulo.

Ejercicio 4B. (2,5 puntos)

Dados los vectores \(\vec{u} = (2, 1, 0)\) y \(\vec{v} = (-1, 0, 1)\), halla un vector unitario \(\vec{w}\) que sea coplanario con \(\vec{u}\) y \(\vec{v}\) y ortogonal a \(\vec{v}\).

Ejercicio 4A. (2,5 puntos)

Se sabe que los puntos \(A(1, 0, -1)\), \(B(3, 2, 1)\) y \(C(-7, 1, 5)\) son vértices consecutivos de un paralelogramo \(ABCD\).

a) [1 punto] Calcula las coordenadas del punto \(D\).

b) [1,5 puntos] Halla el área del paralelogramo.

Ejercicio 4B. (2,5 puntos)

Los puntos \(A(1, 1, 0)\) y \(B(2, 2, 1)\) son vértices consecutivos de un rectángulo \(ABCD\). Además, se sabe que los vértices \(C\) y \(D\) están contenidos en una recta que pasa por el origen de coordenadas. Halla \(C\) y \(D\).

Ejercicio 4A. (2,5 puntos)

Sabiendo que las rectas

\(r \equiv x = y = z\) y \(s \equiv \begin{cases} x = 1 + \mu \\ y = 3 + \mu \\ z = -\mu \end{cases}\)

se cruzan, halla los puntos \(A\) y \(B\), de \(r\) y \(s\) respectivamente, que están a mínima distancia.

Ejercicio 4B. (2,5 puntos)

Determina el punto \(P\) de la recta \(r \equiv \frac{x - 1}{2} = \frac{y + 1}{1} = \frac{z}{3}\) que equidista de los planos

\(\pi_1 \equiv x + y + z + 3 = 0\) y \(\pi_2 \equiv \begin{cases} x = -3 + \lambda \\ y = -\lambda + \mu \\ z = -6 - \mu \end{cases}\)

Ejercicio 4A. (2,5 puntos)

Los puntos \(A(1, 0, 2)\) y \(B(-1, 0, -2)\) son vértices opuestos de un cuadrado.

a) [1 punto] Calcula el área del cuadrado.

b) [1,5 puntos] Calcula el plano perpendicular al segmento de extremos \(A\) y \(B\) que pasa por su punto medio.

Ejercicio 4B. (2,5 puntos)

Considera el plano \(\pi \equiv x - y + 2z = 3\) y el punto \(A(-1, -4, 2)\).

a) [1 punto] Halla la ecuación de la recta perpendicular a \(\pi\) que pasa por \(A\).

b) [1,5 puntos] Halla el punto simétrico de \(A\) respecto de \(\pi\).

Ejercicio 4A. (2,5 puntos)

Calcula la ecuación de una recta que pasa por el punto de intersección del plano \(\pi \equiv x + y - z + 6 = 0\) con la recta \(s \equiv \frac{x}{3} = y - 2 = z + 1\) y es paralela a la recta

\(r \equiv \begin{cases} 3x + y - 4 = 0 \\ 4x - 3y + z - 1 = 0 \end{cases}\)

Ejercicio 4B. (2,5 puntos)

Calcula el área del triángulo de vértices

\(A(1, 1, 2)\), \(B(1, 0, -1)\) y \(C(1, -3, 2)\).