Ejercicio 4. (2,5 puntos)

Considera la matriz \( A = \left( \begin{array}{ccc} 0 & a & -b \\ 0 & 0 & b \\ 0 & 0 & 0 \end{array} \right) \).

a) [0,75 puntos] Calcula \(A^{10}\).

b) [1,75 puntos] Calcula, si es posible, la matriz inversa de \(I + A + A^2\), donde \(I\) denota la matriz identidad.

Ejercicio 5. (2,5 puntos)

Dadas las matrices \( A = \left( \begin{array}{ccc} 1 & 1 & 0 \\ 1 & 0 & 1 \\ 0 & 1 & 1 \end{array} \right) \) y \( B = \left( \begin{array}{ccc} 0 & 0 & 1 \\ 0 & 1 & 0 \\ 1 & 0 & 0 \end{array} \right) \), se define la matriz \(M = A + (\lambda - 1)B\).

a) [1,5 puntos] Halla los valores de \(\lambda\) para los que la matriz \(M\) tiene rango menor que 3.

b) [1 punto] Para \(\lambda = -1\), resuelve el sistema lineal homogéneo cuya matriz de coeficientes es \(M\).

Ejercicio 5. (2,5 puntos)

Considera la matriz \( A = \left( \begin{array}{cc} -1 & 0 \\ 0 & 1 \end{array} \right) \).

a) [1,25 puntos] Halla todas las matrices X que cumplen XA = -AX^t y X² = I, donde I es la matriz identidad de orden 2.

b) [1,25 puntos] Halla todas las matrices Y que cumplen YA = AY, la suma de los elementos de su diagonal principal es cero y tienen determinante -1.

Ejercicio 6. (2,5 puntos)

Un proveedor de perfumerías vende a sus comerciantes tres tipos de perfumes A, B y C. En un primer pedido una tienda ha encargado 20 perfumes de tipo A, 30 de tipo B y 15 de tipo C, por un importe de 2200 euros. En un segundo pedido ha comprado 15 perfumes de tipo A, 10 de tipo B y 10 de tipo C, por un importe de 1250 euros.

a) [1,25 puntos] ¿Cuánto tendremos que pagar por un pedido de 25 perfumes de tipo A, 10 perfumes de tipo B y 16 de tipo C?

b) [1,25 puntos] Si añadimos que el precio de un perfume de tipo C es \(\frac{2}{5}\) del precio de una unidad de tipo A, ¿cuál es el precio de cada tipo de perfume?

Ejercicio 5. (2,5 puntos)

Considera la matriz \( A = \left( \begin{array}{ccc} 1 & 1/8 & 1/8 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{array} \right) \).

a) [1 punto] Calcula A²⁰²⁴.

b) [1,5 puntos] Halla la matriz X, si es posible, que verifica A²XA + I = O, donde I y O son la matriz identidad y la matriz nula de orden 3, respectivamente.

Ejercicio 6. (2,5 puntos)

Considera el sistema

\[ \begin{cases} y + z = 1 \\ (k-1)x + y + z = k \\ x + (k-1)y + z = 0 \end{cases} \]

a) [1,75 puntos] Discute el sistema según los valores de k.

b) [0,75 puntos] Para k = 1 resuelve el sistema, si es posible. ¿Hay alguna solución en la que y = 0? En caso afirmativo, calcúlala. En caso negativo, justifica la respuesta.

Ejercicio 5. (2,5 puntos)

Considera las matrices \( A = \left( \begin{array}{ccc} 1 & -1 & 0 \\ 7 & 2 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{array} \right) \) y \( B = \left( \begin{array}{ccc} 2 & 0 & 1 \\ 0 & 1 & 0 \\ 1/9 & 0 & 0 \end{array} \right) \).

a) [1,25 puntos] Calcula los determinantes de las matrices \( \left( (AB)^5 \right)^{-1} \) y \( 27AB^6 \).

b) [1,25 puntos] Halla la matriz X, si es posible, que verifica que AXB = 9I, donde I es la matriz identidad de orden 3.

Ejercicio 6. (2,5 puntos)

Considera la matriz \( A = \left( \begin{array}{ccc} 1 & 0 & 1 \\ 2 & 0 & a \\ 5 & 3a-1 & 0 \end{array} \right) \).

a) [1,25 puntos] Calcula el rango de A según los valores de a.

b) [1,25 puntos] Si \( B = \left( \begin{array}{c} 1 \\ 2 \\ 4 \end{array} \right) \), \( X = \left( \begin{array}{c} x \\ y \\ z \end{array} \right) \) y a = 2 resuelve, si es posible, el sistema AX = B.

Ejercicio 5. (2,5 puntos)

Considera las matrices \( A = \left( \begin{array}{ccc} x & y & z \\ 3 & 0 & 2 \\ 1 & 1 & 1 \end{array} \right) \), \( B = \left( \begin{array}{ccc} 1 & y & z \end{array} \right) \) y \( C = \left( \begin{array}{ccc} 3 & 0 & 0 \end{array} \right) \).

a) [1 punto] Sabiendo que el determinante de A es 5, calcula \( \begin{vmatrix} x-1 & y-1 & z-1 \\ 1 & 1 & 1 \\ 4 & 1 & 3 \end{vmatrix} \), indicando las propiedades que utilizas.

b) [1,5 puntos] Calcula los valores (x, y, z) tales que B · A = C.

Ejercicio 6. (2,5 puntos)

Considera el sistema

\[ \left( \begin{array}{ccc} 5 & -2 & -3 \\ 2 & 0 & -2 \\ 3 & -2 & -1 \end{array} \right) \left( \begin{array}{c} x \\ y \\ z \end{array} \right) = m \left( \begin{array}{c} x \\ y \\ z \end{array} \right) \]

a) [1,75 puntos] Determina los valores de m para los que el sistema es compatible indeterminado.

b) [0,75 puntos] Para m = 2 resuelve el sistema, si es posible.

Ejercicio 5. (2,5 puntos)

Considera las matrices \( A = \left( \begin{array}{ccc} 1 & 0 & 1 \\ m & 1 & 0 \\ 1 & -1 & 2 \end{array} \right) \) y \( B = \left( \begin{array}{ccc} -4 & 8 & 0 \\ 0 & 4 & 4 \\ 4 & 12 & 20 \end{array} \right) \).

a) [0,75 puntos] Determina los valores de m para los que la matriz A² tiene inversa.

b) [1,75 puntos] Para m = 0 calcula, si es posible, la matriz X que verifica A²X = \(\frac{1}{2}\)(A + B).

Ejercicio 6. (2,5 puntos)

Determina un número natural de tres cifras sabiendo que la suma de sus dígitos es 9, que la diferencia de dicho número con el que se obtiene al intercambiar la cifra de las centenas por la de las unidades es 198, y que si consideramos la suma entre ambos números, es decir, entre el número a determinar y el que se obtiene al intercambiar sus cifras, el resultado es 828.

Ejercicio 5. (2,5 puntos)

Considera el sistema de ecuaciones lineales

\[ \begin{cases} ax + y + z = 1 + a \\ x + 2y - z = 1 - a \\ x + (1 + a)y - az = 0 \end{cases} \]

a) [1,5 puntos] Calcula a para que el sistema sea compatible indeterminado.

b) [1 punto] Resuelve el sistema, si es posible, para a = 0.

Ejercicio 6. (2,5 puntos)

Considera las matrices \( A = \left( \begin{array}{cc} 1 & 3 \\ -2 & 5 \end{array} \right) \), \( M = \left( \begin{array}{cc} 0 & 1 \\ 1 & 1 \end{array} \right) \) e I la matriz identidad de orden 2.

a) [1,5 puntos] Sabiendo que A verifica la identidad (A + a I)² = b I, halla a y b.

b) [1 punto] Resuelve la ecuación MX + M² = I.

Ejercicio 5. (2,5 puntos)

Sea la matriz \( A = \left( \begin{array}{ccc} 1 & 1 & 1 \\ 1 & 1 & 1 \\ 1 & 1 & 1 \end{array} \right) \) e I la matriz identidad de orden 3.

a) [1 punto] Halla los valores de m para que la matriz A − mI no tenga inversa.

b) [1,5 puntos] Halla x, distinto de cero, para que A − xI sea la inversa de la matriz \(\frac{1}{x}(A − I)\).

Ejercicio 6. (2,5 puntos)

El dueño de un bar ha comprado refrescos, cerveza y vino por un importe de 500 euros sin incluir impuestos. El gasto en vino es 60 euros menos que los gastos en refrescos y cerveza conjuntamente, sin incluir impuestos. Teniendo en cuenta que los impuestos de los refrescos, la cerveza y el vino son el 6%, el 12% y el 30%, respectivamente, entonces el importe total de la factura incluyendo impuestos ha ascendido a 592,4 euros. Calcula el importe, incluyendo impuestos, invertido en cada una de las bebidas.

Ejercicio 5. (2,5 puntos)

Una marca de vehículos ha vendido este mes coches de tres colores: blancos, negros y rojos. El 60% de los coches blancos más el 50% de los coches negros representan el 30% de los coches vendidos. El 20% de los coches blancos junto con el 60% de los coches negros y el 60% de los coches rojos representan la mitad de los coches vendidos. Se han vendido 100 coches negros más que blancos. Determina el número de coches vendidos de cada color.

Ejercicio 6. (2,5 puntos)

Considera las matrices \( A = \left( \begin{array}{ccc} 0 & 0 & m \\ m & 0 & 0 \\ 0 & m & 0 \end{array} \right) \) y \( B = \left( \begin{array}{ccc} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \\ 0 & 1 & 0 \end{array} \right) \).

a) [0,5 puntos] Determina para qué valores de m existe la inversa de la matriz A.

b) [2 puntos] Para todo m ≠ -1, resuelve, si es posible, la ecuación AX + X = B.

Ejercicio 5. (2,5 puntos)

Una fábrica dispone de tres líquidos L₁, L₂ y L₃, en los que se encuentran disueltas dos sustancias: sodio y magnesio. Cada litro del líquido L₁ contiene 120 mg de sodio y 90 mg de magnesio, cada litro del líquido L₂ contiene 100 mg de sodio y 90 mg de magnesio y cada litro del líquido L₃ contiene 60 mg de sodio y 180 mg de magnesio. ¿Es posible obtener un litro de un líquido mezclando distintas cantidades de L₁, L₂ y L₃ en el que la cantidad de sodio y de magnesio sea de 100 mg cada una? En caso afirmativo, calcula dichas cantidades.

Ejercicio 6. (2,5 puntos)

Considera las matrices \( A = \left( \begin{array}{ccc} 1 & 2m & -1 \\ 3 & 0 & -2 \\ -3m & 1 & 2 \end{array} \right) \) y \( B = \left( \begin{array}{ccc} 1 & -1 & 3 \\ 0 & 2 & 1 \\ 2 & 5 & 4 \end{array} \right) \).

a) [1 punto] Determina los valores de m para que la matriz A tenga inversa.

b) [1,5 puntos] Calcula para m = 1, si es posible, la matriz X tal que AX = B^t, donde B^t denota la matriz traspuesta de B.

Ejercicio 5. (2,5 puntos)

Considera la matriz \( A = \left( \begin{array}{ccc} 0 & a & -b \\ 0 & 0 & b \\ 0 & 0 & 0 \end{array} \right) \).

a) [0,75 puntos] Calcula A¹⁰.

b) [1,75 puntos] Calcula, si es posible, la matriz inversa de I + A + A², donde I denota la matriz identidad de orden 3.

Ejercicio 6. (2,5 puntos)

Dadas las matrices \( A = \left( \begin{array}{ccc} 1 & 1 & 0 \\ 1 & 0 & 1 \\ 0 & 1 & 1 \end{array} \right) \) y \( B = \left( \begin{array}{ccc} 0 & 0 & 1 \\ 0 & 1 & 0 \\ 1 & 0 & 0 \end{array} \right) \), se define la matriz M = A + (λ - 1)B.

a) [1,5 puntos] Halla los valores de λ para los que la matriz M tiene rango menor que 3.

b) [1 punto] Para λ = -1, resuelve el sistema lineal homogéneo cuya matriz de coeficientes es M.

Ejercicio 5. (2,5 puntos)

Sean las matrices

\( A = \left( \begin{array}{ccc} m+1 & 1 & m-1 \\ 1 & 1 & 1 \\ m-1 & 1 & m+1 \end{array} \right) \), \( B = \left( \begin{array}{ccc} 0 & 4 & 2 \\ 0 & 0 & 4 \\ 2 & 2 & 1 \end{array} \right) \) y \( C = \left( \begin{array}{ccc} 0 & 0 & 1 \\ 0 & 1 & 0 \\ 1 & 0 & 0 \end{array} \right) \).

a) [1 punto] Calcula m para que la matriz A tenga inversa.

b) [1,5 puntos] Para m = 0, resuelve, si es posible, la ecuación matricial \(\frac{1}{2}AX + C^4 = B\).

Ejercicio 6. (2,5 puntos)

Considera las matrices \( A = \left( \begin{array}{ccc} x & y & z \\ y & x & x \\ z & z & y \end{array} \right) \), \( B = \left( \begin{array}{ccc} \alpha & 1 & 1 \end{array} \right) \) y \( C = \left( \begin{array}{ccc} 1 & 1 & 1 \end{array} \right) \).

a) [1,5 puntos] Discute el sistema BA = C, según los valores de α.

b) [1 punto] Resuelve el sistema, si es posible, para α = 0 y para α = 1.

Ejercicio 5. (2,5 puntos)

Dadas las matrices \( A = \left( \begin{array}{ccc} 2 & -1 & -2 \\ -2 & 3 & 1 \\ 6 & 1 & 3 \end{array} \right) \) y \( B = \left( \begin{array}{ccc} -1 & 0 & -1 \\ -3 & -1 & 5 \end{array} \right) \), calcula, si es posible, la matriz X que verifica la ecuación 3X − B^t = AX, siendo B^t la matriz traspuesta de B.

Ejercicio 6. (2,5 puntos)

Una plataforma de streaming se especializa en series de tres géneros: animación, ciencia ficción y comedia. Se sabe que el 30% de las series de animación más el 50% de las de ciencia ficción coincide con el 20% de total de series. El 25% de las series de animación más el 50% de las de ciencia ficción más el 60% de las de comedia representan la mitad del total de series. Hay 100 series menos de animación que de ciencia ficción. Halla el número de series de cada género.

Ejercicio 5. (2,5 puntos)

Considera las matrices \( A = \left( \begin{array}{cc} 1 & 0 \\ -2 & 1 \end{array} \right) \), \( B = \left( \begin{array}{ccc} 1 & 1 & a \\ 2 & a & 1 \\ 2 & 2 & 0 \end{array} \right) \) y \( C = \left( \begin{array}{ccc} 1 & 0 & -2 \\ 2 & -1 & -1 \end{array} \right) \).

a) Determina los valores de a para los que la matriz B no tiene inversa. (0,5 puntos)

b) Para a = 1 calcula X tal que A X B = C, si es posible. (2 puntos)

Ejercicio 6. (2,5 puntos)

Se sabe que \( \begin{vmatrix} a & b & c \\ p & q & r \\ x & y & z \end{vmatrix} = -2 \).

a) Calcula: \( \begin{vmatrix} a & c & b \\ 2x & 2z & 2y \\ -3p & -3r & -3q \end{vmatrix} \) (1 punto)

b) Calcula: \( \begin{vmatrix} x & a-3p & -2a \\ y & b-3q & -2b \\ z & c-3r & -2c \end{vmatrix} \) (1,5 puntos)

Ejercicio 5. (2,5 puntos)

Considera el sistema:

\[\begin{cases} x - y + mz = -3 \\ -mx + 3y - z = 1 \\ x - 4y + mz = -6 \end{cases}\]

a) Discute el sistema según los valores de m. (1,75 puntos)

b) Para m = 2 resuelve el sistema, si es posible. (0,75 puntos)

Ejercicio 6. (2,5 puntos)

Considera la matriz \( A = \left( \begin{array}{ccc} m & \sqrt{m} & \sqrt{m} \\ \sqrt{m} & m & 1 \\ \sqrt{m} & 1 & m \end{array} \right) \), donde m ≥ 0.

a) ¿Para qué valores de m tiene inversa la matriz A? (1 punto)

b) Para m = 4 resuelve, si es posible, la ecuación matricial A X = 12 I, donde I es la matriz identidad de orden 3. (1,5 puntos)

Ejercicio 5. (2,5 puntos)

Considera la matriz \( A = \left( \begin{array}{ccc} 1 & 2 & 1 \\ 1 & 1 & 1 \\ 1 & -1 & -1 \end{array} \right) \).

a) [1 punto] Calcula \(A^{-1}\).

b) [1,5 puntos] Calcula la matriz \(X\) de orden tres que verifica \(A X + (A - X)^2 = X^2 + I\), siendo \(I\) la matriz identidad de orden tres.

Ejercicio 6. (2,5 puntos)

En un estudio del ciclo del sueño se monitoriza la fase NO-REM (es el momento del sueño que el cuerpo utiliza para descansar físicamente). Esta fase se divide a su vez en tres momentos: Fase I (adormecimiento), Fase II (sueño ligero) y Fase III (sueño profundo). Una persona dedica el 75% de su sueño a la fase NO-REM. Además, el tiempo que dedica a la Fase II es el doble que el de la Fase I y III juntas. Por otro lado, a la Fase III se dedica el cuádruple que a la Fase I. Si una persona ha dormido 8 horas, ¿cuántos minutos dedica a las Fases I, II y III del ciclo del sueño?

Ejercicio 5. (2,5 puntos)

Considera el sistema:

\[ \begin{cases} 2x + 3y + mz = 3 \\ x + my - z = -1 \\ 3x + y - 3z = -m \end{cases} \]

a) [1,75 puntos] Discute el sistema según los valores de \(m\).

b) [0,75 puntos] Para \(m = -2\) encuentra, si es posible, \(y_0\) para que la solución del sistema sea \(x = \lambda\), \(y = y_0\), \(z = \lambda - \frac{3}{7}\).

Ejercicio 6. (2,5 puntos)

Dado \(a \neq 0\), considera las matrices \( A = \left( \begin{array}{cc} -a & 3 \\ a & 1 \end{array} \right) \) y \( B = \left( \begin{array}{cc} 1 & -1 \\ 3 & 4 \\ 1 & 2 \end{array} \right) \).

a) [1,25 puntos] Determina para qué valores de \(a\) se cumple que \(A^{-1} = \frac{1}{4}A\).

b) [1,25 puntos] Para \(a = 1\) calcula, si es posible, la matriz \(X\) tal que \(A X = B^t\), donde \(B^t\) denota la matriz traspuesta de \(B\).

Ejercicio 5. (2,5 puntos)

La suma de los seguidores en una determinada red social de Alberto, Begoña y Carlos es de 13000 personas. Aunque Carlos perdiera una tercera parte de sus seguidores, todavía seguiría teniendo el doble de seguidores que tiene Alberto. Por otro lado, los seguidores de Alberto más la quinta parte de los seguidores de Begoña, son tantos como la mitad de los de Carlos. Calcula cuántos seguidores tiene cada uno.

Ejercicio 6. (2,5 puntos)

Considera las matrices \( A = \left( \begin{array}{ccc} m & 1 & 3 \\ 1 & m & 2 \\ 1 & m & 3 \end{array} \right) \) y \( B = \left( \begin{array}{cc} 2 & 2 \\ 1 & 0 \\ -1 & 2 \end{array} \right) \).

a) [1 punto] Calcula el rango de la matriz \(A\) según los valores de \(m\).

b) [1,5 puntos] Para \(m = 0\) resuelve la ecuación \(A X = B\), si es posible.

Ejercicio 5. (2,5 puntos)

Considera el sistema de ecuaciones lineales:

\[ \left( \begin{array}{ccc} \alpha & 1 & 1 \\ \alpha & -1 & 1 \\ \alpha & 0 & \alpha \end{array} \right) \left( \begin{array}{c} x \\ y \\ z \end{array} \right) = \left( \begin{array}{c} 0 \\ 0 \\ 0 \end{array} \right) \]

a) [1,25 puntos] Discute el sistema según los valores de \(\alpha\).

b) [1,25 puntos] Para \(\alpha = 1\) resuelve el sistema y da una solución del mismo diferente de la solución trivial, si es posible.

Ejercicio 6. (2,5 puntos)

Considera el sistema:

\[ \begin{cases} x - my - 2z = m \\ x + y + z = 2m \\ x + 2y + mz = 3m \end{cases} \]

a) [1,75 puntos] Discute el sistema según los valores de \(m\).

b) [0,75 puntos] Para \(m = 1\) resuelve el sistema, si es posible.

Ejercicio 5 (2.5 puntos)

Considera la matriz \( A = \left( \begin{array}{ccc} 0 & 3 & 4 \\ 1 & -4 & -5 \\ -1 & 3 & 4 \end{array} \right) \).

a) [1.25 puntos] Comprueba que \(A^2 = -A^{-1}\).

b) [1.25 puntos] Dadas las matrices \( B = \left( \begin{array}{cc} 1 & -1 \\ 3 & 0 \\ -4 & 5 \end{array} \right) \) y \( C = \left( \begin{array}{cc} 2 & 0 \\ -3 & 2 \\ 1 & -1 \end{array} \right) \), calcula la matriz \(X\) que verifica \(A^4X + B = AC\).

Ejercicio 6 (2.5 puntos)

Una empresa de mensajería opera en tres rutas distintas A, B y C. Semanalmente hace un total de 70 viajes, y el número de viajes por la ruta B es igual a la suma de los viajes por las rutas A y C.

a) [1.25 puntos] Si sabemos que el doble de la suma de los viajes por las rutas A y C es 70, ¿podemos deducir el número de viajes por cada ruta? Razona la respuesta.

b) [1.25 puntos] Si el doble de viajes por la ruta C es igual al número de viajes por la ruta B menos 5, ¿cuántos viajes hace por cada ruta?

Ejercicio 5 (2.5 puntos)

Considera el siguiente sistema de ecuaciones lineales

\[ \begin{cases} mx + 2y - z = 1 \\ 5x - 4y + 2z = 0 \\ x + 3my = m + \frac{2}{5} \end{cases} \]

a) [1.5 puntos] Discute el sistema según los valores de \(m\).

b) [1 punto] Resuelve el sistema para \(m = 0\). ¿Hay alguna solución en la que \(x = 0\)? En caso afirmativo, calcúlala. En caso negativo, justifica la respuesta.

Ejercicio 6 (2.5 puntos)

En una empresa se fabrican tres tipos de productos plásticos: botellas, garrafas y bidones. Se utiliza como materia prima 10 kg de polietileno cada hora. Se sabe que para fabricar cada botella se necesitan 50 gramos, para cada garrafa 100 gramos y 1 kg para cada bidón.

El gerente también nos dice que se debe producir el doble de botellas que de garrafas. Por último, se sabe que por motivos de capacidad de trabajo, en las máquinas se producen en total 52 productos cada hora.

¿Cuántas botellas, garrafas y bidones se producen cada hora?

Ejercicio 5 (2.5 puntos)

Considera la matriz \( A = \left( \begin{array}{ccc} a & 2 & 1 \\ b & -1 & 1 \\ c & 1 & 1 \end{array} \right) \), con determinante igual a 5.

a) [0.5 puntos] Calcula razonadamente el determinante de \(2A^3\).

b) [2 puntos] Calcula razonadamente los determinantes \( \left| \begin{array}{ccc} 2a & -1 & 3 \\ 2b & 1/2 & 3 \\ 2c & -1/2 & 3 \end{array} \right| \) y \( \left| \begin{array}{ccc} a & b & c \\ a+4 & b-2 & c+2 \\ a+1 & b+1 & c+1 \end{array} \right| \).

Ejercicio 6 (2.5 puntos)

Considera el siguiente sistema de ecuaciones lineales

\[ \begin{cases} x + my + mz = 1 \\ x + 2my + (m+1)z = 1 \\ 2x + my + mz = 2 \end{cases} \]

a) [1.75 puntos] Discute el sistema según los valores de \(m\).

b) [0.75 puntos] Resuelve el sistema, si es posible, para \(m = 1\).

Ejercicio 5 (2.5 puntos)

Considera la matriz \( A = \left( \begin{array}{ccc} m & m & m \\ m & m+1 & m \\ m & m & m+2 \end{array} \right) \).

a) [1.5 puntos] ¿Para qué valores de \(m\) existe la inversa de la matriz \(A\)? Razona la respuesta.

b) [1 punto] Para \(m = 1\), halla \(\left(\frac{1}{2}A\right)^{-1}\).

Ejercicio 6 (2.5 puntos)

En una cafetería, tres cafés, una tostada y dos zumos de naranja cuestan 7.50 €. Cuatro cafés, una tostada y un zumo de naranja cuestan 7.20 €.

a) [1.5 puntos] Calcula, de forma razonada, el precio total de dos cafés, una tostada y tres zumos de naranja.

b) [1 punto] ¿El precio de un zumo de naranja podría ser de 2 €? Razona la respuesta.

Ejercicio 5 (2.5 puntos)

Considera el sistema de ecuaciones

\[ \begin{cases} x + y + 2z = 0 \\ 3x - y - 2z = 0 \\ -x + 2y + mz = 0 \end{cases} \]

a) [1.5 puntos] Calcula \(m\) para que el sistema tenga infinitas soluciones y hállalas.

b) [1 punto] Para \(m = 2\), ¿existe alguna solución tal que \(z = 1\)? En caso afirmativo, calcúlala. En caso negativo, justifica la respuesta.

Ejercicio 6 (2.5 puntos)

Considera la matriz \( A = \left( \begin{array}{ccc} a & b & c \\ d & e & f \\ 1 & 2 & 3 \end{array} \right) \), con determinante igual a 2.

a) [0.5 puntos] Calcula razonadamente \(\left|\frac{1}{3}A^{-1}A^t\right|\).

b) [2 puntos] Calcula razonadamente los determinantes \( \left| \begin{array}{ccc} 6c & 2b & 2a \\ 3f & e & d \\ 9 & 2 & 1 \end{array} \right| \) y \( \left| \begin{array}{ccc} 2a-2b & c & b \\ 2d-2e & f & e \\ -2 & 3 & 2 \end{array} \right| \).

Ejercicio 5 (2.5 puntos)

Considera la matriz \( A = \left( \begin{array}{ccc} 2 & 0 & 2 \\ -1 & 2 & 1 \\ 0 & 1 & 4 \end{array} \right) \).

a) [1.75 puntos] Estudia, según los valores de \(\lambda\), el rango de la matriz \(A - \lambda I\), siendo \(I\) la matriz identidad de orden tres.

b) [0.75 puntos] Resuelve el sistema \((A-I)\left( \begin{array}{c} x \\ y \\ z \end{array} \right) = \left( \begin{array}{c} 0 \\ 0 \\ 0 \end{array} \right)\) y halla, si existe, una solución en la que \(x = 2\).

Ejercicio 6 (2.5 puntos)

Considera las matrices \( A = \left( \begin{array}{ccc} 1 & -1 & 0 \\ 1 & m & 1 \end{array} \right) \) y \( B = \left( \begin{array}{cc} 1 & 1 \\ 0 & 2 \\ m & -1 \end{array} \right) \).

a) [1 punto] Calcula \(m\) para que \(AB\) no tenga inversa.

b) [1.5 puntos] Estudia el rango de la matriz \(BA\) según los valores de \(m\).

Ejercicio 3 (2.5 puntos)

Considera el sistema de ecuaciones dado por \(AX = B\) siendo

\( A = \left( \begin{array}{ccc} 1 & -2 & 1 \\ m & 4 & -2 \\ 0 & m+2 & -3 \end{array} \right) \), \( X = \left( \begin{array}{c} x \\ y \\ z \end{array} \right) \) y \( B = \left( \begin{array}{c} 2 \\ 2m \\ 1 \end{array} \right) \).

a) [1.5 puntos] Discute el sistema según los valores de \(m\).

b) [1 punto] Para \(m = -2\), ¿existe alguna solución con \(z = 0\)? En caso afirmativo, calcúlala. En caso negativo, justifica la respuesta.

Ejercicio 7 (2.5 puntos)

Considera \( A = \left( \begin{array}{ccc} 1 & 2 & 3 \\ 0 & 0 & 2 \\ 0 & 1 & 1 \end{array} \right) \) y \( X = \left( \begin{array}{c} x \\ y \\ z \end{array} \right) \).

a) [1.25 puntos] Halla los valores de \(\lambda\) tales que \(|A - \lambda I| = 0\), donde \(I\) es la matriz identidad de orden 3.

b) [1.25 puntos] Para \(\lambda = 1\), resuelve el sistema dado por \((A - \lambda I)X = 0\). ¿Existe alguna solución tal que \(z = 1\)? En caso afirmativo, calcúlala. En caso negativo, justifica la respuesta.

Ejercicio 3 (2.5 puntos)

Considera la matriz \( A = \left( \begin{array}{ccc} 1 & -1 & m+2 \\ 0 & 1 & m+1 \\ m & 0 & 5 \end{array} \right) \).

a) [1.5 puntos] Estudia el rango de \(A\) según los valores de \(m\).

b) [1 punto] Para \(m = 2\), calcula la inversa de \(2020A\).

Ejercicio 7 (2.5 puntos)

Considera \( A = \left( \begin{array}{ccc} 1 & 1 & 1 \\ 1 & 0 & 1 \\ 4 & 1 & 4 \end{array} \right) \), \( B = \left( \begin{array}{c} a \\ 2a \\ 3a \end{array} \right) \) y \( X = \left( \begin{array}{c} x \\ y \\ z \end{array} \right) \).

a) [1.25 puntos] Discute el sistema dado por \(AX = B\), según los valores de \(a\).

b) [1.25 puntos] Para \(a = 0\), resuelve el sistema dado por \(AX = B\). Calcula, si es posible, una solución en la que \(y + z = 4\).

Ejercicio 3 (2.5 puntos)

Considera \( A = \left( \begin{array}{ccc} 1 & 1 & 1 \\ 1 & a & b \\ c & 1 & 4 \end{array} \right) \), \( B = \left( \begin{array}{c} 1 \\ 1 \\ 1 \end{array} \right) \) y \( C = \left( \begin{array}{c} 3 \\ 2 \\ 1 \end{array} \right) \). Determina \(a\), \(b\) y \(c\), sabiendo que \(AB = C\) y la matriz \(A\) tiene rango 2.

Ejercicio 7 (2.5 puntos)

Siendo \(\lambda\) un número real, considera el siguiente sistema de ecuaciones lineales con dos incógnitas

\[ \begin{cases} x + \lambda y = 2 \\ 2x + 4y = 1 \\ \lambda x + y = 2\lambda \end{cases} \]

Discútelo según los valores de \(\lambda\) y resuélvelo cuando sea posible.

Ejercicio 3 (2.5 puntos)

Considera el sistema de ecuaciones

\[ \begin{cases} ax + y + z = 1 \\ x + ay + z = a \\ x + y + az = a^2 \end{cases} \]

a) [1.75 puntos] Discútelo según los valores de \(a\).

b) [0.75 puntos] Resuelve, si es posible, el sistema para \(a = 1\) y \(a = -2\).

Ejercicio 7 (2.5 puntos)

Considera la matriz \( A = \left( \begin{array}{cc} -\frac{1}{2} & -\frac{\sqrt{3}}{2} \\ \frac{\sqrt{3}}{2} & -\frac{1}{2} \end{array} \right) \).

a) [1.5 puntos] Calcula \(A^{37}\) y \(A^{41}\).

b) [1 punto] Halla el determinante de la matriz \(3A^{52}(A^t)^4\), donde \(A^t\) es la matriz traspuesta de \(A\).

Ejercicio 3. (2,5 puntos)

Considera A = \(\left( \begin{array}{ccc} 2 & 1 & 1 \\ 1 & 0 & 1 \end{array} \right)\), B = \(\left( \begin{array}{cc} 1 & 0 \\ -1 & m \\ 1 & 1 \end{array} \right)\), X = \(\left( \begin{array}{c} x \\ y \\ z \end{array} \right)\) y C = \(\left( \begin{array}{c} 2 \\ -2 \\ 3 \end{array} \right)\).

a) [0,75 puntos] Determina los valores de m para los que AB no tiene inversa.

b) [0,75 puntos] Determina los valores de m para los que BA no tiene inversa.

c) [1 punto] Para m = 0, resuelve, si es posible, el sistema dado por BAX = C y halla una solución en la que x+y+z = 0.

Ejercicio 7. (2,5 puntos)

Considera las matrices A = \(\left( \begin{array}{cc} 1 & 1 \\ 1 & 2 \end{array} \right)\) y B = \(\left( \begin{array}{cc} 2 & 1 \\ 2 & 0 \end{array} \right)\).

a) [1 punto] Sabiendo que una matriz X verifica que X³AX = B², halla los posibles valores de su determinante.

b) [1,5 puntos] Determina, si existe, una matriz Y que verifique A²YB⁻¹ = A.

Ejercicio 3. (2,5 puntos)

Considera el sistema de ecuaciones \[\begin{cases} -my + z = 1 \\ 5x + 2y + mz = 0 \\ my + (m - 3)z = -3 \end{cases}\]

a) [1,25 puntos] Discute el sistema en función de m.

b) [1,25 puntos] Para m = 0, resuelve el sistema. Calcula, si es posible, una solución en la que y = 5.

Ejercicio 7. (2,5 puntos)

Considera A = \(\left( \begin{array}{ccc} 1 & -1 & m \\ m & 2 & -3 \\ m-1 & 0 & 4 \end{array} \right)\), B = \(\left( \begin{array}{c} 5 \\ -1 \\ 2 \end{array} \right)\) y C = \(\left( \begin{array}{c} 3 \\ 1 \\ 0 \end{array} \right)\).

a) [1 punto] Determina los valores de m para los que la ecuación AX + B = C tiene solución única.

b) [1,5 puntos] Para m = 0, halla X tal que AX + B = C.

Ejercicio 3A.- [2,5 puntos]

Considera el siguiente sistema de ecuaciones lineales \[\begin{cases} x + y + 2z = 0 \\ (m + 2)x + y - z = m \\ 3x + (m + 2)y + z = m \end{cases}\]

a) [1,5 puntos] Discute el sistema según los valores de m.

b) [1 punto] Resuelve el sistema, si es posible, para m = 0.

Ejercicio 3B.- [2,5 puntos]

Calcula, en grados, los tres ángulos de un triángulo sabiendo que el menor de ellos es la mitad del ángulo mayor y que la suma del ángulo menor y el ángulo mayor es el doble del otro ángulo.

Ejercicio 3A.- [2,5 puntos]

Calcula todas las matrices X = \(\left( \begin{array}{cc} a & b \\ c & d \end{array} \right)\) tales que a + d = 1, tienen determinante 1 y cumplen AX = XA, siendo A = \(\left( \begin{array}{cc} 0 & -1 \\ 1 & 0 \end{array} \right)\).

Ejercicio 3B.- [2,5 puntos]

Dadas las matrices A = \(\left( \begin{array}{ccc} 2-m & 1 & 2m-1 \\ 1 & m & 1 \\ m & 1 & 1 \end{array} \right)\), X = \(\left( \begin{array}{c} x \\ y \\ z \end{array} \right)\), B = \(\left( \begin{array}{c} 2m^2-1 \\ m \\ 1 \end{array} \right)\), considera el sistema de ecuaciones lineales dado por X^tA = B^t, donde X^t, B^t denotan las traspuestas. Discútelo según los distintos valores de m.

Ejercicio 3A.-

Dadas las matrices A = \(\left( \begin{array}{ccc} 1 & m & 1 \\ m-1 & m & 0 \\ 1 & 1 & 1 \end{array} \right)\) y B = \(\left( \begin{array}{cc} 1 & -1 \\ 2 & 0 \\ 0 & 1 \end{array} \right)\)

a) [1 punto] Calcula los valores de m para los cuales A tiene inversa.

b) [1,5 puntos] Para m = 2, encuentra la matriz X que cumple AX − BB^t = I, siendo B^t la matriz traspuesta de B e I la matriz identidad de orden 3.

Ejercicio 3B.-

Dado el sistema de ecuaciones lineales \[\begin{cases} mx - y + 13z = 0 \\ 2x - my + 4z = 0 \\ x + y + 7z = 0 \end{cases}\]

a) [1,5 puntos] Encuentra los valores de m para los que el sistema tiene infinitas soluciones.

b) [1 punto] Resuelve el sistema para m = 3. En este caso, ¿hay alguna solución en la que x = 10? Razona tu respuesta.

Ejercicio 3A.-

Considera la matriz A = \(\left( \begin{array}{ccc} a & b & c \\ d & e & f \\ g & h & i \end{array} \right)\) de la que se sabe que tiene determinante 5.

a) [1,75 puntos] Calcula, indicando las propiedades que utilices, los determinantes de las matrices siguientes: 3A y \(\left( \begin{array}{ccc} 2a & d+3a & g \\ 2b & e+3b & h \\ 2c & f+3c & i \end{array} \right)\).

b) [0,75 puntos] Si B es otra matriz cuadrada de orden 3 y tiene determinante 4, calcula, indicando también las propiedades que utilices, el determinante de la matriz BA^-1.

Ejercicio 3B.-

Dadas las matrices A = \(\left( \begin{array}{ccc} a & 1 & 1 \\ 1 & a & 1 \\ 1 & 1 & a \end{array} \right)\) y X = \(\left( \begin{array}{c} x \\ y \\ z \end{array} \right)\)

a) [1,5 puntos] Encuentra los valores de a para los que el sistema dado por AX = 2X tiene infinitas soluciones.

b) [1 punto] Para a = 0, si es posible, resuelve AX = 2X.

Ejercicio 3A.- [2,5 puntos]

Dada la matriz A = \(\left( \begin{array}{ccc} 5 & 4 & 3 \\ 4 & 2 & 2 \\ 3 & 2 & 1 \end{array} \right)\), halla la matriz X que cumple AX = (A^-1A^t + I)², siendo A^t la matriz traspuesta de A e I la matriz identidad de orden 3.

Ejercicio 3B.-

Considera el siguiente sistema de ecuaciones lineales \[\begin{cases} x + \lambda y + z = 4 \\ -\lambda x + y + z = 1 \\ x + y + z = \lambda + 3 \end{cases}\]

a) [1,5 puntos] Discute el sistema según los valores de λ.

b) [1 punto] Resuelve el sistema, si es posible, para λ = 1.

Ejercicio 3A.-

Dadas las matrices A = \(\left( \begin{array}{ccc} 1 & m & 1 \\ m-1 & m & 0 \\ 1 & 1 & 1 \end{array} \right)\), B = \(\left( \begin{array}{c} 0 \\ 1 \\ k \end{array} \right)\) y X = \(\left( \begin{array}{c} x \\ y \\ z \end{array} \right)\)

a) [1,25 puntos] Estudia el rango de A según los valores de m.

b) [1,25 puntos] Sabiendo que para m = 1 el sistema dado por AX = B tiene solución, encuentra k y resuélvelo.

Ejercicio 3B.-

Considera el siguiente sistema de ecuaciones lineales \[\begin{cases} mx + (m + 1)z = m \\ my + z = m \\ y + mz = m \end{cases}\]

a) [1,75 puntos] Discute el sistema según los valores de m.

b) [0,75 puntos] Resuélvelo, si es posible, para m = 1.

Ejercicio 3A.-

Considera las siguientes matrices A = \(\left( \begin{array}{ccc} 0 & 0 & 1 \\ 0 & -1 & 0 \\ 1 & 0 & 0 \end{array} \right)\) y B = \(\left( \begin{array}{ccc} a & b & c \\ 0 & 1 & 0 \\ -1 & 0 & 0 \end{array} \right)\)

a) [0,75 puntos] Determina, si existen, los valores de a, b y c para los que las matrices A y B conmutan.

b) [1 punto] Calcula A², A³, A^t y A²⁰¹⁸).

c) [0,75 puntos] Calcula, si existe, la matriz inversa de A.

Ejercicio 3B.-

Considera el siguiente sistema de ecuaciones lineales \[\begin{cases} x + y + mz = m^2 \\ y - z = m \\ x + my + z = m \end{cases}\]

a) [1,5 puntos] Discute el sistema según los valores del parámetro m.

b) [1 punto] Resuélvelo para m = 1. Para dicho valor de m, calcula, si es posible, una solución en la que z = 2.

Ejercicio 3A.-

Considera el siguiente sistema de ecuaciones \[\begin{cases} x + 2y + (m + 3)z = 3 \\ x + y + z = 3m \\ 2x + 4y + 3(m + 1)z = 8 \end{cases}\]

a) [1,75 puntos] Discútelo según los valores del parámetro m.

b) [0,75 puntos] Resuelve el sistema para m = -2.

Ejercicio 3B.-

a) [1,5 puntos] Justifica que es posible hacer un pago de 34,50 euros cumpliendo las siguientes restricciones:

• utilizando únicamente monedas de 50 céntimos de euro, de 1 euro y de 2 euros;
• se tienen que utilizar exactamente un total de 30 monedas;
• tiene que haber igual número de monedas de 1 euro como de 50 céntimos y 2 euros juntas.

¿De cuántas maneras y con cuántas monedas de cada tipo se puede hacer el pago?

b) [1 punto] Si se redondea la cantidad a pagar a 35 euros, justifica si es posible o no seguir haciendo el pago bajo las mismas condiciones que en el apartado anterior.

Ejercicio 3A.-

Considera la matriz M = \(\left( \begin{array}{ccc} 1 & 2 & 3 \\ 6 & 0 & 3 \\ x & y & z \end{array} \right)\). Sabiendo que el determinante de M es 2, calcula los siguientes determinantes e indica las propiedades que utilices:

a) [0,75 puntos] El determinante de la matriz 5M^4.

b) [0,75 puntos] \(\left| \begin{array}{ccc} 2 & 0 & 1 \\ 1 & 2 & 3 \\ x & y & z \end{array} \right|\)

c) [1 punto] \(\left| \begin{array}{ccc} 1 & x+6 & x \\ 2 & y & y \\ 3 & z+3 & z \end{array} \right|\)

Ejercicio 3B.-

Considera la matriz A = \(\left( \begin{array}{ccc} 0 & -1 & -2 \\ 0 & 2 & 0 \\ 1 & 1 & 3 \end{array} \right)\)

a) [0,75 puntos] Halla, si existe, la inversa de A.

b) [1,25 puntos] Determina los valores de m tales que (A - mI) tiene inversa (I es la matriz identidad).

c) [0,5 puntos] Calcula el rango de (A - 2I).

Ejercicio 3A.- (2,5 puntos)

Considera las matrices

\[ A = \left( \begin{array}{ccc} 2 & 0 & 0 \\ 1 & 2 & 1 \\ 1 & 0 & 3 \end{array} \right) \] y \[ X = \left( \begin{array}{c} x \\ y \\ z \end{array} \right) \]

a) [1,5 puntos] Discute el sistema dado por \(AX = mX\) según los valores del parámetro \(m\).

b) [0,5 puntos] Da la solución del sistema en los casos en que es compatible determinado.

c) [0,5 puntos] Para \(m = 3\) resuelve el sistema y halla, si es posible, una solución en la que \(x + y + z = 3\).

Ejercicio 3B.- (2,5 puntos)

Considera el siguiente sistema de ecuaciones

\[\begin{cases} x - z = m \\ my + 3z = 1 \\ 4x + y - mz = 5 \end{cases}\]

a) [1,5 puntos] Discútelo según los valores del parámetro \(m\).

b) [1 punto] Para \(m = 1\) resuelve el sistema y encuentra, si es posible, una solución para la que sea \(x = z\).

Ejercicio 3A.- (2,5 puntos)

Considera las matrices

\[ A = \left( \begin{array}{ccc} 2 & -1 & \lambda \\ 2 & -\lambda & 1 \\ 2\lambda & -1 & 1 \end{array} \right) \], \[ B = \left( \begin{array}{c} -1 \\ 1 \\ 0 \end{array} \right) \] y \[ X = \left( \begin{array}{c} x \\ y \\ z \end{array} \right) \]

a) [1,25 puntos] Discute el rango de A según los valores del parámetro \(\lambda\).

b) [1,25 puntos] Para \(\lambda = -2\), estudia y resuelve el sistema dado por \(AX = B\).

Ejercicio 3B.- [2,5 puntos]

Considera las matrices

\[ A = \left( \begin{array}{ccc} -1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & -1 \\ 0 & -1 & 0 \end{array} \right) \], \[ B = \left( \begin{array}{ccc} -2 & 2 & -1 \\ 1 & 0 & 1 \\ -1 & 2 & -2 \end{array} \right) \], \[ C = \left( \begin{array}{c} 1 \\ -2 \\ 3 \end{array} \right) \] y \[ D = (4 \ -5 \ 6) \]

Determina, si existe, la matriz \(X\) que verifica que \(A^2X - BA + X = CD\).

Ejercicio 3.-

Considera las matrices

\[ A = \left( \begin{array}{ccc} 1 & 1 & 1 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{array} \right) \], \[ B = \left( \begin{array}{c} 0 \\ 1 \\ -1 \end{array} \right) \] y \[ C = \begin{pmatrix} 1 & 1 & 2 \end{pmatrix} \]

a) [1 punto] Calcula \(A^{2018}\).

b) [1,5 puntos] Determina, si existe, la matriz \(X\) que verifica \(A(X + 2I) = BC\) donde \(I\) es la matriz identidad.

Ejercicio 3.-

Considera el siguiente sistema de ecuaciones

\[\begin{cases} x + y + mz = 1 \\ x + my + z = 1 \\ x + 2y + 4z = m \end{cases}\]

a) [1,75 puntos] Discute el sistema en función del parámetro \(m\).

b) [0,75 puntos] Si es posible, resuelve el sistema para \(m = 1\).

Ejercicio 3A.-

Considera el sistema de ecuaciones lineales dado por \(AX = B\) siendo

\[ A = \left( \begin{array}{ccc} 1 & 1 & 1 \\ 2 & 0 & 3 \\ 1 & 3 & m - 2 \end{array} \right) \], \[ X = \left( \begin{array}{c} x \\ y \\ z \end{array} \right) \] y \[ B = \left( \begin{array}{c} m \\ 2m + 1 \\ m - 1 \end{array} \right) \].

a) [1,25 puntos] Discute el sistema según los valores de \(m\).

b) [1,25 puntos] Para \(m = 2\), calcula, si es posible, una solución del sistema anterior para la que \(z = 17\).

Ejercicio 3B.-

Considera \[ A = \left( \begin{array}{ccc} k & 0 & k \\ k + 1 & k & 0 \\ 0 & k + 1 & k + 1 \end{array} \right) \].

a) [1,5 puntos] Discute el rango de \(A\) según los valores de \(k\).

b) [1 punto] Para \(k = 1\), calcula el determinante de \(2\left(A^tA^{-1}\right)^{2017}\), siendo \(A^t\) la traspuesta de \(A\).

Ejercicio 3A.-

Considera \[ A = \left( \begin{array}{ccc} -2 & -2 & 0 \\ -2 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & -2 \end{array} \right) \] y \[ X = \left( \begin{array}{c} x \\ y \\ z \end{array} \right) \]

a) [1 punto] Determina los valores de \(\lambda\) para los que la matriz \(A + \lambda I\) no tiene inversa (\(I\) es la matriz identidad).

b) [1,5 puntos] Resuelve \(AX = -3X\). Determina, si existe, alguna solución con \(x = 1\).

Ejercicio 3B.-

Sabemos que el coste de 3 lápices, 1 rotulador y 2 carpetas es de 15 euros, mientras que el de 2 lápices, 4 rotuladores y 1 carpeta es de 20 euros.

a) [1,5 puntos] Sabiendo que 1 lápiz y 7 rotuladores cuestan 25 euros ¿podemos deducir el precio de cada uno de los artículos? Razona la respuesta.

b) [1 punto] Si por el precio de una carpeta se pueden comprar 10 lápices ¿cuánto cuesta cada uno de los artículos?

Ejercicio 3A.-

Considera las matrices \[ A = \left( \begin{array}{ccc} -2 & 0 & 0 \\ 1 & 1 & 0 \\ 4 & 2 & -2 \end{array} \right) \] y \[ B = \left( \begin{array}{ccc} 2 & 1 & 2 \\ 0 & -1 & 5 \\ 0 & 0 & 2 \end{array} \right) \].

a) [1,25 puntos] Calcula la matriz inversa de \(A + B\).

b) [1,25 puntos] Calcula el determinante de \(2A^{-1}(A + B)^t\), siendo \((A + B)^t\) la matriz traspuesta de \(A + B\).

Ejercicio 3B.- [2,5 puntos]

Considera las matrices

\[ A = \left( \begin{array}{cc} 1 & 2 \\ 2 & 1 \\ 0 & 1 \end{array} \right) \], \[ B = \left( \begin{array}{cc} 3 & 1 & 1 \\ 2 & -1 & 1 \end{array} \right) \] y \[ C = \left( \begin{array}{ccc} 1 & 1 & 0 \\ -1 & 2 & 1 \\ 1 & -1 & 1 \end{array} \right) \].

Determina, si existe, la matriz \(X\) que verifica que \(ABX - 2C = CX\).

Ejercicio 3A.-

Considera las matrices

\[ A = \left( \begin{array}{ccc} -1 & 1 & 2 \\ -2 & 2 & 4 \\ 1 & -1 & -2 \end{array} \right) \], \[ B = \left( \begin{array}{c} 1 \\ 2 \\ -1 \end{array} \right) \], \[ M = \begin{pmatrix} -1 & 1 & 2 \end{pmatrix} \] y \[ X = \left( \begin{array}{c} x \\ y \\ z \end{array} \right) \].

a) [0,75 puntos] Calcula \(BM\).

b) [1 punto] Razona si el sistema dado por \(AX = B\) tiene solución o no y, en caso afirmativo, cuántas soluciones tiene.

c) [0,75 puntos] Resuelve \(AX = B\).

Ejercicio 3B.-

Considera el siguiente sistema de ecuaciones

\[\begin{cases} 3x + ky = 1 \\ 2x - y + kz = 1 \\ x - 3y + 2z = 1 \end{cases}\]

del que se sabe que para un cierto valor de \(k\) es compatible indeterminado.

a) [1,5 puntos] Determina el valor de \(k\).

b) [1 punto] Resuelve el sistema para \(k = 1\).

Ejercicio 3A.-

Considera la matriz \[ A = \left( \begin{array}{cc} 2 & -1 \\ -1 & 0 \end{array} \right) \].

a) [0,5 puntos] Comprueba que \(AA^t - 2A = I\) (\(A^t\) denota la traspuesta de \(A\) e \(I\) la matriz identidad).

b) [0,75 puntos] Calcula \(A^{-1}\).

c) [1,25 puntos] Determina, si existe, la matriz \(X\) que verifica \(XA + I = 3A\).

Ejercicio 3B.-

Sea \(A\) una matriz \(3 \times 3\) tal que \(\det(2A) = 8\).

a) [0,5 puntos] ¿Cuánto vale \(\det(A)\)?

b) [0,75 puntos] Siendo \(B\) la matriz que se obtiene de \(A\) multiplicando por 3 la primera fila y por -1 la tercera, ¿cuánto vale \(\det(B)\)?

c) [1,25 puntos] Determina los valores de \(x\) para los que la siguiente matriz \(A\) verifica que \(\det(2A) = 8\),

\[ A = \left( \begin{array}{ccc} x & 1 & 1 \\ x + 1 & 2 & 2 \\ x & -x + 2 & 1 \end{array} \right) \].

Ejercicio 3A.-

Considera el sistema de ecuaciones lineales dado por \(AX = B\) siendo

\[ A = \left( \begin{array}{ccc} 1 & -1 & 1 \\ 1 & m & m \\ m & 1 & 3 \end{array} \right) \], \[ X = \left( \begin{array}{c} x \\ y \\ z \end{array} \right) \] y \[ B = \left( \begin{array}{c} 1 \\ 1 \\ m \end{array} \right) \].

a) [1,5 puntos] Discute el sistema según los valores de \(m\).

b) [1 punto] Para \(m = 2\), si es posible, resuelve el sistema dado.

Ejercicio 3B.-

Considera las matrices

\[ A = \left( \begin{array}{ccc} 1 & 0 & m - 1 \\ 0 & m - 1 & 2 - m \\ 0 & -1 & 2 - m \end{array} \right) \] y \[ B = \left( \begin{array}{ccc} -1 & 0 & 1 \\ 1 & -1 & 0 \\ 0 & 1 & -1 \end{array} \right) \].

a) [1 punto] Determina los valores de \(m\) para los que la matriz \(A\) no tiene inversa.

b) [1,5 puntos] Para \(m = 1\), calcula, si existe, la matriz \(X\) que verifica la igualdad \(A^{-1}XA + I = B\), siendo \(I\) la matriz identidad.

Ejercicio 3A.-

Considera el siguiente sistema de ecuaciones lineales,

\[\begin{cases} 2x - 4y + 2z = 1 \\ 5x - 11y + 9z = \lambda \\ x - 3y + 5z = 2 \end{cases}\]

a) [1'75 puntos] Discute el sistema según los valores de \(\lambda\).

b) [0'75 puntos] Resuélvelo, si es posible, para \(\lambda = 4\).

Ejercicio 3B.-

Considera \[ A = \left( \begin{array}{c} 1 \\ -1 \\ 0 \end{array} \right) \], \[ B = \left( \begin{array}{c} 1 \\ 1 \\ 1 \end{array} \right) \] y \[ C = \left( \begin{array}{ccc} 1 & 1 & 1 \\ -1 & -1 & -1 \\ 0 & 0 & 0 \end{array} \right) \].

a) [1 punto] Calcula el rango de \(AB^T + \lambda I\) según los valores de \(\lambda\) (\(B^T\) es la matriz traspuesta de \(B\), \(I\) es la matriz identidad de orden 3).

b) [1'5 puntos] Calcula la matriz \(X\) que verifica \(CX - X = 2I\).

Ejercicio 3A.-

Considera las matrices

\[ A = \left( \begin{array}{ccc} -1 & 1 & 1 \\ 0 & 1 & 0 \\ -2 & 1 & 1 \end{array} \right) \] y \[ B = \left( \begin{array}{ccc} -3 & 3 & 2 \\ -8 & 7 & 4 \\ 8 & -6 & -3 \end{array} \right) \].

a) [1'75 puntos] Halla la matriz \(X\) que verifica \(AX + B = 2A\).

b) [0'75 puntos] Calcula \(B^2\) y \(B^{2016}\).

Ejercicio 3B.-

Se considera el sistema de ecuaciones lineales

\[\begin{cases} (3\alpha - 1)x + 2y = 5 - \alpha \\ \alpha x + y = 2 \\ 3\alpha x + 3y = \alpha + 5 \end{cases}\]

a) [1'5 puntos] Discútelo según los valores del parámetro \(\alpha\).

b) [1 punto] Resuélvelo para \(\alpha = 1\) y determina en dicho caso, si existe, alguna solución donde \(x = 4\).

Ejercicio 3A. (2'5 Puntos).

Considera las matrices \[ A = \left( \begin{array}{cc} 1 & 0 \\ 1 & 1 \end{array} \right) \] y \[ B = \left( \begin{array}{cc} 1 & 2 \\ 0 & 1 \end{array} \right) \].

Determina, si existe, la matriz X que verifica: \(AX + B^2 = BX + A^2\).

Ejercicio 3B.

Se considera el siguiente sistema de ecuaciones lineales

\[\begin{cases} x + \lambda y + z = \lambda \\ \lambda x + y + z = 1 \\ x + y + \lambda z = 1 \end{cases}\]

a) (1'75 Puntos). Determina, si existen, los valores de \(\lambda\) para los que el sistema tiene infinitas soluciones.

b) (0'75 Puntos). Resuelve el sistema para \(\lambda = -2\).

Ejercicio 3A.-

Sea la matriz \[ A = \left( \begin{array}{ccc} 2 & 1 & 0 \\ 0 & 1 & -1 \\ 0 & 2 & 4 \end{array} \right) \]

a) [1'75 puntos] Estudia, según los valores de \(\lambda\), el rango de la matriz \(A - \lambda I\), siendo \(I\) la matriz identidad de orden tres.

b) [0'75 puntos] Resuelve el sistema dado por \((A - 2I)\left( \begin{array}{c} x \\ y \\ z \end{array} \right) = \left( \begin{array}{c} 0 \\ 0 \\ 0 \end{array} \right)\)

Ejercicio 3B.-

Considera el siguiente sistema de ecuaciones lineales

\[\begin{cases} x + (\lambda + 1)y + z = 1 \\ \lambda y + z = 0 \\ \lambda y + \lambda z = \lambda \end{cases}\]

a) [1 punto] Discútelo según los valores de \(\lambda\).

b) [0'75 puntos] Resuélvelo para \(\lambda = 0\).

c) [0'75 puntos] Determina, si existe, el valor de \(\lambda\) para el que hay una solución en la que \(z = 2\). Calcula esa solución.

Ejercicio 3A.- Considera el sistema de ecuaciones dado en forma matricial mediante AX = B siendo

\( A = \left( \begin{array}{ccc} 1 & 1 & 2 \\ -1 & m + 2 & m \\ 1 & 1 & m + 2 \end{array} \right) \), \( B = \left( \begin{array}{c} 1 - m \\ m \\ 7 \end{array} \right) \) y \( X = \left( \begin{array}{c} x \\ y \\ z \end{array} \right) \).

a) [1'5 puntos] Discute el sistema según los valores de m.

b) [1 punto] Resuelve el sistema para m = −3 y determina en dicho caso, si existe, una solución en la que x = 2.

Ejercicio 3B.- De los datos recabados en un informe sobre los beneficios obtenidos por las empresas A, B y C el pasado año, se desprende lo siguiente:

• la empresa B obtiene el mismo beneficio que las empresas A y C juntas.
• el beneficio de la empresa A es la media aritmética del de las otras dos.

a) [1'5 puntos] Determina si se puede hallar el beneficio de cada empresa sabiendo que A ha obtenido el doble que C.

b) [1 punto] Calcula el beneficio de cada empresa sabiendo que entre las tres han obtenido 210 millones de euros.

Ejercicio 3A.- Considera la matriz \(A = \left( \begin{array}{cc} k & 1 + k \\ 1 - k & 0 \end{array} \right) \). Determina, si existen, los valores de k en cada uno de los casos siguientes:

a) [0'75 puntos] rango(A) = 1.

b) [0'75 puntos] A² = A.

c) [0'5 puntos] A tiene inversa.

d) [0'5 puntos] det(A) = −2.

Ejercicio 3B.- Considera la matriz: \(A = \left( \begin{array}{ccc} 1 & 0 & \lambda + 1 \\ \lambda & 1 & -1 \\ 0 & 0 & 1 \end{array} \right) \).

a) [1'5 puntos] Determina, si existen, los valores de λ para los que A⁻¹ = 2I − A (siendo I la matriz identidad de orden 3).

b) [1 punto] Determina, si existen, los valores de λ para los que la matriz A + Aᵀ no tiene inversa (Aᵀ es la matriz traspuesta de A).

Ejercicio 3A.- Considera las siguientes matrices:

\( A = \left( \begin{array}{cc} -1 & 2 \\ 2 & -1 \end{array} \right) \), \( B = \left( \begin{array}{ccc} 1 & 0 & 0 \\ -2 & 1 & 0 \\ 3 & 2 & 1 \end{array} \right) \) y \( C = \left( \begin{array}{ccc} 1 & 0 & 0 \\ -1 & 5 & 0 \end{array} \right) \).

a) [1'5 puntos] Determina la matriz X para la que A^tXB^-1 = C, (A^t es la traspuesta de A).

b) [1 punto] Calcula el determinante de B^{-1}(C^tC)B, (C^t es la traspuesta de C).

Ejercicio 3B.- Considera el siguiente sistema de ecuaciones

\begin{cases} 2x + y + (\alpha - 1)z &= \alpha - 1 \\ x - \alpha y - 3z &= 1 \\ x + y + 2z &= 2\alpha - 2 \end{cases}

a) [1 punto] Resuelve el sistema para α = 1.

b) [1'5 puntos] Determina, si existe, el valor de α para el que (x, y, z) = (1, −3, α) es la única solución del sistema dado.

Ejercicio 3A.- Considera el siguiente sistema de ecuaciones

\begin{cases} \lambda x + y - z &= -1 \\ \lambda x + \lambda z &= \lambda \\ x + y - \lambda z &= 0 \end{cases}

a) [1'5 puntos] Discute el sistema según los valores de λ.

b) [1 punto] Resuelve el sistema para λ = 0.

Ejercicio 3B.- Considera las matrices

\( A = \left( \begin{array}{cc} -1 & 2 \\ 2 & m \end{array} \right) \) y \( B = \left( \begin{array}{ccc} 1 & 2 & 0 \\ -2 & m & 0 \\ 3 & 2 & m \end{array} \right) \)

a) [1'5 puntos] Encuentra el valor, o los valores, de m para los que A y B tienen el mismo rango.

b) [1 punto] Determina, si existen, los valores de m para los que A y B tienen el mismo determinante.

Ejercicio 3A.- [2'5 puntos] Halla la matriz X que verifica la igualdad AXA^-1 + B = CA^-1 sabiendo que

\( A = \left( \begin{array}{ccc} 0 & -1 & 0 \\ -1 & -3 & 0 \\ 1 & 4 & 1 \end{array} \right) \), \( C = \left( \begin{array}{ccc} 1 & -1 & 2 \\ 0 & 0 & -1 \\ 1 & 0 & -1 \end{array} \right) \) y \( BA = \left( \begin{array}{ccc} 1 & 1 & 0 \\ 1 & 1 & -1 \\ -1 & -5 & -3 \end{array} \right) \).

Ejercicio 3B.- Considera el siguiente sistema de ecuaciones

\begin{cases} \lambda x + \lambda y + \lambda z &= 0 \\ \lambda x + 2y + 2z &= 0 \\ \lambda x + 2y + z &= 0 \end{cases}

a) [1'75 puntos] Discute el sistema según los valores de λ.

b) [0'75 puntos] Determina, si existen, los valores de λ para los que el sistema tiene alguna solución en la que z ≠ 0.

Ejercicio 3A.- Considera la matriz A = \left( \begin{array}{ccc} 0 & 1 & m \\ m - 1 & 0 & 2 \\ 0 & 1 - m & 0 \end{array} \right) \).

a) [1'75 puntos] Halla el valor, o valores, de m para los que la matriz A tiene rango 2.

b) [0'75 puntos] Para m = 1, determina A²⁰¹⁵.

Ejercicio 3B.- Considera el siguiente sistema de ecuaciones

\begin{cases} x + \alpha z &= 2 \\ 2x + \alpha y &= \alpha + 4 \\ 3x + y + (\alpha + 4)z &= 7 \end{cases}

a) [1'75 puntos] Discute el sistema según los valores de α.

b) [0'75 puntos] Resuelve el sistema para α = 2.

Ejercicio 3A.- Considera el siguiente sistema de ecuaciones

\begin{cases} \alpha x + y + 3z &= 4 \\ x + y - 2z &= -2 \\ -x + 2y + (3 + \alpha)z &= 4 + \alpha \end{cases}

a) [1'25 puntos] Determina, si existen, los valores de α para los que el sistema dado tiene solución única.

b) [1'25 puntos] Determina, si existen, los valores de α para los que el sistema dado tiene al menos dos soluciones. Halla todas las soluciones en dichos casos.

Ejercicio 3B.- Considera las matrices

\( A = \left( \begin{array}{cc} 1 & 2 \\ 1 & 1 \end{array} \right) \) y \( B = \left( \begin{array}{cc} 4 & -1 \\ 4 & 1 \end{array} \right) \).

a) [1 punto] Halla el determinante de una matriz X que verifique la igualdad X²AX = B.

b) [1'5 puntos] Determina, si existe, la matriz Y que verifica la igualdad A²YB^-1 = A.

Ejercicio 3A.- Considera el sistema dado por AX = B

\( A = \left( \begin{array}{ccc} \alpha & 2 & -1 \\ 0 & 1 & 2 \\ 3 & 4 & \alpha \end{array} \right) \), \( B = \left( \begin{array}{c} 1 \\ \alpha - 2 \\ 3 \end{array} \right) \) y \( X = \left( \begin{array}{c} x \\ y \\ z \end{array} \right) \).

a) [0'75 puntos] Determina, si existen, los valores de α para los que el sistema tiene solución única.

b) [0'75 puntos] Determina, si existen, los valores de α para los que el sistema no tiene solución.

c) [1 punto] Determina, si existen, los valores de α para los que el sistema tiene al menos dos soluciones. Halla todas las soluciones en dichos casos.

Ejercicio 3B.- Considera las matrices

\( A = \left( \begin{array}{ccc} 1 & 1 & 1 \\ 1 & 2 & 3 \\ 1 & 4 & 9 \end{array} \right) \) y \( B = \left( \begin{array}{ccc} -1 & 1 & 1 \\ 1 & -1 & 1 \\ 1 & 1 & -1 \end{array} \right) \).

(a) [1'75 puntos] Halla la matriz X que verifica AX - B = I (I denota la matriz identidad de orden 3).

(b) [0'75 puntos] Calcula el determinante de la matriz (A²B⁻¹)²⁰¹⁵.

Ejercicio 3A.- Considera el siguiente sistema de ecuaciones

\begin{cases} x - y + mz &= 0 \\ mx + 2y + z &= 0 \\ -x + y + 2mz &= 0 \end{cases}

a) [0'75 puntos] Halla los valores del parámetro m para los que el sistema tiene una única solución.

b) [1 punto] Halla los valores del parámetro m para los que el sistema tiene alguna solución distinta de la solución nula.

c) [0'75 puntos] Resuelve el sistema para m = −2.

Ejercicio 3B.- Sabiendo que el determinante de la matriz A = \(\left( \begin{array}{ccc} x & y & z \\ 1 & 0 & 1 \\ 1 & 2 & 3 \end{array} \right)\) es 2, calcula los siguientes determinantes indicando, en cada caso, las propiedades que utilices:

a) [0'5 puntos] det(3A)

b) [0'5 puntos] det(A^-1)

c) [0'75 puntos] \(\left| \begin{array}{ccc} 3 & 0 & 1 \\ 3x & 2y & z \\ 3 & 4 & 3 \end{array} \right|\)

d) [0'75 puntos] \(\left| \begin{array}{ccc} 1 & 2 & 3 \\ x + 2 & y + 4 & z + 6 \\ -1 & 0 & -1 \end{array} \right|\)

Ejercicio 3A.- Considera el siguiente sistema de ecuaciones lineales

\begin{cases} x + 2y - 3z = 3 \\ 2x + 3y + z = 5 \end{cases}

a) [1'5 puntos] Calcula α de manera que al añadir una tercera ecuación de la forma αx + y - 7z = 1 el sistema resultante tenga las mismas soluciones que el original.

b) [1 punto] Calcula las soluciones del sistema dado tales que la suma de los valores de las incógnitas sea 4.

Ejercicio 3B.- [2'5 puntos] Considera las matrices

\( A = \left( \begin{array}{ccc} 0 & 1 & 1 \\ 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{array} \right) \) y \( B = \left( \begin{array}{ccc} 1 & -1 & 1 \\ 1 & -1 & 0 \\ -1 & 2 & 3 \end{array} \right) \)

Determina, si existe, la matriz X que verifica AX + B = A².

Ejercicio 3A.- Sabiendo que el determinante de la matriz A = \( \left( \begin{array}{ccc} a & b & c \\ b & d & e \\ c & e & f \end{array} \right) \) es 3, halla los siguientes determinantes indicando, en cada caso, las propiedades que utilices:

a) [1 punto] det(A³), det(A⁻¹), det(A + Aᵗ) (Aᵗ indica la traspuesta de A).

b) [0'75 puntos] det\( \left( \begin{array}{ccc} a & b & c \\ c & e & f \\ 2b & 2d & 2e \end{array} \right) \).

c) [0'75 puntos] det\( \left( \begin{array}{ccc} a & b & 4a - c \\ b & d & 4b - e \\ c & e & 4c - f \end{array} \right) \).

Ejercicio 3B.- Considera el siguiente sistema de ecuaciones

\begin{cases} mx - 2y + z = 1 \\ x - 2my + z = -2 \\ x - 2y + mz = 1 \end{cases}

a) [1'75 puntos] Discute el sistema según los valores del parámetro m.

b) [0'75 puntos] Si es posible, resuelve el sistema para m = -2.

Ejercicio 3A.- Se sabe que el determinante de la matriz A = \( \left( \begin{array}{ccc} a_{11} & a_{12} & a_{13} \\ a_{21} & a_{22} & a_{23} \\ a_{31} & a_{32} & a_{33} \end{array} \right) \) es -3. Calcula, indicando las propiedades que utilices, los siguientes determinantes:

a) [1 punto] det(-2A) y det(A⁻¹).

b) [1'5 puntos] \( \left| \begin{array}{ccc} a_{21} & a_{22} & a_{23} \\ 7a_{11} & 7a_{12} & 7a_{13} \\ 2a_{31} & 2a_{32} & 2a_{33} \end{array} \right| \) y \( \left| \begin{array}{ccc} a_{11} & a_{21} + 2a_{31} & 5a_{31} \\ a_{12} & a_{22} + 2a_{32} & 5a_{32} \\ a_{13} & a_{23} + 2a_{33} & 5a_{33} \end{array} \right| \).

Ejercicio 3B.- Considera las matrices,

A = \( \left( \begin{array}{ccc} 1 & 0 & 2 \\ 1 & 1 & 1 \\ 2 & 3 & 0 \end{array} \right) \) y B = \( \left( \begin{array}{ccc} 2 & 0 & -3 \\ 3 & -1 & -3 \\ -1 & -2 & -1 \end{array} \right) \).

a) [0'5 puntos] Calcula A⁻¹.

b) [2 puntos] Halla la matriz X que verifica que A^t X + B = I, siendo I la matriz identidad y A^t la matriz traspuesta de A.

Ejercicio 3A.- Considera el siguiente sistema de ecuaciones lineales

\begin{cases} x + (m + 1)y + 2z = -1 \\ mx + y + z = m \\ (1 - m)x + 2y + z = -m - 1 \end{cases}

a) [1'75 puntos] Discute el sistema según los valores del parámetro m.

b) [0'75 puntos] Resuélvelo para m = 2. Para dicho valor de m, calcula, si es posible, una solución en la que z = 2.

Ejercicio 3B.- Considera las matrices

A = \( \left( \begin{array}{cc} 1 + m & 1 \\ 1 & 1 - m \end{array} \right) \) y B = \( \left( \begin{array}{cc} 1 & -1 \\ 1 & 0 \end{array} \right) \)

a) [0'75 puntos] ¿Para qué valores de m se verifica que A² = 2A + I? (I denota la matriz identidad).

b) [1'75 puntos] Para m = 1, calcula A⁻¹ y la matriz X que satisface AX - B = AB.

Ejercicio 3.- Considera el siguiente sistema de ecuaciones con incógnitas x, y, z,

\begin{cases} \lambda y + (\lambda + 1)z = \lambda \\ \lambda x + z = \lambda \\ x + \lambda z = \lambda \end{cases}

a) [1'5 puntos] Discute el sistema según los valores del parámetro λ.

b) [0'5 puntos] Resuelve el sistema para λ = 1.

c) [0'5 puntos] Para λ = 0, si es posible, da tres soluciones distintas.

Ejercicio 3.- [2'5 puntos] Considera las matrices

A = \( \left( \begin{array}{ccc} 1 & 0 & 0 \\ 0 & -2 & 1 \\ 0 & -5 & 3 \end{array} \right) \) y B = \( \left( \begin{array}{ccc} 0 & 0 & 1 \\ 1 & 1 & 1 \\ 1 & 0 & 0 \end{array} \right) \).

Halla la matriz X que verifica A⁻¹XA = B - A.

Ejercicio 3A.- Considera las matrices

A = \( \left( \begin{array}{ccc} 1 & 0 & 1 \\ 1 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 2 \end{array} \right) \) y B = \( \left( \begin{array}{ccc} -1 & 1 & 1 \\ 1 & -1 & 1 \\ 0 & 0 & -1 \end{array} \right) \).

a) [1 punto] Halla, si es posible, A⁻¹ y B⁻¹.

b) [0'25 puntos] Halla el determinante de AB²⁰¹³A^t siendo A^t la matriz traspuesta de A.

c) [1'25 puntos] Calcula la matriz X que satisface AX - B = AB.

Ejercicio 3B.- Considera el siguiente sistema de ecuaciones lineales,

\begin{cases} 2x - 4y + 6z = 6 \\ my + 2z = m + 1 \\ -3x + 6y - 3mz = -9 \end{cases}

a) [1'75 puntos] Discute el sistema según los valores del parámetro m.

b) [0'75 puntos] Resuélvelo para m = 3. Para dicho valor de m, calcula, si es posible, una solución en la que y = 0.

Ejercicio 3A.- Sea M = \( \left( \begin{array}{ccc} 1 & 0 & -1 \\ 0 & m + 1 & 0 \\ 1 & 1 & m - 1 \end{array} \right) \).

a) [0'75 puntos] Determina los valores de m para los que los vectores fila de M son linealmente independientes.

b) [1 punto] Estudia el rango de M según los valores de m.

c) [0'75 puntos] Para m = 1, calcula la inversa de M.

Ejercicio 3B.- Sea A = \( \left( \begin{array}{cc} 1 & 1 \\ 1 & -1 \end{array} \right) \).

a) [1'5 puntos] Comprueba que A² = 2I y calcula A⁻¹.

b) [1 punto] Calcula A²⁰¹³ y su inversa.

Ejercicio 3A.- Considera las matrices

A = \( \left( \begin{array}{ccc} -1 & 1 & 0 \\ 2 & 0 & 0 \\ 1 & 0 & 1 \end{array} \right) \), B = \( \left( \begin{array}{ccc} 0 & 2 & 1 \\ 1 & 2 & 0 \end{array} \right) \) y C = \( \left( \begin{array}{cc} 1 & 2 \\ -1 & 6 \end{array} \right) \).

a) [0'75 puntos] Halla A⁻¹.

b) [1'25 puntos] Calcula la matriz X que satisface AX = B^t C (B^t es la matriz traspuesta de B).

c) [0'5 puntos] Halla el determinante de A²⁰¹³B^t B(A⁻¹)²⁰¹³.

Ejercicio 3B.- Sabiendo que el determinante de una matriz A = \( \left( \begin{array}{ccc} a & b & c \\ d & e & f \\ p & q & r \end{array} \right) \) es 4, calcula los siguientes determinantes indicando, en cada caso, las propiedades que utilizas:

a) [1 punto] det(-2A) y det(A⁻¹).

b) [1'5 puntos] \( \left| \begin{array}{ccc} a & -b & c \\ 2d & -2e & 2f \\ p & -q & r \end{array} \right| \) y \( \left| \begin{array}{ccc} -3d & -3e & -3f \\ a & b & c \\ -p & -q & -r \end{array} \right| \)

Ejercicio 3A.- Considera el siguiente sistema de ecuaciones lineales,

\begin{cases} x + 2y + z = 0 \\ x - y + mz = m - 2 \\ mx + y + 3z = m - 2 \end{cases}

a) [1'75 puntos] Discute el sistema según los valores del parámetro m.

b) [0'75 puntos] Resuélvelo, si es posible, para m = 2.

Ejercicio 3B.- Sea M una matriz cuadrada de orden 3 tal que su determinante es det(M) = 2. Calcula:

a) [0'5 puntos] El rango de M³.

b) [0'75 puntos] El determinante de 2M^t (M^t es la matriz traspuesta de M).

c) [0'75 puntos] El determinante de (M⁻¹)².

d) [0'5 puntos] El determinante de N, donde N es la matriz resultante de intercambiar la primera y segunda filas de M.

Ejercicio 3A.- Sean

A = \( \left( \begin{array}{ccc} -2 & 1 & -3 \\ -1 & m & m - 2 \\ m & 0 & 2 \end{array} \right) \), B = \( \left( \begin{array}{c} 1 \\ 1 \\ 0 \end{array} \right) \) y X = \( \left( \begin{array}{c} x \\ y \\ z \end{array} \right) \).

a) [1'25 puntos] Determina el rango de A según los valores del parámetro m.

b) [0'75 puntos] Discute el sistema AX = B según los valores del parámetro m.

c) [0'5 puntos] Resuelve el sistema AX = B para m = 1.

Ejercicio 3B.- Sean A y B las matrices

A = \( \left( \begin{array}{cc} 2 & -3 \\ -3 & 5 \end{array} \right) \) y B = \( \left( \begin{array}{cc} 1 & -4 \\ -9 & 5 \end{array} \right) \).

a) [1'25 puntos] Calcula las matrices X e Y para las que 2X - Y = A y X - 3Y = B.

b) [1'25 puntos] Halla la matriz Z que verifica B² + ZA + B^t = 3I (I denota la matriz identidad y B^t la matriz traspuesta de B).

Ejercicio 3A.- Considera el siguiente sistema de ecuaciones lineales

\begin{cases} x - y + z = 0 \\ 2x + 3y - z = 3 \end{cases}

a) [1'5 puntos] Determina el valor de m para el que al añadir la ecuación

x + my + 4z = -3

al sistema anterior se obtenga un sistema con las mismas soluciones.

b) [1 punto] Calcula la solución del sistema para la que la suma de los valores de las incógnitas sea 6.

Ejercicio 3B.- Considera las matrices A = \( \left( \begin{array}{cc} -1 & 2 \\ 0 & 1 \end{array} \right) \) y B = \( \left( \begin{array}{cc} 1 & -1 \\ 1 & 0 \end{array} \right) \).

a) [1'25 puntos] Calcula X e Y tales que X - Y = A^t y 2X - Y = B (A^t es la matriz traspuesta de A).

b) [1'25 puntos] Calcula Z tal que AZ = BZ + A.

Ejercicio 3A.- Considera el siguiente sistema de ecuaciones con dos incógnitas

\[ \begin{cases} kx + 2y = 2 \\ 2x + ky = k \\ x - y = -1 \end{cases} \]

a) [0'5 puntos] Prueba que el sistema es compatible para cualquier valor del parámetro k.

b) [1 punto] Especifica para qué valores del parámetro k es determinado y para cuáles indeterminado.

c) [1 punto] Halla las soluciones en cada caso.

Ejercicio 3B.- Considera el sistema de ecuaciones con tres incógnitas

\[ \begin{cases} x - y = \lambda \\ 2\lambda y + \lambda z = \lambda \\ -x - y + \lambda z = 0 \end{cases} \]

a) [1'25 puntos] Clasifícalo según los distintos valores del parámetro \(\lambda\).

b) [1'25 puntos] Resuélvelo para \(\lambda = 0\) y \(\lambda = -1\).

Ejercicio 3A.- Sea la matriz A = \begin{pmatrix} 0 & 0 & 1 \\ 2 & 1 & 2 \\ 1 & k & 1 \end{pmatrix}

a) [1 punto] ¿Para qué valores del parámetro k no existe la inversa de la matriz A? Justifica la respuesta.

b) [1'5 puntos] Para k = 0, resuelve la ecuación matricial (X + I)· A = A^t, donde I denota la matriz identidad y A^t la matriz traspuesta de A.

Ejercicio 3B.- Considera el sistema de ecuaciones

\[ \begin{cases} x + y + z = \lambda + 1 \\ 3y + 2z = 2\lambda + 3 \\ 3x + (\lambda - 1)y + z = \lambda \end{cases} \]

a) [1 punto] Resuelve el sistema para \(\lambda = 1\).

b) [1 punto] Halla los valores de \(\lambda\) para los que el sistema tiene una única solución.

c) [0'5 puntos] ¿Existe algún valor de \(\lambda\) para el que el sistema admite la solución \(\left(\frac{-1}{2}, 0, \frac{1}{2}\right)\)?

Ejercicio 3A.- [2'5 puntos] Considera las matrices

\[ A = \begin{pmatrix} 1 & 2 & 0 \\ 0 & 1 & 2 \\ 1 & 2 & 1 \end{pmatrix} \quad B = \begin{pmatrix} 0 & 1 \\ 1 & 0 \end{pmatrix} \quad \text{y} \quad C = \begin{pmatrix} -1 & 2 & 0 \\ 1 & 1 & 2 \end{pmatrix} \]

Determina, si existe, la matriz X que verifica AXB = C^t, siendo C^t la matriz traspuesta de C.

Ejercicio 3B.- Dado el sistema de ecuaciones

\[ \begin{cases} kx + 2y &= 3 \\ -x + 2kz &= -1 \\ 3x - y - 7z &= k+1 \end{cases} \]

a) [1'75 puntos] Estudia el sistema para los distintos valores del parámetro k.

b) [0'75 puntos] Resuélvelo para k = 1.

Ejercicio 3A.- Considera el sistema de ecuaciones

\[ \begin{cases} x + (k + 1)y + 2z &= -1 \\ kx + y + z &= 2 \\ x - 2y - z &= k + 1 \end{cases} \]

a) [1'75 puntos] Clasifícalo según los distintos valores de k.

b) [0'75 puntos] Resuélvelo para el caso k = 2.

Ejercicio 3B.- [2'5 puntos] Encuentra la matriz X que satisface la ecuación XA + A³B = A, siendo

\[ A = \begin{pmatrix} 0 & 0 & 1 \\ 0 & 1 & 0 \\ 1 & 0 & 0 \end{pmatrix} \quad \text{y} \quad B = \begin{pmatrix} 2 & -1 & 0 \\ 0 & 2 & -1 \\ -1 & 0 & 2 \end{pmatrix} \]

Ejercicio 3A.- Considera el sistema de ecuaciones

\[ \begin{cases} x + ky + 2z &= k + 1 \\ x + 2y + kz &= 3 \\ (k + 1)x + y + z &= k + 2 \end{cases} \]

a) [1'25 puntos] Determina los valores de k para los que el sistema tiene más de una solución.

b) [0'5 puntos] ¿Existe algún valor de k para el cual el sistema no tiene solución?

c) [0'75 puntos] Resuelve el sistema para k = 0.

Ejercicio 3B.- Dada la matriz A = \(\begin{pmatrix} 3 & -2 \\ 5 & 1 \end{pmatrix}\), sea B la matriz que verifica que AB = \(\begin{pmatrix} -2 & 1 \\ 7 & 3 \end{pmatrix}\)

a) [1 punto] Comprueba que las matrices A y B poseen inversas.

b) [1'5 puntos] Resuelve la ecuación matricial A^-1X - B = BA.

Ejercicio 3A.- Un estudiante ha gastado 57 euros en una papelería por la compra de un libro, una calculadora y un estuche. Sabemos que el libro cuesta el doble que el total de la calculadora y el estuche juntos.

a) [1'25 puntos] ¿Es posible determinar de forma única el precio del libro? ¿Y el de la calculadora? Razona las respuestas.

b) [1'25 puntos] Si el precio del libro, la calculadora y el estuche hubieran sufrido un 50%, un 20% y un 25% de descuento respectivamente, el estudiante habría pagado un total de 34 euros. Calcula el precio de cada artículo.

Ejercicio 3B.- Considera el sistema de ecuaciones

\[ \begin{cases} x + y + kz &= 1 \\ 2x + ky &= 1 \\ y + 2z &= k \end{cases} \]

a) [1 punto] Clasifica el sistema según los valores del parámetro k.

b) [0'75 puntos] Resuélvelo para k = 1.

c) [0'75 puntos] Resuélvelo para k = -1.

Ejercicio 3A.- Dadas las matrices

\[ A = \begin{pmatrix} \alpha & 1 & -1 \\ 1 & \alpha & -1 \\ -1 & -1 & \alpha \end{pmatrix} \quad \text{y} \quad B = \begin{pmatrix} 0 \\ 1 \\ 1 \end{pmatrix} \]

a) [1'75 puntos] Calcula el rango de A dependiendo de los valores de α.

b) [0'75 puntos] Para α = 2, resuelve la ecuación matricial AX = B.

Ejercicio 3B.- Sean las matrices \[ A = \begin{pmatrix} \alpha & 1 \\ -\alpha & 3 \end{pmatrix} \quad \text{y} \quad B = \begin{pmatrix} 1 & 3 & 1 \\ -1 & 4 & 2 \end{pmatrix} \]

a) [1'25 puntos] Calcula los valores de α para los que la matriz inversa de A es \(\frac{1}{12}A\).

b) [1'25 puntos] Para α = -3, determina la matriz X que verifica la ecuación A^tX = B, siendo A^t la matriz traspuesta de A.

Ejercicio 3A.- Dado el sistema de ecuaciones lineales

\[ \begin{cases} -\lambda x + y + z = 1 \\ x + \lambda y + z = 2 \\ \lambda x + y + z = 1 \end{cases} \]

a) [1'75 puntos] Clasifica el sistema según los valores del parámetro λ.

b) [0'75 puntos] Resuelve el sistema para λ = 0.

Ejercicio 3B.- Dada la matriz \[ A = \begin{pmatrix} \lambda + 1 & 0 \\ 1 & -1 \end{pmatrix} \]

a) [1'25 puntos] Determina los valores de λ para los que la matriz A² + 3A no tiene inversa.

b) [1'25 puntos] Para λ = 0, halla la matriz X que verifica la ecuación AX + A = 2I, siendo I la matriz identidad de orden 2.

Ejercicio 3A.- Sean A y B dos matrices cuadradas de orden 3 cuyos determinantes son |A| = \(\frac{1}{2}\) y |B| = -2. Halla:

a) [0'5 puntos] |A³|.

b) [0'5 puntos] |A^-1|.

c) [0'5 puntos] |-2A|.

d) [0'5 puntos] |AB^t|, siendo B^t la matriz traspuesta de B.

e) [0'5 puntos] El rango de B.

Ejercicio 3B.- Dada la matriz

\[ A = \begin{pmatrix} 0 & 3 & 4 \\ 1 & -4 & -5 \\ -1 & 3 & 4 \end{pmatrix} \]

a) [0'5 puntos] Demuestra que se verifica la igualdad A³ = -I, siendo I la matriz identidad de orden 3.

b) [1'25 puntos] Justifica que A es invertible y halla su inversa.

c) [0'75 puntos] Calcula razonadamente A¹⁰⁰.

Ejercicio 3A.- Considera las matrices

\[ A = \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & \lambda & 1 \\ 0 & -1 & \lambda \end{pmatrix} \quad \text{y} \quad B = \begin{pmatrix} 0 & 0 & 1 \\ 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \end{pmatrix} \]

a) [1 punto] ¿Hay algún valor de λ para el que A no tiene inversa?

b) [1'5 puntos] Para λ = 1, resuelve la ecuación matricial A^-1XA = B.

Ejercicio 3B.- Dadas las matrices

\[ A = \begin{pmatrix} 1 & 1 & 0 \\ 2 & t + 1 & t - 1 \\ -2t - 1 & 0 & t + 3 \end{pmatrix} \quad \text{y} \quad X = \begin{pmatrix} x \\ y \\ z \end{pmatrix} \]

a) [1'75 puntos] Calcula el rango de A según los diferentes valores de t.

b) [0'75 puntos] Razona para qué valores de t el sistema homogéneo AX = 0 tiene más de una solución.

Ejercicio 3A.- Sean A y B dos matrices que verifican:

\[ A + B = \begin{pmatrix} 4 & 2 \\ 3 & 2 \end{pmatrix} \quad \text{y} \quad A - B = \begin{pmatrix} 2 & 4 \\ -1 & 2 \end{pmatrix} \]

a) [1 punto] Halla las matrices (A + B)(A - B) y A² - B².

b) [1'5 puntos] Resuelve la ecuación matricial XA - XB - (A + B)^t = 2I, siendo I la matriz identidad de orden 2 y (A + B)^t la matriz traspuesta de A + B.

Ejercicio 3B.- Sea la matriz

\[ A = \begin{pmatrix} 3 & 0 & \lambda \\ -5 & \lambda & -5 \\ \lambda & 0 & 3 \end{pmatrix} \]

a) [1 punto] Determina los valores de λ para los que la matriz A - 2I tiene inversa, siendo I la matriz identidad de orden 3.

b) [1'5 puntos] Para λ = -2, resuelve la ecuación matricial AX = 2X + I.

Ejercicio 3A.- Considera el sistema de ecuaciones

\[ \begin{cases} 2x - 2y + 4z &= 4 \\ 2x + z &= a \\ -3x - 3y + 3z &= -3 \end{cases} \]

a) [1'75 puntos] Discútelo según los valores del parámetro a.

b) [0'75 puntos] Resuélvelo cuando sea posible.

Ejercicio 3B.- Dada la matriz \[ A = \begin{pmatrix} -1 & 1 \\ 2 & -1 \end{pmatrix} \]

a) [1 punto] Demuestra que A² + 2A = I y que A^-1 = A + 2I, siendo I la matriz identidad de orden 2.

b) [1'5 puntos] Calcula la matriz X que verifica la ecuación A² + XA + 5A = 4I.

Ejercicio 3A.-

a) [1'75 puntos] Discute, según los valores del parámetro λ, el siguiente sistema de ecuaciones

\[ \begin{cases} -x + \lambda y + z &= \lambda \\ \lambda x + 2y + (\lambda + 2)z &= 4 \\ x + 3y + 2z &= 6 - \lambda \end{cases} \]

b) [0'75 puntos] Resuelve el sistema anterior para λ = 0.

Ejercicio 3B.- [2'5 puntos] Sean las matrices

\[ A = \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ -1 & 1 \end{pmatrix}, \quad B = \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & -1 & -1 \\ 0 & 1 & 2 \end{pmatrix} \quad \text{y} \quad C = \begin{pmatrix} 3 & 1 & 2 \\ 0 & 1 & -2 \end{pmatrix} \]

Calcula la matriz X que cumpla la ecuación AXB = C.

Ejercicio 3A.- Sean las matrices

\( A = \left( \begin{array}{ccc} 1 & 0 & -1 \\ 0 & m & 3 \\ 4 & 1 & -m \end{array} \right) \), \( B = \left( \begin{array}{cc} 1 & 0 \\ 3 & 2 \\ -1 & 1 \end{array} \right) \) y \( C = \left( \begin{array}{cc} 5 & -3 & 4 \\ -3 & -2 & 2 \end{array} \right) \)

a) [0'5 puntos] Indica los valores de m para los que A es invertible.

b) [2 puntos] Resuelve la ecuación matricial XA − B^t = C para m = 0. (B^t es la matriz traspuesta de B).

Ejercicio 3B.- Sea el siguiente sistema de ecuaciones

\begin{cases} \lambda x + y + z = \lambda + 2 \\ 2x - \lambda y + z = 2 \\ x - y + \lambda z = \lambda \end{cases}

a) [1'75 puntos] Discútelo según los valores de λ. ¿Tiene siempre solución?

b) [0'75 puntos] Resuelve el sistema para λ = -1.

Ejercicio 3A.- Sea la matriz

\( A = \left( \begin{array}{ccc} 5 & -4 & 2 \\ 2 & -1 & 1 \\ -4 & 4 & -1 \end{array} \right) \)

a) [1'25 puntos] Comprueba que se verifica 2A − A² = I.

b) [1'25 puntos] Calcula A⁻¹. (Sugerencia: Puedes usar la igualdad del apartado (a)).

Ejercicio 3B.- Considera el siguiente sistema de ecuaciones

\begin{cases} (m + 2)x - y - z = 1 \\ -x - y + z = -1 \\ x + my - z = m \end{cases}

a) [1'75 puntos] Discútelo según los valores de m.

b) [0'75 puntos] Resuélvelo para el caso m = 1.

Ejercicio 3A.- Considera el sistema

\begin{cases} 3x - 2y + z = 5 \\ 2x - 3y + z = -4 \end{cases}

a) [1'5 puntos] Calcula razonadamente un valor de λ para que el sistema resultante al añadirle la ecuación x + y + λz = 9 sea compatible indeterminado.

b) [1 punto] ¿Existe algún valor de λ para el cual el sistema resultante no tiene solución?

Ejercicio 3B.- Sean las matrices

\( A = \left( \begin{array}{ccc} 1 & 2 & 3 \\ \alpha & 1 & 3 \\ 0 & 2 & \alpha \end{array} \right) \) y \( B = \left( \begin{array}{c} -2 \\ 3 \\ 4 \end{array} \right) \)

a) [0'5 puntos] Determina los valores de α para los que A tiene inversa.

b) [1'25 puntos] Calcula la inversa de A para α = 1.

c) [0'75 puntos] Resuelve, para α = 1, el sistema de ecuaciones AX = B.

Ejercicio 3A.- Considera las siguientes matrices

\( A = \left( \begin{array}{cc} -1 & 2 \\ 0 & 1 \end{array} \right) \) y \( B = \left( \begin{array}{cc} -3 & 0 \\ 2 & -1 \end{array} \right) \)

a) [0'75 puntos] Calcula A^-1.

b) [1'75 puntos] Resuelve la ecuación matricial AXA^t − B = 2I, donde I es la matriz identidad de orden 2 y A^t es la matriz traspuesta de A.

Ejercicio 3B.- [2'5 puntos] Obtén un vector no nulo v = (a, b, c), de manera que las matrices siguientes tengan simultáneamente rango 2.

\( A = \left( \begin{array}{ccc} 1 & 1 & a \\ 1 & 0 & b \\ 1 & 1 & c \end{array} \right) \) \( B = \left( \begin{array}{ccc} 2 & 0 & a \\ 0 & -1 & b \\ 3 & 1 & c \end{array} \right) \)

Ejercicio 3A.- Considera el sistema de ecuaciones

\begin{cases} \lambda x + 2y + 6z = 0 \\ 2x + \lambda y + 4z = 2 \\ 2x + \lambda y + 6z = \lambda - 2 \end{cases}

a) [1'75 puntos] Discútelo según los valores del parámetro λ.

b) [0'75 puntos] Resuélvelo para λ = 2.

Ejercicio 3B.- De la matriz \( A = \left( \begin{array}{cc} a & b \\ c & d \end{array} \right) \) se sabe que det(A) = 4. Se pide:

a) [1'25 puntos] Halla det(−3A^t) y det \( \left( \begin{array}{cc} 2b & 2a \\ -3d & -3c \end{array} \right) \). Indica las propiedades que utilizas. (A^t es la matriz traspuesta de A).

b) [0'75 puntos] Calcula det(A⁻¹A^t).

c) [0'5 puntos] Si B es una matriz cuadrada tal que B³ = I, siendo I la matriz identidad, halla det(B).

Ejercicio 3A.-

a) [1'75 puntos] Discute según los valores del parámetro λ el siguiente sistema

\begin{cases} 3x + \lambda y & & = 0 \\ x & + \lambda z & = \lambda \\ x + y + 3z & & = 1 \end{cases}

b) [0'75 puntos] Resuélvelo para λ = 0.

Ejercicio 3B.- [2'5 puntos] Sean las matrices

\( A = \left( \begin{array}{ccc} 1 & -2 & 1 \\ -2 & -1 & 1 \\ 1 & 0 & -1 \end{array} \right) \), \( B = \left( \begin{array}{ccc} 3 & 1 & 0 \\ -1 & 2 & 1 \end{array} \right) \) y \( C = \left( \begin{array}{cc} -2 & 1 \\ 1 & -2 \\ 0 & 3 \end{array} \right) \)

Determina la matriz X que verifica AX − B^t = 2C    (B^t es la matriz traspuesta de B).

Ejercicio 3A.- Sean F₁, F₂, F₃ las filas primera, segunda y tercera, respectivamente, de una matriz B de orden 3, cuyo determinante vale -2. Calcula, indicando las propiedades que utilices:

a) [0'5 puntos] El determinante de B⁻¹.

b) [0'5 puntos] El determinante de (B^t)⁴    (B^t es la matriz traspuesta de B).

c) [0'5 puntos] El determinante de 2B.

d) [1 punto] El determinante de una matriz cuadrada cuyas filas primera, segunda y tercera son, respectivamente, 5F₁ − F₃, 3F₃, F₂.

Ejercicio 3B.- [2'5 puntos] Una empresa envasadora ha comprado un total de 1500 cajas de pescado en tres mercados diferentes, a un precio por caja de 30, 20 y 40 euros respectivamente. El coste total de la operación ha sido de 40500 euros. Calcula cuánto ha pagado la empresa en cada mercado, sabiendo que en el primero de ellos se ha comprado el 30% de las cajas.

Ejercicio 3A.- Tratamos de adivinar, mediante ciertas pistas, los precios de tres productos A, B y C.

• Pista 1: Si compramos una unidad de A, dos de B y una de C gastamos 118 euros.
• Pista 2: Si compramos n unidades de A, n + 3 de B y tres de C gastamos 390 euros.

a) [1'5 puntos] ¿Hay algún valor de n para el que estas dos pistas sean incompatibles?

b) [1 punto] Sabiendo que n = 4 y que el producto C cuesta el triple que el producto A, calcula el precio de cada producto.

Ejercicio 3B.- Sean A, B, C y X matrices cualesquiera que verifican AXB = C.

a) [1 punto] Si las matrices son cuadradas de orden 3, y se sabe que el determinante de A es 3, el de B es -1 y el de C es 6, calcula el determinante de las matrices X y 2X.

b) [1'5 puntos] Si A = \( \left( \begin{array}{cc} 1 & 1 \\ 0 & -2 \end{array} \right) \), B = \( \left( \begin{array}{cc} 1 & -2 \\ 2 & -3 \end{array} \right) \) y C = \( \left( \begin{array}{cc} 0 & 3 \\ 4 & 2 \end{array} \right) \) calcula la matriz X.

Ejercicio 3A.- Dadas las matrices A = \( \left( \begin{array}{cc} 3 & 7 \\ 1 & 2 \end{array} \right) \) y B = \( \left( \begin{array}{cc} 1 & -3 \\ -4 & 2 \end{array} \right) \)

a) [1 punto] Calcula, si existe, la matriz inversa de A.

b) [1'5 puntos] Calcula las matrices X e Y que satisfacen las ecuaciones matriciales XA = A + 2B y AY = A + 2B.

Ejercicio 3B.- Dado el sistema de ecuaciones lineales

\begin{cases} x + \lambda y + z = 4 \\ x + 3y + z = 5 \\ \lambda x + y + z = 4 \end{cases}

a) [1'75 puntos] Discútelo según los valores del parámetro λ.

b) [0'75 puntos] Resuélvelo en el caso λ = 1.

Ejercicio 3A.-

a) [1'25 puntos] Resuelve el sistema de ecuaciones

\begin{cases} x & & + z = 2 \\ -x + & y + 2z = 0 \\ -x + & 2y + 5z = 2 \end{cases}

b) [1'25 puntos] Calcula λ sabiendo que el siguiente sistema tiene alguna solución común con el del apartado (a)

\begin{cases} x + & y + z = 1 \\ -x + & y + 3z = 1 \\ x + & 2y + \lambda z = -3 \end{cases}

Ejercicio 3B.- Considera las matrices A = \( \left( \begin{array}{ccc} -2 & -2 & 1 \\ -2 & 1 & -2 \\ 1 & -2 & -2 \end{array} \right) \) y X = \( \left( \begin{array}{c} x \\ y \\ z \end{array} \right) \)

a) [1 punto] Calcula, si existe, A^-1.

b) [1'5 puntos] Resuelve el sistema AX = 3X e interpreta geométricamente el conjunto de sus soluciones.

Ejercicio 3A.- Se consideran las matrices A = \( \left( \begin{array}{cc} -3 & 1 \\ 2 & -1 \end{array} \right) \) y B = A − kI, donde k es una constante e I es la matriz identidad de orden 2.

a) [0'75 puntos] Determina los valores de k para los que B no tiene inversa.

b) [0'5 puntos] Calcula B⁻¹ para k = −1.

c) [1'25 puntos] Determina las constantes α y β para las que se cumple A² + αA = βI.

Ejercicio 3B.- Sea el sistema de ecuaciones

\begin{cases} x + y & = m + 1 \\ x + my + z & = 1 \\ mx + y - z & = m \end{cases}

a) [1'5 puntos] Determina los valores de m para los que el sistema es compatible.

b) [1 punto] Resuelve el sistema en el caso m = −1.

Ejercicio 3A.- Considera el siguiente sistema de ecuaciones

\begin{cases} x + y + z &= a - 1 \\ 2x + y + az &= a \\ x + ay + z &= 1 \end{cases}

a) [1'5 puntos] Discútelo según los valores del parámetro a.

b) [1 punto] Resuélvelo en el caso a = 2.

Ejercicio 3B.- Sabemos que el sistema de ecuaciones:

\begin{cases} 2x - y + 3z &= 1 \\ x + 2y - z &= 2 \end{cases}

tiene las mismas soluciones que el que resulta al añadirle la ecuación ax + y + 7z = 7

a) [1'25 puntos] Determina el valor de a.

b) [1'25 puntos] Calcula la solución del sistema inicial de dos ecuaciones, de manera que la suma de los valores de las incógnitas sea igual a la unidad.

Ejercicio 3A.- Un cajero automático contiene sólo billetes de 10, 20 y 50 euros. En total hay 130 billetes con un importe de 3000 euros.

(a) [1'25 puntos] ¿Es posible que en el cajero haya el triple número de billetes de 10 que de 50?

(b) [1'25 puntos] Suponiendo que el número de billetes de 10 es el doble que el número de billetes de 50, calcula cuantos billetes hay de cada tipo.

Ejercicio 3B.- Considera la matriz A = \( \left( \begin{array}{ccc} 1 & 1 & 1 \\ m & m^2 & m^2 \\ m & m & m^2 \end{array} \right) \).

(a) [1 punto] Halla los valores del parámetro m para los que el rango de A es menor que 3.

(b) [1'5 puntos] Estudia si el sistema A · \( \left( \begin{array}{c} x \\ y \\ z \end{array} \right) \) = \( \left( \begin{array}{c} 1 \\ 1 \\ 1 \end{array} \right) \) tiene solución para cada uno de los valores de m obtenidos en el apartado anterior.

Ejercicio 3A.- Dado el sistema de ecuaciones lineales

\[ \begin{cases} x + \lambda y - z = 0 \\ 2x + y + \lambda z = 0 \\ x + 5y - \lambda z = \lambda + 1 \end{cases} \]

(a) [1'5 puntos] Clasifícalo según los valores del parámetro λ.

(b) [1 punto] Resuélvelo para λ = -1.

Ejercicio 3B.- [2'5 puntos] Dadas las matrices

\[ A = \left( \begin{array}{ccc} 1 & 1 & 1 \\ 0 & 1 & 0 \\ 1 & 2 & 2 \end{array} \right), \quad B = \left( \begin{array}{cc} 1 & 0 \\ 0 & -1 \\ 2 & 1 \end{array} \right) \quad \text{y} \quad C = \left( \begin{array}{cc} -2 & 0 & -1 \\ 1 & -1 & 1 \end{array} \right) \]

Calcula la matriz P que verifica AP - B = C^t (C^t es la matriz traspuesta de C).

Ejercicio 3A.- Dado el siguiente sistema de ecuaciones

\[ \begin{cases} x + y = 1 \\ ky + z = 0 \\ x + (k + 1)y + kz = k + 1 \end{cases} \]

(a) [1'25 puntos] Determina el valor del parámetro k para que sea incompatible.

(b) [1'25 puntos] Halla el valor del parámetro k para que la solución del sistema tenga z = 2.

Ejercicio 3B.- [2'5 puntos] Halla los valores del parámetro m que hacen compatible el sistema de ecuaciones:

\[ \begin{cases} -x + 2y - 2z = 2 \\ 2x + y + z = m \\ x + 3y - z = m^2 \end{cases} \]

Ejercicio 3A.- [2'5 puntos] Sea I la matriz identidad de orden 3 y A = \( \left( \begin{array}{ccc} 0 & -1 & -2 \\ -1 & 0 & -2 \\ 1 & 1 & 3 \end{array} \right) \). Calcula, si existe, el valor de k para el cual (A - kI)² es la matriz nula.

Ejercicio 3B.- Dadas las matrices A = \( \left( \begin{array}{ccc} 1 & 1 & 2 \\ 1 & 2 & 1 \\ 1 & 1 & 1 \end{array} \right) \) y B = \( \left( \begin{array}{ccc} 1 & 0 & 2 \\ 2 & 0 & 4 \\ -1 & 1 & 1 \end{array} \right) \)

(a) [1 punto] Calcula, si existen, la matriz inversa de A y la de B.

(b) [1'5 puntos] Resuelve la ecuación matricial AX + B = A + I, donde I denota la matriz identidad de orden 3.

Ejercicio 3A.-

(a) [1 punto] Determina razonadamente los valores del parámetro m para los que el siguiente sistema de ecuaciones tiene más de una solución:

\[ \begin{cases} 2x + y + z = mx \\ x + 2y + z = my \\ x + 2y + 4z = mz \end{cases} \]

(b) [1'5 puntos] Resuelve el sistema anterior para el caso m = 0 y para el caso m = 1.

Ejercicio 3B.- Dada la matriz A = \( \left( \begin{array}{ccc} 1 & 3 & k \\ k & 1 & 3 \\ 1 & 7 & k \end{array} \right) \)

(a) [1'25 puntos] Estudia el rango de A en función de los valores del parámetro k.

(b) [1'25 puntos] Para k = 0, halla la matriz inversa de A.

Ejercicio 3A.- Sean I la matriz identidad de orden 2 y A = \( \left( \begin{array}{cc} 1 & m \\ 1 & 1 \end{array} \right) \).

(a) [1'25 puntos] Encuentra los valores de m para los cuales se cumple que (A − I)^2 = O, donde O es la matriz nula de orden 2.

(b) [1'25 puntos] Para m = 2, halla la matriz X tal que AX − 2A^t = O, donde A^t denota la matriz traspuesta de A.

Ejercicio 3B.- Considera el sistema de ecuaciones

\[ \begin{cases} ax + y + z = 4 \\ x - ay + z = 1 \\ x + y + z = a + 2 \end{cases} \].

(a) [1'5 puntos] Resuélvelo para el valor de a que lo haga compatible indeterminado.

(b) [1 punto] Resuelve el sistema que se obtiene para a = −2.

Ejercicio 3A.- Considera la matriz A = \( \left( \begin{array}{cc} 1 & -1 \\ 1 & \lambda \end{array} \right) \).

(a) [1 punto] Determina la matriz B = A² − 2A.

(b) [0'75 puntos] Determina los valores de λ para los que la matriz B tiene inversa.

(c) [0'75 puntos] Calcula B^{−1} para λ = 1.

Ejercicio 3B.-

(a) [1 punto] Calcula la matriz inversa de A = \( \left( \begin{array}{ccc} 1 & 1 & 0 \\ 0 & 1 & 1 \\ 1 & 0 & 1 \end{array} \right) \).

(b) [1'5 puntos] Escribe en forma matricial el siguiente sistema y resuélvelo usando la matriz A^{−1} hallada en el apartado anterior,

\[ \begin{cases} x + y = 1 \\ y + z = -2 \\ x + z = 3 \end{cases} \].

Ejercicio 3A. Considera el sistema de ecuaciones lineales

\[ \begin{cases} \lambda x - y - z = -1 \\ x + \lambda y + z = 4 \\ x + y + z = \lambda + 2 \end{cases} \]

(a) [1'5 puntos] Clasifica el sistema según los valores del parámetro λ.

(b) [1 punto] Resuelve el sistema para λ = 2.

Ejercicio 3B. [2'5 puntos] Resuelve A B^t X = -2 C, siendo B^t la matriz traspuesta de B y

A = \( \left( \begin{array}{ccc} 1 & 0 & 3 \\ 2 & -1 & 0 \end{array} \right) \), B = \( \left( \begin{array}{ccc} -1 & 3 & 0 \\ 0 & 2 & -2 \end{array} \right) \) y C = \( \left( \begin{array}{cc} 1 & 4 \\ 0 & -1 \end{array} \right) \).

Ejercicio 3A. Considera A = \( \left( \begin{array}{cc} a & 1 \\ 0 & -a \end{array} \right) \), siendo a un número real.

(a) [1 punto] Calcula el valor de a para que A^2 − A = \( \left( \begin{array}{cc} 12 & -1 \\ 0 & 20 \end{array} \right) \).

(b) [1 punto] Calcula, en función de a, los determinantes de 2A y A^t, siendo A^t la traspuesta de A.

(c) [0'5 puntos] ¿Existe algún valor de a para el que la matriz A sea simétrica? Razona la respuesta.

Ejercicio 3B. [2'5 puntos] Resuelve

\[ \left( \begin{array}{ccc} 2 & 0 & 5 \\ 1 & 1 & -2 \\ -1 & 1 & 1 \end{array} \right) \left( \begin{array}{c} x \\ y \\ z \end{array} \right) + \left( \begin{array}{c} -2 \\ 2 \\ 3 \end{array} \right) = \left( \begin{array}{c} 5 \\ 0 \\ 2 \end{array} \right) \]

Ejercicio 3A. [2'5 puntos] En una excavación arqueológica se han encontrado sortijas, monedas y pendientes. Una sortija, una moneda y un pendiente pesan conjuntamente 30 gramos. Además, 4 sortijas, 3 monedas y 2 pendientes han dado un peso total de 90 gramos. El peso de un objeto deformado e irreconocible es de 18 gramos. Determina si el mencionado objeto es una sortija, una moneda o un pendiente, sabiendo que los objetos que son del mismo tipo pesan lo mismo.

Ejercicio 3B. Sabiendo que |A| = \( \left| \begin{array}{ccc} a & b & c \\ d & e & f \\ g & h & i \end{array} \right| \) = 2, calcula, indicando las propiedades que utilices, los siguientes determinantes:

(a) [1 punto] | − 3A| y |A^-1|.

(b) [0'75 puntos] \( \left| \begin{array}{ccc} c & b & a \\ f & e & d \\ 2i & 2h & 2g \end{array} \right| \).

(c) [0'75 puntos] \( \left| \begin{array}{ccc} a & b & a-c \\ d & e & d-f \\ g & h & g-i \end{array} \right| \).

Ejercicio 3A. Sean las matrices A = \( \left( \begin{array}{cc} 2 & 1 \\ 3 & -2 \end{array} \right) \), B = \( \left( \begin{array}{ccc} 0 & 1 & 0 \\ 3 & -1 & 2 \end{array} \right) \) y C = \( \left( \begin{array}{ccc} 1 & 2 & 0 \\ -1 & 1 & 4 \end{array} \right) \).

(a) [1 punto] ¿Tiene A inversa? En caso afirmativo, calcúlala.

(b) [1'5 puntos] Determina la matriz X que cumple que A·X + C·B^t = B·B^t, siendo B^t la matriz transpuesta de B.

Ejercicio 3B. Considera el sistema de ecuaciones

\[ \begin{cases} x + y + z = -2 \\ -\lambda x + 3y + z = -7 \\ x + 2y + (\lambda + 2)z = -5 \end{cases} \].

(a) [1'5 puntos] Clasifica el sistema según los valores del parámetro λ.

(b) [1 punto] Resuelve el sistema cuando sea compatible indeterminado.

Ejercicio 3A. [2'5 puntos] Determina a y b sabiendo que el sistema de ecuaciones

\[ \begin{cases} x + 3y + z = 1 \\ -x + y + 2z = -1 \\ ax + by + z = 4 \end{cases} \]

tiene al menos dos soluciones distintas.

Ejercicio 3B.

(a) [1 punto] Sabiendo que la matriz A = \( \left( \begin{array}{ccc} 3 & -2 & 1 \\ 1 & -4 & -2 \\ -1 & a-1 & a \end{array} \right) \) tiene rango 2, ¿cuál es el valor de a?

(b) [1'5 puntos] Resuelve el sistema de ecuaciones

\[ \left( \begin{array}{ccc} 3 & -2 & 1 \\ 1 & -4 & -2 \\ -1 & -6 & -5 \end{array} \right) \left( \begin{array}{c} x \\ y \\ z \end{array} \right) = \left( \begin{array}{c} 1 \\ 0 \\ -1 \end{array} \right) \].

Ejercicio 3A. Considera el sistema de ecuaciones

\[ \begin{cases} mx - y = 1 \\ x - my = 2m - 1 \end{cases} \].

(a) [1'5 puntos] Clasifica el sistema según los valores de m.

(b) [1 punto] Calcula los valores de m para los que el sistema tiene una solución en la que x = 3.

Ejercicio 3B. Considera las matrices

A = \( \left( \begin{array}{ccc} 1 & 0 & 1 \\ 0 & 1 & 2 \end{array} \right) \), B = \( \left( \begin{array}{cc} 1 & 0 \\ 0 & 1 \\ 0 & 0 \end{array} \right) \) y C = \( \left( \begin{array}{cc} 1 & 0 \\ 0 & 2 \\ 1 & 0 \end{array} \right) \).

(a) [1'25 puntos] Calcula A·B, A·C, A^t·B^t y C^t·A^t, siendo A^t, B^t y C^t las matrices transpuestas de A, B y C, respectivamente.

(b) [1'25 puntos] Razona cuáles de las matrices A, B, C y A·B tienen matriz inversa y en los casos en que la respuesta sea afirmativa, halla la correspondiente matriz inversa.

Ejercicio 3A. (2,5 puntos)

Considera las matrices \( A = \left( \begin{array}{ccc} 1 & 0 & 0 \\ 1 & m & 0 \\ 1 & 1 & 1 \end{array} \right) \), \( B = \left( \begin{array}{ccc} 0 & 1 & 1 \\ 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \end{array} \right) \) y \( C = \left( \begin{array}{ccc} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 1 & 0 & 1 \end{array} \right) \).

a) [1'25 puntos] ¿Para qué valores de m tiene solución la ecuación matricial A·X + 2B = 3C?

b) [1'25 puntos] Resuelve la ecuación matricial dada para m = 1.

Ejercicio 3B. (2,5 puntos)

Considera las matrices \( A = \left( \begin{array}{ccc} -2 & -2 & 1 \\ -2 & 1 & -2 \\ 1 & -2 & -2 \end{array} \right) \) y \( X = \left( \begin{array}{c} x \\ y \\ z \end{array} \right) \).

a) [1'25 puntos] Siendo I la matriz identidad de orden 3, calcula los valores de λ para los que la matriz A + λI no tiene inversa.

b) [1'25 puntos] Resuelve el sistema A·X = 3X e interpreta geométricamente el conjunto de todas sus soluciones.

Ejercicio 3A. (2,5 puntos)

Considera los vectores \(\vec{u} = (1, 1, 1)\), \(\vec{v} = (2, 2, a)\) y \(\vec{w} = (2, 0, 0)\).

a) [1'25 puntos] Halla los valores de a para los que los vectores \(\vec{u}\), \(\vec{v}\) y \(\vec{w}\) son linealmente independientes.

b) [1'25 puntos] Determina los valores de a para los que los vectores \(\vec{u} + \vec{v}\) y \(\vec{u} - \vec{w}\) son ortogonales.

Ejercicio 3B. (2,5 puntos)

Sean C₁, C₂ y C₃ las columnas primera, segunda y tercera, respectivamente, de una matriz cuadrada A de orden 3 cuyo determinante vale 5. Calcula, indicando las propiedades que utilices:

a) [0'5 puntos] El determinante de A³.

b) [0'5 puntos] El determinante de A⁻¹.

c) [0'5 puntos] El determinante de 2A.

d) [1 punto] El determinante de una matriz cuadrada cuyas columnas primera, segunda y tercera son, respectivamente, 3C₁ - C₃, 2C₃ y C₂.

Ejercicio 3A. (2'5 puntos)

Considera la matriz \( A = \left( \begin{array}{ccc} 2 & t & 0 \\ t & 2 & 1 \\ 3 & 0 & 1 \end{array} \right) \)

Calcula los valores de \(t\) para los que el determinante de \(A\) es positivo y halla el mayor valor que alcanza dicho determinante.

Ejercicio 3B. (2'5 puntos)

Considera el siguiente sistema de ecuaciones

\begin{cases} x + 3y + z = 3 \\ 2x + my + z = m \\ 3x + 5y + mz = 5 \end{cases}

a) [1 punto] Determina, si es posible, un valor de \(m\) para que el correspondiente sistema tenga una y sólo una solución.

b) [1 punto] Determina, si es posible, un valor de \(m\) para que el correspondiente sistema tenga al menos dos soluciones.

c) [0'5 puntos] Determina, si es posible, un valor de \(m\) para que el correspondiente sistema no tenga solución.

Ejercicio 3A. (2'5 puntos)

Determina una matriz \(A\) simétrica (\(A\) coincide con su traspuesta) sabiendo que

\(\det(A) = -7\) y \(A \left( \begin{array}{cc} 2 & 6 \\ -1 & -3 \end{array} \right) = \left( \begin{array}{cc} -4 & -12 \\ 1 & 3 \end{array} \right)\).

Ejercicio 3B. (2'5 puntos)

Determina la matriz \(X\) que verifica la ecuación \(AX = X - B\) siendo

\(A = \left( \begin{array}{ccc} 0 & 0 & 1 \\ 0 & 0 & 0 \\ -1 & 0 & 0 \end{array} \right)\) y \(B = \left( \begin{array}{ccc} 1 & 0 & 1 \\ 0 & 1 & 1 \\ 0 & -1 & -1 \end{array} \right)\).

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